第十六章 二次根式 单元培优卷 2024-2025学年 人教版数学 八年级下册

第十六章《二次根式》单元培优卷考试范围：第十六章；考试时间：100分钟；总分120分，学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分）如果代数式1x−3有意义，那么x的取值范围是(    )A.x≠3 B.x<3 C.x>3 D.x≥3如图是一个长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①、②、③、④和一个长方形⑤，若要计算这个大长方形的周长，则只需知道哪个正方形的边长即可(    )A.① B.② C.③ D.④若实数a满足等式|1−a|=1+|a|，则(a−1)2A.1 B.−a−1 C.a−1 D.1−a实数a在数轴上的位置如图所示，则(a−4)2−(a−11)2化简后为(A.7 B.−7 C.2a−15 D.无法确定若实数a满足a+a2−4a+4=2，那么aA.a=0 B.a=2 C.a=0或a=2 D.a≤2当1<a<2时，代数式(a−2)2−|1−a|的值是A.3−2a B.2a−3 C.1 D.−1计算：(2+1)2021A.2021 B.2020 C.2019 D.2018化简−a3+a−1A.(−a+1)−a B.(−a−1)−a C.(a+1)−a当1<a<2时，代数式a−2A.1 B.−1 C.2a−3若a=7+2、b=2−7，则aA.倒数 B.相反数 C.负倒数 D.有理化因式若M，N都是实数，且M=3x−6，N=6−x，则M，N的大小关系是A.M≤N B.M≥N C.M<N D.M>N已知m为任意实数，则下列各式中，一定成立的是(

)A.(m)2=m B.m2+2m+1第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）已知a(a−2)<0，若b=1−a，则b的取值范围是_____________使等式(x+1)(x−1)=x−1·x+1成立的条件是己知m=1+2，n=1−2，则代数式m2+n若最简二次根式a+1与8能合并成一项，则a=________．三、解答题（本大题共7小题，共72分）计算

(1)(6+3)(6−3)

如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为20cm2和25cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．

已知a、b、c是△ABC的三边长，化简(a+b+c)2−(b+c−a)2+(c−b−a已知a2−10a+1=0，求a−1a的值．

十⋅一黄金周期间，某景点门票价格为：成人票每张80元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的12．

(1)甲、乙两个旅行团在该景点的门票费用分别为：甲______元；乙______元；(用含x、y的代数式表示)

(2)若x=10，y=6，求两个旅行团门票费用的总和．

如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．

(1)设运动时间为t(t>0)秒，数轴上点B表示的数是____，点P表示的数是____(用含t的代数式表示)；(2)若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

综合与实践情境再现：举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，全长55千米，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一．如图，香港口岸点B至珠海口岸点A约42千米，海底隧道CD全长约7千米，隧道一端的东人工岛点C到香港口岸的路程为12千米．某一时刻，一辆穿梭巴士从香港口岸发车，沿港珠澳大桥开往珠海口岸．10分钟后，一辆私家车也从香港口岸出发沿港珠澳大桥开往珠海口岸．在私家车出发的同时，一辆大客车从珠海口岸出发开往香港口岸．已知穿梭巴士的平均速度为72千米/时，大客车的平均速度为78千米/时，私家车的平均速度为84千米/时．

问题解决：(1)穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？(2)私家车能否在到达珠海门岸前追上穿梭巴士？说明理由；请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择________题．(3)穿梭巴士到达珠海口岸后，停车5分钟供乘客上下车，之后立即沿原路按原速度返回香港口岸．设该巴士从香港口岸出发后经过的时间为t小时．A：①该巴士返程途中到珠海口岸的路程为________千米(用含t的代数式表示)；②该巴士返程途中到东人工岛的路程为6千米时，t的值为________．B：①该巴士返程途中到香港口岸的路程为________千米(用含t的代数式表示)；②私家车到达珠海口岸时，用5分钟办完事立即返回香港口岸．若其返程途中的速度为96千米/时，私家车返程途中与巴士之间相距的路程为4千米时，t的值为________．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由题意可知：x−3>0，

∴x>3，

故选：C．

根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查列代数式解决问题.通过观察可知小正方形的边长关系，设正方形②的边长为x，正方形①的边长为a，将正方形③和④和⑤分别用含x、a的代数式表示，继而通过列式计算可得结论．

【解答】

解：设正方形②的边长为x，正方形①的边长为a，

则正方形③的边长为x+a，正方形④的边长为x+2a，矩形⑤的长为x+3a，宽为x−a；

那么2(x+x+a+x+a+x+2a)

=8(x+a)，

所以若要计算整个木板的周长，则只需知道正方形③的边长即可．

故选C．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查的是二次根式的性质与化简，绝对值的化简等知识，解题的关键是灵活应用绝对值的性质解决问题，记住正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零，属于中考常考题型.思想判定a<0，再根据(a−1)2=|a−1|，化简绝对值即可．

【解答】

解：∵|1−a|=1+|a|，

∴a≤0，

∴a−1<0，

∴(a−1)24.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断出a−4与a−11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．

【解答】

解：根据数轴上点的位置得：5<a<10，

∴a−4>0，a−11<0，

则原式=|a−4|−|a−11|=a−4+a−11=2a−15，

故选：C．

5.【答案】D

【解析】解：由题意可知：(a−2)2=−a+2=−(a−2)，

即|a−2|=−(a−2)，

∴−(a−2)≥0，

∴a≤2，

故选：D．

根据二次根式有意义的条件即可求出答案．6.【答案】A

【解析】解：∵1<a<2，

∴a−2<0，1−a<0，

则原式=|a−2|−|1−a|=2−a−a+1=3−2a，

故选：A．

利用二次根式的性质及绝对值的代数意义计算即可求出值．

此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7.【答案】A

【解析】原式=(2+1)2019×[(2+1)8.【答案】B

【解析】[分析】

根据题意得到a<0，再根据a2=a=−a化简，最后合并同类二次根式即可．

[详解]

