2025年 九年级数学中考二轮复习 解直角三角形的应用 解答题专题训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《解直角三角形的应用》解答题专题训练（附答案）1．综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔AB的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE=36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角为45°，测得桥塔底部A的俯角为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为31°．求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，2．学习数学贵在解决实际问题某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图1）．如图2，信号塔刚好在坡角为30°的斜坡底角处，斜坡BC的长为20m，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD的长为43m，求信号塔AB的高（结果精确到1m．参考数据：3．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM,MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，已知两种情况下拉杆把手A（参考数据：sin53°≈45，sin4．数学活动实践课上，小宇和小轩所在的兴趣小组准备测量某建筑物AB顶部广告牌AC的高．测量方法如下：如图，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端C的影子在D处，同时小宇站在E处的影长EF=2.2m，小轩在G处测得建筑物的顶端A的仰角为52°，小组其他同学测得BD=27.5m，DG=15.78m．已知小宇的身高EM=1.6m，点B，G，D，E，F在同一水平线上，且CB⊥BF，ME⊥BF．请你根据以上信息，求出广告牌AC的高．（结果精确到1m；参考数据sin5．研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量．方案设计：如图，观察员在地面上的点A处观察点C的仰角为37°．观察员在点A处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面40m的点B处时，测得钟楼顶端点D的俯角为35°数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，C，D两点的水平距离CE=4m，DE=14m．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端D到地面的距离．（结果精确到1m；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan6．2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市A出发，临行前小陶决定先到在超市A北偏东30°方向上的图书馆C还书后，再到体育馆D；小乐则按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭B后，再沿北偏东15°方向走到体育馆D，已知体育馆D分别在超市A的北偏东60°方向上和图书馆C的南偏东60°方向上．(1)求报亭B与体育馆D之间的距离；（结果保留根号）(2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先到达体育馆D．（参考数据：2≈1.414，37．2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面AF上的点A处测得无人机位置点D的仰角∠DAF为53°；当摄影爱好者沿着倾斜角28°（即∠BAF=28°）的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角∠CBE为45°．已知AB=3.5米，CD=5米，且A，(1)求点B到地面AF的距离；(2)求无人机在点D处时到地面AF的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：sin28°≈0.47，cos8．景点A的南偏东76°方向有景点B，景点A的正南方向9km有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东38°方向，即线段AC=9km，(1)求景点B到公路AC的最短距离（结果取整数）；(2)景点B的东南方向4.23km有景点D，求景点D到公路AC的最短距离（结果取整数）．参考数据：tan76°取4.0，tan38°取0.8，2取9．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西30°方向．D点位于小雨家点A的北偏东15°方向．D点位于小瑜家点C的北偏西75°方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离AB=10公里．（参考数据：6≈2.45，3≈1.73，(1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；(2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①B→A→D，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②B→C→D，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③B→D，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）10．