自动控制理论课件4-4学习资料

问题：开环增益K以外的参数变化时，根轨迹如何做？正反馈系统的根轨迹如何做？多个参数变化时，根轨迹如何做？多回路系统的根轨迹如何做？4.4

广义根轨迹的绘制

参数根轨迹零度根轨迹多个参数变化时的根轨迹簇多回路系统的根轨迹4.4.1参数根轨迹（K以外参数变化）构造等效系统（与原系统有相同的闭环特征方程），将原系统的变化参数转化为等效系统的开环增益，再借助常规根轨迹作图规则。（1）将闭环特征方程改写为，其中A是变化的参数，P(s)和Q(s)是与变化参数A无关的首1多项式。方法：（2）建立等效系统，令其开环传递函数为。（3）作等效系统当A：0→∞变化时的根轨迹。思路：C(s)R(s)例4-8控制系统的结构如图。绘制以为参变量的根轨迹。解：开环传递函数为闭环特征方程（1）求闭环特征方程并改写成的形式即用不含参变量的部分去除方程两边，得到C(s)R(s)（2）构造一个等效系统，其开环传递函数为（3）作等效系统当变化时的根轨迹开环极点：开环零点：有一条根轨迹趋向无穷远实轴上的根轨迹：（-∞，0）复平面上的根轨迹是一段圆弧圆心：（0，0）半径：分离点：注意：等效系统与原系统仅仅是闭环特征方程相同，因而具有相同的根轨迹。一般来说，等效系统与原系统的闭环零点并不相同。因此，两个系统一般具有不同的闭环传递函数。C(s)R(s)C(s)R(s)例如：C(s)R(s)等效系统无闭环零点闭环零点闭环零点s=04.4.2零度根轨迹根轨迹方程：幅值方程（不变）即相角方程（改变）考虑以下情况：正反馈系统

开环增益为负值的负反馈系统开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子闭环特征方程：（G(s)H(s)的增益大于零）要修改的规则：规则4实轴上的根轨迹实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为偶数时，该线段就是根轨迹上的一段。

规则7根轨迹的起始角与终止角规则5根轨迹的渐近线渐近线与正实轴夹角

例4-11

正反馈系统的开环传递函数要求绘制根轨迹。解：开环极点：开环零点：1.实轴上的根轨迹段：2.渐近线：3.起始角：4.分离点坐标：解得利用模值条件可见系统有一对共轭复根和一个负实根，系统稳定，响应为衰减振荡曲线。系统有三个负实根，系统稳定，响应为单调衰减。系统有一个正实根和两个负实根，系统不稳定。例4-12

单位负反馈系统的开环传递函数为

绘制的根轨迹。解：

闭环特征方程为

相当于绘制时下列方程的根轨迹

需要利用零度根轨迹绘制规则。这是开环增益为负值的负反馈系统的根轨迹绘制问题。例4-13

单位负反馈系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹。闭环特征方程解：

需要利用零度根轨迹绘制规则。

这是开环传递函数中包含s最高次幂的系数为负的因子的情况下，根轨迹绘制问题。即4.4.3系统中有几个参数同时变化时的根轨迹簇在实际控制系统中，有时需要研究几个参变量变化对系统性能的影响，这时就要绘制几个参变量同时变化的系统根轨迹。几个参变量连续地从零到无穷大变化时的根轨迹称为根轨迹簇。考虑系统中有两个可变参数的情况。设闭环特征方程为：绘制根轨迹簇的方法：K1，K2为可变参数

1.首先令一个可变参数等于零，例如K2=0，闭环特征方程可写成，绘制

K1变化时的根轨迹。2.再考虑参数K2变化，将闭环特征方程可写成绘制

K2变化时的根轨迹。第一步作出的根轨迹就是K2变化时的根轨迹的起点。例已知系统的开环传递函数试绘制时的闭环根轨迹。解：闭环特征方程为作时的根轨迹。闭环特征方程写成：取开环传递函数开环极点作时的根轨迹。

改变可绘制出一簇根轨迹：闭环特征方程写成取开环传递函数开环极点开环零点4.4.4多回路系统的根轨迹绘制双回路控制系统的根轨迹可以采用两种方法：

应用结构变换的方法将双回路系统化简成单回路系统，然后画出系统根轨迹。方法2局限性：当内环的开环传递函数比较复杂时，求内环的闭环极点比较困难。方法1先绘制内环系统根轨迹，求出在指定参数下内环系统的闭环极点（零点是知道的）。将内环系统的零点、极点连同外环系统中其它环节的极点、零点一起作为整个系统的开环传递函数的极点、零点再绘制整个系统的根轨迹。例4-10

双环系统结构如图所示，绘制时系统的根轨迹。

解：

1.绘制内环系统根轨迹C(s)R(s)U(s)内环开环极点：内环开环零点：有3条根轨迹。经过试探，求出内环系统的两个闭环极点：另一个闭环极点：内环系统的闭环传递函数为

2.绘制系统根轨迹开环传递函数为开环极点：可绘制出K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹。思考：如何绘制