解：由题意得：a<0

∴原式=−a−a−−a=−a−1−a．

故选B9.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了二次根式的性质与化简以及绝对值的性质．此题难度适中，注意确定各项的符号是解此题的关键．首先由a−22=a−2，即可将原式化简，然后由1<a<2，去绝对值符号，继而求得答案．

【解答】

解：∵1<a<2，

∴a−22+a−1

=|a−2|+|a−1|

=2−a+a−1

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查二次根式有关知识，解题的关键是正确理解倒数、相反数、负倒数的概念，本题属于基础题型．根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】

解：由于a+b≠0，ab≠±1，

∴a与b不是互为相反数、倒数、负倒数，

故选D．

11.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了二次根式和立方根，首先根据二次根式有意义则被开方数大于等于0，得到x的范围，从而得到x−6≤0，根据立方根的性质可得M≤0，由此即可得到答案．

【解答】

解：由题意得N≥0，6−x≥0，

∴x≤6，

∴x−6≤0，

∴M≤0，

∴M≤N．

故选A．

12.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是二次根式有意义的条件及二次根式性质，灵活运用相关知识是解题的关键.利用二次根式的性质及二次根式有意义的条件判断即可．

【解答】

解：A.当m<0时，二次根式没有意义，故错误；

B.当m<−1时，m2+2m+1=m+12=−m−1，故错误；

C.当m<0时，m2=−m，故错误；

D.13.【答案】1−2【解析】【分析】

本题考查的是二次根式有意义的条件有关知识，根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出1−a的范围即可得解．

【解答】

解：∵a(a−2)<0，

∴a>0，a−2<0，

解得a>0且a<2，

∴0<a<2，

∴−2<−a<0，14.【答案】x≥1

【解析】【分析】

本题考查了二次根式的乘法法则：a⋅b=ab(a≥0,b≥0).根据二次根式的乘法法则成立的条件得到x−1≥0x+1≥0，然后解不等式组即可．

【解答】

解：根据题意得，x−1≥0x+1≥0，

解得15.【答案】3

【解析】【分析】

此题考查了二次根式的化简求值，利用了平方差公式及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．由m与n的值，求出m+n与mn的值，将所求式子被开方数配方后，把m+n与mn的值代入即可求出值．

【解答】

解：∵m=1+2，n=1−2，

∴m+n=1+2+1−2=2，mn=(1+2)(1−2)=1−2=−1，

则m2+16.【答案】1

【解析】【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于a的方程是解题的关键.先化简8，然后依据同类二次根式的被开方数相同列方程求解即可．【解答】解：∵最简二次根式a+1与8可以合并，

又∵8=22，

∴a+1=2．

解得：a=1．

17.【答案】解：(1)原式=(6)2−(3)2

=6−3

=3；

(2)原式【解析】(1)直接利用平方差公式计算得出答案；

(2)首先化简二次根式进而计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18.【答案】解：∵两张正方形纸片的面积分别为20cm2和25cm2，

∴它们的边长分别为20=25cm，25=5cm，

∴AB=5cm，BC=(25+5)cm，

∴【解析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．

本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．

19.【答案】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b+c>0，b+c−a>0，c−b−a<0．∴原式=(a+b+c)−(b+c−a)−(c−b−a)=3a+b−c．

【解析】本题主要考查了二次根式的性质与三角形的综合，关键是熟练掌握三角形的三边关系及二次根式的性质.先根据三角形的三边关系得出被开方数的符号，然后利用二次根式的性质进行化简即可．

20.【答案】解：显然a≠0，

∴a+1a=10，

∴(a−【解析】本题考查了求代数式的值，先由a2−10a+1=0，变形得到a+1a21.【答案】80x+20y

160x+10y

【解析】解：(1)∵成人票每张80元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童，

∴甲旅行团在该景点的门票费用=80x+20y；

∵乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的12，

∴乙旅行团在该景点的门票费用=160x+10y．

故答案为：80x+20y，160x+10y；

(2)∵(80x+20y)+(160x+10y)=80x+20y+160x+10y=240x+30y，

∵x=10，y=6，

∴原式=240×10+30×6=2580(元)．

(1)根据题意列出关于x、y的式子即可；

(2)先把(1)中的式子相加，再把x=10，y=6代入进行计算即可．

本题考查的是代数式求值，根据题意列出代数式是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)−4；6−5t；

(2)①点P运动t秒时追上点R，

根据题意得5t=10+3t，

解得t=5，

答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；

②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，

当P不超过Q，则10+3a−5a=8，解得a=1；

当P超过Q，则10+3a+8=5a，解得a=9，

答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．

【解析】【分析】

此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．

(1)由已知得OA=6，则OB=AB−OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t(t>0)秒，所以运动的单位长度为5t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−5t；

(2)①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则5t=10+3t，然后解方程得到t=5；

②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+3a−5a=8；超过Q，则10+3a+8=5a；由此求得答案解即可．

【解答】

解：(1)∵数轴上点A表示的数为6，

∴OA=6，

则OB=AB−OA=4，

点B在原点左边，

∴数轴上点B所表示的数为−4；

点P运动t秒的长度为5t，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴P所表示的数为：6−5t．

故答案为−4；6−5t；

(2)①②见答案．

23.【答案】解：(1)10分钟=16小时

(42−72×16)÷(72+78)

=30÷150

=15(小时)

16+15=1130(小时)

答：穿梭巴