高三年级数学模拟试题3

高三年级数学模拟试题3

本试卷满分为150分，考试用时为120分钟

第I卷（选择题）

一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知集合A=<xeA——j-<0=/?（不一2"乂工一/一1）<0},若AC|8=0,

则实数。的取值范围是（）

A.(2收)B.[2,-KO)C.{l}U[2,y)D.(l,+oo)

2.设复数4=@+』i,zI20161

2=3+4z,则七z」=()

22|Z2|

211

A.B.—C.D.-

20152016255

3.命题〃：若sinx>siny,则x>y；命题夕:f+y2N2xy，卜.列命题为假命题

的是（）

A.〃或qB.〃且qC.qD.—p

4.己知。>1,/（x）=ax2+2x,则使/（x）<1成立的一个充分不必要条件是（）

A.-2<x<0B.-2<x<1C.-1<x<0D.-1<x<0

5.（文）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为公5:3,

现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，己知A种型号产品共抽取了24

件，则。种型号产品抽取的件数为（）

A.24B.30C.36D.40

（理）某射击手射击一次击中目标的概率是0.7,连续两次均击中目标的的概率

是0.4,己知某次射中，则随后一次射中的概率是（）

6.下列命题中的假命题是（）

A.r(A、be(0,+co),lg(a+〃)w1ga+Igb

B.三0£尺，使得函数/*）=sin（2x+w）是偶函数

C.3a、/3sR,使得cos(a+/7)=cosa+cosp

D.3mGR,使/*）=（根一是幕函数，且在（（）,+8）上递减

7.已知数列｛%｝的通项公式为a“=bg,妇＞（〃£N,）,设其前n项和为和，则

~n+2

使SW-5成立的自然数n有（）

A.最小值63B.最大值63C.最小值31D.最大值31

8.设a,Z;,c为三角形ABC三边长，a¥l,bvc,若

logc+z,a+log^^a=2logc+ftalog（._fta,则三角形ABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

9.已知某几何体的二视图如图所示,则该几何体的各侧面中，面积最小值为（）

AMB.正C.正D.1

2222

10.（文）若向量£,/；满足a=2a^b=2,则£在右方向上投影的最大值为（）

A.百B.-V3C.V6D.-V6

（理）设。为AABC的外心（三角形外接圆的圆心）.若菽41&弓记则/BAC

的度数为（）

A.30°R.45°C.60°D.90°

厂产

11.（文）已知双曲线=1（〃＞0力＞0）的一条渐近线过点（2,6）,且双

曲线的一个焦点在抛物线=4伍的准线上，则双曲线的方程是（）

B.

21282821

c-f-i=lD.

(理)双曲线=的一条渐近线与圆(x+l『+(y-G『二I相

切，则此双曲线的离心率为()

A.2B.6C.—D.V2

3

12.给定方程：d)，+sinx-l=O,给出下列4个结论：①该方程没有小于。的

2

实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-8,0)内有且只有一个实数根;

④若与是方程的实数根，则玉)>-1.

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

第n卷(非选择题)

二,填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设〃£v，/(〃)=1+,+,+…+!，由计算得f(2)=°,/(4)>2,/(8)>-,

23n22

/(16)>3,观察上述结果，可推出一般的结论为.

14.定义运算〃为执行如图所示的程序框图输出的S值，则(sin&)*(cos马的

—JJ

值为_________

15.(文)已知定义在R上的偶函数/*)在［0,+8)上单调递增，且/⑴=0,则

不等式/0-2)20的解集是

3

（1）求二面角A-PE-。的余弦值；

（2）点。是线段上的动点，当直线CQ与OP所成的角最小时，求线段8Q的

长.

19（文）（本小题满分12分）

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班30位女同学，12位男

同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析

（1）如果按性别比例分层抽样，男.、女生抽取多少位才符合抽样要求？

（2）随机抽出7位，这7位同学的数学、物理成绩分数对应下表：

学生编号i1234567

数学分数X60657075808590

物理分数y71778084879092

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班级随机调查一位同学，则

该生的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？

（ii）根据上表数据，用变量），与x的相关系数说明物理成绩y与数学成绩x之

间线性相关关系的强弱。如果有较强的线性相关关系，求y与尤的线性回归方程,

并估测该班某位同学数学分数是95分时的物理成绩；如果不具有线性相关关系,

说明理由.（系数精确到0.01）

a（七・广

参考公式：相关系数

5

对于相关系数一的大小，如果尸？[1,-0.75],那么y与x负相关很强；如果

ri[0.75,1],那么)，与工正相关很强；如果,•?(0.75,-0.30)或打(0.30,0.75),

那么y与x相关性一般；如果荷卜0.25,0.25],那么y与x相关性较弱。

息伍-外(K-y)__

回归直线方程：$，二应+2其中B=H__M\a=y-bx

a(z-x)

参考数据：

jM；=525,y=581,趣*-=700,(-yV=336,9(x,.-x\(y-y)=480,

1=1J=li=nfi=l\/1=1\八f

V700jfe6.5,V336183

(理)某所中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200

名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天

锻炼的时间单位：分钟)

平均每天10,10)[10,20)[20,30)[30,401[40,50)[50,60)

锻炼的时

间(分钟)

总人数203644504010

将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表，并通过计算判断是否

能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标课外体育达标合计

男

女20110

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学

生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X,若每次抽取的

结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.