如图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB−CE−EF和两个大小相同的车轮组成，车轮半径为8cm，已知BC=58cm,CD=30cm,DE=12cm,EF=68cm,cos(1)求AC的长；(2)为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至AB∥EF，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折叠后能否放进长a=100cm11．追本溯源题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）．（1）如图1，在锐角△ABC中，探究asinA，bsinB，csin结论应用（2）如图2，绳金塔位于南昌市西湖区，始建于唐天佑年间，已有1100多年的历史，绳金塔古朴秀丽，具有中国江南建筑的典型艺术风格．如图3，某数学实践小组想测量绳金塔的高度MN，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为30°，然后从点A处出发，沿着南偏西25°的方向行进了83.5m到达点B（A，B，N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东35°方向上．根据以上信息，求绳金塔的高度MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin55°≈0.8212．某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷AB长为1.5米，与墙面AD的夹角∠BAD=75°，靠墙端A离地高AD为2.2米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=0.2m，（结果精确到0.1米；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26(1)如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；(2)如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，13．高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点C到AD所在直线的距离CH=3m，BC=15m，此时∠DAC=36.87°（如图2），当杂技演员走至钢丝中点F时，恰好∠FAD=∠FBE=60°．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，(1)求AC的长；(2)求杂技演员从点C走到点F，下降的高度（结果精确到0.1m14．小明和小红相约周末游览公园，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点B的北偏西75°方向且BC=600米，景点E位于景点B的东南方向，景点C位于景点A的北偏西30°方向，景点D位于景点A的正东方向2002(1)求景点C与景点A之间的距离．（结果保留根号）(2)小明和小红同时从景点A出发，小红沿着A→D→E→B的路线前往景点B，小明沿着A→C→B的路线前往景点B，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点B．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，15．如图①，AB,CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE=∠CDE=90°，点E,B,(1)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；(2)小明说，在点E处只要再测量∠BED，通过计算即可求出铁塔CD的高度，若记∠BED为α，则铁塔CD的高度是．（用含α的式子表示）（参考数据：sin39°≈35,cos39°≈416．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子PAQ可整体绕点A所在的轴旋转．现测得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm，BC=78cm，(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角α，当AQ∥BE时，求α的度数．(2)求点A到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.1717．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为2.4:1．(1)求坡高BE；(2)在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角∠BFG=α和A的俯角∠AFG=β，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（sinα=0.4，cosα=0.9，tanα=0.5，sinβ=0.9，18．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24 cm，BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为14°（sin14°≈0.24(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN丄CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=149°，求线段19．图1是我国古代提水的器具枯槔（jiégão），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD=120°．