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文档简介

从第二章开始，利用分析方法，即经过微分、积分和级数分别探讨了解析函数性质和应用.在这一章中，我们将从几何角度对解析函数性质和应用进行讨论.第七章共形映射

在第一章中已经介绍过，一个复变函数在几何上能够看作把z

平面上一个点集变到w平面上一个点集映射(或变换).对解析函数来说，由它所组成变换（简称解析变换）还需作深入研究.第1页

共形映射之所以主要，原因在于它能把在比较复杂区域上所讨论问题转到比较简单区域上进行讨论.所以，在处理诸如流体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了主要作用.在这一章中，我们先分析解析函数所组成映射特征，引出共形映射这一主要概念.然后深入研究分式线性函数和几个初等函数所组成共形映射.第2页1、解析变换保域性2、解析变换保角性—导数几何意义3、单叶解析变换共形性§1解析变换特征第3页1、解析变换保域性

要探讨解析变换几何特征，首先要搞清楚复平面上一个点集(曲线或区域)与它像集之间对应关系.第4页第5页其次，要证实中任意两点均能够用一条完全含于折线联结起来.因为是区域，可在内取一条联结折线于是，第6页因f(z)不为常数就是联结而且完全含于一条曲线.从而，仿照柯西积分定理古萨证实第三步，能够找到一条联结内接于且完全含于折线,于是是连通.第7页

—符合定理条件解析函数w=f(z)将z0一个充分小邻域变成w0=f(z0)一个曲边邻域.第8页假如要求:yxC..正向:t增大方向;2、解析变换保角性—导数几何意义在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量相对于自变量改变情况，且含有相当显著几何意义.那么，一个复变函数导数将会刻画怎样关系呢？又有什么样几何意义呢？第9页当p方向与C一致.C..yxC.yx第10页之间夹角..第11页C.yxvu.第12页或vu.——导数辐角几何意义.第13页第14页说明:转动角大小与方向跟曲线C形状无关.映射w=f(z)含有转动角不变性...第15页则有结论:夹角方向不变性质,

此性质称为保角性.在其大小和方向上都等同于经过第16页Cvuyx....第17页Cvuyx....第18页所以:

方向无关.所以这种映射又含有伸缩率不变性.第19页解第20页反之放大.第21页经过以上分析,有第22页解对于复平面上任意一点D，有（极限存在）

定义7.1'

对于定义在D内变换w=f(z),假如它在D内任意一点含有保角性和伸缩率不变性，则称w=f(z)是第一类保角变换；假如它在D内任意一点保持曲线交角大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称w=f(z)是第二类保角变换.第23页需要尤其指出是，是必要，不然保角性将不成立.

解第24

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