(1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时20．项目主题：设计客厅窗户的遮阳篷项目背景：小明家客厅的窗户朝南，窗户的高度AB=2米，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．方案1：直角形遮阳篷(1)如图3，小明设计了一个直角形遮阳篷BCD，点C在AB的延长线上，且CD⊥AC，同时他观察发现此地正午时刻太阳光与地面的最小夹角α=30°，最大夹角β=60°，请你为小明家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，同时满足下面两个条件：①为拥有冬天温暖的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内；(太阳光与BD平行)②为遮挡夏天炎热的阳光，保证当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．(太阳光与AD平行)请求出直角形遮阳篷BCD中CD的长．方案2：抛物线形遮阳篷(2)如图，若BC=23米，CD=2米，为了美观及实用性，小明决定设计抛物线形可伸缩的遮阳篷CDF，其中点F为抛物线的顶点，且∠CFD=90°，点D可沿着抛物线收缩至点F．若某时刻太阳光与水平地面夹角θ=45°，为使阳光最大限度地射入室内，求点参考答案1．解：设CD=xm∵DE=36m∴CE=CD+DE=(x+36)m∵EC⊥AB，∴∠BCE=∠ACD=90°，∵∠CDB=45°，∴BC=CD=xm∵tan∠CEB=BC∴x=(x+36)⋅tan解得：x≈54m∵tan∠CDA=AC∴AC=CD⋅tan∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59m答：桥塔AB的高度约为59m2．解：延长DC交AB于点E，则：DE∥BM，

∵AB⊥BM，∴∠ABM=90°,∵DE∥BM，∴∠ECB=∠CBM=30°，∠AED=∠ABM=90°，∴DE⊥AB,在Rt△BEC中，BE=∴DE=CD+CE=143在Rt△DEA中，AE=DE⋅∴AB=AE+BE=17+10=27m答：信号塔AB的高为27m3．解：设每节拉杆长为xcm，则图1中AB=xcm，图2中AB=2xcm，AC=在图1中，过点A作AF⊥CG于点F，在Rt△ACF中，∠AFC=90°∵sin∴AF=AC×sin在图2中，过点A作AH⊥CG于点H，在Rt△ACH中，∠AHC=90°∵sin∴AH=AC×sin∵AF=AH，∴4解得：x=30．答：每节拉杆长30cm4．解：由题意得：CD∥∴∠CDB=∠MFE，∵CB⊥BF，ME⊥BF，∴∠CBD=∠MEF=90°，∴△CBD∽△MEF，∴CBME∴CB1.6解得：CB=20，∵DG=15.78m∴BG=BD−DG=27.5−15.78=11.72m在Rt△ABG中，∠AGB=52°∴AB=BG⋅tan∴AC=CB−AB=20−15.0=5m∴广告牌AC的高约为5m5．解：过点D作DN⊥AB于点N，延长EC交AB于点M，如图所示：则四边形EMND、四边形AHCM都是矩形，∠BDN=35°，∴DE=MN=14m，EM=DN，HC=AM设AH=x，则EM=DN=x+4．在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠CAH=37°，tan∴HC=AH⋅tan在Rt△BDN中，∠BND=90°，∠BDN=35°，tan∴BN=DN⋅tan∵AB=BN+MN+MA，∴40=0.70x+4+14+0.75x，解得∴HC≈0.75×16=12m∴AN=HC+DE=12+14=26m答：太原钟楼的顶端D到地面的距离约为26m6．（1）解：过点B作BH⊥AD，如图所示：∵体育馆D分别在超市A的北偏东60°方向上和图书馆C的南偏东60°方向上．∴∠EAD=60°，依题意，∠EAC=30°,AB=400米，∴∠3=90°−∠EAD=30°，在Rt△ABH中，HB=12则∠HBD=90°−60°+15°=45°，∵∠BHD=90°，∴△BHD是等腰直角三角形，∴DH=HB=200米，在Rt△DBH中，cos∴DB=2∴报亭B与体育馆D之间的距离2002（2）解：由（1）得∠3=30°，DH=HB=200米，在Rt△ABH中，cos故AH=3则AH+AD=2003∵CT∥EA∴∠1=30°,∠ACD=30°+60°=90°，∠2=∠EAD−30°=30°在Rt△ACD中，CD=在Rt△ACD中，tan∴AC=300+1003则AC+CD=2003∵AB=400米，BD=2002∴AB+BD=400+2002∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，∴400+200260≈11.4∵11.4>10.7∴小陶先到达体育馆D．7．解：（1）过B作BQ⊥AF于Q，如图所示：∵AB=3.5，∠BAF=28°∴BQ=ABsin（2）过C作CH⊥地面于H，交BE于P，过D作DG⊥地面，交BE于M，交CB于N，∵∠CBE=45°，∴CP=BP，设GQ=x米，则BM=x米，∵DC∥BE，且∴四边形DCPM为矩形，△BNM是等腰直角三角形，∴DM=CP，则BP=CP=BM+MP=(5+x)米，又∵PH=MG=BQ=1.645米，∴DG=DM+MG=5+x+1.645=(6.645+x)∵AB=3.5，∠BAF=28°∴AAG=AQ+GQ=(3.08+x)∵∠DAG=53°∴即6.645+x解得：x=7.615，∴BM=7.615，BP=5+x=12.615∴DM=CP=BP=12.615∴DG=GM+DM=BQ+DM=1.645+12.615=14.26（米）答：无人机距水平地面的高度约为14.26米．8．（1）解；如图所示，过点B作BE⊥AC于E，设BE=xkm在Rt△ABE中，tan∴tan76°=∴AE=1在Rt△EBC中，tan∴tan38°=∴CE=1.25xkm∵AC=AE+CE=9km∴14解得x=6，∴BE=6km答：景点B到公路AC的最短距离为6km（2）解：如图所示，过点B作BH∥AC，过点D作DP⊥AC于D，交BH于H，则四边形BHPE是矩形，∴PH=BE=6km在Rt△BDH中，sin∴sin45°=∴DH≈3km∴DP=PH+DH=9km答：景点D到公路AC的最短距离为9km9．（1）解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，在DE取点F，使AF=DF，如图，根据题意得，∠ADE=15°,∵AF=DF，∴∠DAF=∠ADF=15°,∴∠AFE=30°,设AE=a,则AF=2a,∴DF=AF=2a,EF=∴DE=DF+EF=∵AB=10，∴BE=10−a,∵∠ABC=90°,∠DBC=30°,∴∠DBE=60°,∴DE∴2+解得，a=15−5∴AE=∴DE=在Rt△DAE中，AD=答：小雨家A离寺庙D的距离为56（2）解：过点C作CH⊥DE于点H，则得出四边形BCHE是矩形，∴CH=BE=10−15−53在CH取点G，使DG=CG，根据题意得，∠DCH=15°,∴∠GDH=∠DCH=15°,∴∠DGH=30°，设DH=m，则DG=2m,GH=∴CH=2+∴m=5∴DH=∴HE=DE−DH=15+5在Rt△DHC中，CD=在Rt△BDE中，∴BD=2BE=5+53又AD=56∴①B→A→D用时为10+12.25÷60≈0.37②B→C→D用时为10+7.05÷50≈0.34③B→D用时为13.65÷30≈0.46小时，∵0.34<0.37<0.46，∴丙最晚达目的地D点．10．（1）解：过点A作AH⊥CE，∵cos∠ACD=∴可设CH=4x,AC=5x，由勾股定理得AH=A∵∠CEF=135°，A，E，F在同一水平高度上，∴∠AED=180°−135°=45°，∴△AHE是等腰直角三角形，∴AH=HE，∵CD=30，DE=12，∴CE=CD+DE=42，∴HE=CE−CH=42−4x=AH=3x，∴x=6，∴AC=5x=30cm（2）该滑板车折叠后能放进长a=100cm理由：过点A作AM⊥EF交其延长线于点M，过点D作DN⊥EF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，∵AB∥EF∴∠M=∠PNM=∠NPA=90°∴四边形AMNP是矩形，∴AP=MN，∵CD=30，DE=12，cos∠ACD=45∴PC=CD⋅cos∴MN=AP=AC−CP=30−24=6，∴ME=MN+NE=6+62∵EF=68，∴滑板车折叠后总长度为8×2+6+62所以，该滑板车折叠后能放进长a=100cm11．解：（1）过点C作CF⊥AB与点F，过点A作AD⊥BC与点D，∵sin∠ACB=AD∴AD=b⋅sin∠ACB，∴bsin∠ACB=c同理可证：asin∴asin（2）由题意可得出：∠MNA=90°，∠MAN=30°，∠NAB=90°−25°=65°，∠ANB=90°−35°=55°，∴∠ABN=180°−∠NAB−∠ANB=60°，由（1）结论可知：ABsin即83.5sin把sin55°≈0.82，sin60°=3则：AN=83.5×在Rt△MNA中，tan即MN=AN⋅==≈50.9则绳金塔的高度MN为50.9m12．（1）解：如图，过点B作BK⊥AD于点K，∵AB=1.5m，sin∠BAD=∴BK∴BK≈1.5，∴遮阳棚上的B点到墙面AD的距离约为1.5米；（2）解：如图，过点C作CH⊥DG于点H，由勾股定理得，AK=A∴DK=AD−AK≈2.2−0.34=1.86m∴BH=DK=1.86m∵BC=0.2m∴CH=1.86−0.2=1.66m∵∠∴tan∠∴CH∴FH≈1.25，由（1）知，BK≈1.46m∴DH=BK=1.46m∴DF=DH−FH=1.46−1.25≈0.2m∴阴影DF的长约为0.2米．13．（1）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，在Rt△ACH中，CH=3m，∴sin∴AC=则AC的长为5m．（2）解：过点F作FI⊥AD于点I，∵点F为钢丝中点，BC=15m∴AF=在Rt△FAI中，∴cos∴AI=AFcos在Rt△ACH中，CH=3m，∴tan∴AH=HI=AI−AH=5−4=1则下降的高度HI约为1m14．（1）解；如图所示，过点B作BF⊥AC于F，由题意得，∠C=75°−30°=45°，∠BAC=30°，在Rt△FBC中，CF=BC⋅cosC=300在Rt△ABF中，AF=∴AC=CF+AF=300答：景点C与景点A之间的距离为3002（2）解：如图所示，过点E作EG⊥AB于G，则四边形ADEG是矩形，∴EG=AD=2002在Rt△ABF中，AB=在Rt△BGE中，∠EBG=45°∴BG=EGtan∠EBG∴DE=AG=AB−BG=4002∵AC+BC80≈27.98，AD+DE+BE60∴小红先到达景点B．15．（1）解：设铁塔AB的高度为x米，由题意得：∠AFB=53°，∠AEB=39°，EF=20米，∵∠ABE=90°，∴在Rt△ABF中，BF=在Rt△ABE中，BE=∵BF+EF=BE，∴xtan解得x=20答：铁塔AB的高度约为2407（2）解：由题意得：∠CED=27°，∠BED=α，由（1）可知，BE=AB∵∠EBD=90°，∴在Rt△BED中，DE=∵∠CDE=90°，∴在Rt△CDE中，CD=DE⋅故答案为：160716．（1）解：∵AB=AE，∠BAE=120°，∴∠ABE=∠AEB=180°−120°∵AQ∥BE，∴∠QAE=∠AEB=30°，∴∠α=30°，故α=30°；（2）解：如图：过A点作AM⊥BE，垂足为M，过C点作CN⊥BE，垂足为N，∵AM⊥BE，AB=AE，∴AM平分BE，而∠AEM=30°∴在Rt△AEM中，AM=又∵CN⊥BE，∴∠BNC=90°，∴在Rt△BCN中，∠ABC=110°，∠ABE=30°∴∠CBN=110°−30°=80°，∴sin∴CN=sin∴AM+NC=23+76.44=99.44≈99.4cm∴A到CD的距离为99.4cm17．解：（1）∵斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为2.4:1∴BEAE设BE=12xm，AE=