6

参考公式：心"标％e其中〃……

参考数据:

P(K?NkJ0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

k。

20.（本题12分）已知〃>1,直线/：工-如，-也=0,椭圆C：[+）?=],”、匕

2"广

分别为椭圆C的左、右焦点.

（1）当直线/过右焦点生时，求直线/的方程；

（2）设直线/与椭圆。交于4B两点,入4月鸟，八8耳鸟的重心分别为GH.若

原点。在以线段GH为直径的圆内，求实数机的取值范围.

21,（本小题满分12分）

（文）已知函数Hx）=石*-（a+2）x+lnx

（1）当a=l时，求曲线y=，（x）在点（1,f（D）处的切线方程；

（2）当a>0时、若f（x）在区间[1,e]上的最小值为一2,求a的取值范围；

（3）若对任意击，至£（0，+8）,水也，且/'（版）+2为0（莅）+2而恒成立，求

a的取值范围.

（理）已知函数/。）=alnx-ox-3（awR）.

（1）求函数/（x）的增区间；

（2）若函数>=/*）的图象在点（2J（2））处的切线的倾斜角为45°,对于任意

的f£[1,2],函数g（x）="3+%2"<x）+词在区间《,3）上总不是单调函数,求用的

取值范围；

/八十、TIn2In3In4In/?1.、

（3）求证：---x---x---x---x---<一（〃22,〃£N,）.

234nn+

22.（本小题满分10分）选修4T：几何证明选讲

如图，尸为圆。上一点，点A在直线8。的延长线上，过点8作圆。的切线交

的延长线于点C,CE=CB.

（1）证明：AE2=AD^AB；

7

（2）若AE=4,C8=6,求圆。的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线G的参数方程为x=—二t（t为参数），当7=1时，曲线G上的点为A,

y=V3r

当，=-1时，曲线G上点为B.以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线的极坐标方程为年=,6.

V4+5sin20

（1）求A8的极坐标：

（2）设M是曲线。2上的动点，求阿邛+M耳②的最大值・

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知a>0,b>0,且「+£=率若a+bWm恒成立，

（1）求田的最小值；

（2）若2|x-1|+|x|2a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.

高三年级数学模拟试题（三）答案

一.选择题:

123456789101112

文CDBCCAABDBDC

理CDBCCAABDCCC

二。填空题:

13./(2n)>—

8

14.

4

15.（文）（-oU]U[3,yo）（理）-1

16・（文）2/+6〃（理）（4,7）

三.解答题

17.解：

f(x)=2sinxcosx+2,3cos2x->/3

=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+y)...........................3分

所以fM的最小正周期为"..............4分

/（x）的单调递减区间为&万+卷，乂•+等（Aez）............................5分

1乙1乙

(2)由-芯)=2sin(2(y一令+$=2sinA=G

又A为锐角，则从=工.7分

3

a_7_14

由正弦定理可得2R=

sinAGy/3

2

sinB+sinC=^^

14

所以8+c=2R(sinB+sinC)=^^x^=13

9分

由余弦定理可得cosA=/+cT==1............................*分

2bc2bc2

可得Z?c=40............................11分

所以S.8c=g从sinA=10g............................12分

18.（文）解：（1）证明：连结ED交AC于0,连结0F,

因为AECD为菱形,OE=OD,....................2分

・・・F0〃BE，....................4分

9

・・・B|E〃面ACF.6分

(2)取AE的中点M,连结BM因为BA二AD=DC^BC=a，ZkABE为等边三角形,

乙

则比日二^a，.........8分

又因为面B】AE_L面AECD,所以8曲_1_面AECD,.........10分

所以V=X^~aXaXaXsirr^-=^--.........12分

J/J4

(理)证明(1)由题可知：可以A为原点，AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系。因为AD,平面PAB,所以而是立面PAB的一个法向量，

AD=(0,2,0),PC=(1,1,-2),PD=(0,2,_2),2分

设平面PED的法向量为〃?=(x,y,z),Mm»PC=0,

m・PD=0

x+y-2z=0,所以可取平面PED的一个法向

即V

2y-2z=0

量为〃;二(1,1,1)4分

所以cos(4方,石)二当

则二面角A-的余弦值为*

6分

3

(2)因为丽=(-1,0,2),设户=(—九0,24)(()(几＜1)

C5=(O,-1,O),CQ=CB+BQ=(-2,-1,2/1),又而=(0,—2,2)

10

1+2/

cos仔,研8分

加0万+2

2t2

设：1+2%=/,则cos2

55-10/+9J520

G24

y（----）H—

t99

仅当1=：,即丸=2时cos(西，方乃的最大值为纪m.......11分

95、/10

因为cosx在((),马是递减，所以此时CQ,DP所成角最小。

2

可得BQ二平.......12分

19.(文)解：(1)应选女生30x，7=5位,女生12x7—=2位.......4分

4242

(2)U)由表可得，所选的7位同学中，数学和物埋均为优秀的人数是2人,

所以概率是,.......6分

(ii)变量y与x的相关系数r=———«0.99,

26.5x18.3

可以看出物理成绩y与数学成绩x之间正相关很强，.......8分

设y与x的线性回归方程是y=bx+a,

协—)

&£=2=1&---------------------------

由题中所给数据可得协-')=—*0.69

700

—八—

a=y-bx480

'=83--x75«31.57

700

所以回归方程为y=0.69x+31.57........11分

当x=95,可得y«97

数学95分时的物理成绩大约97分。........12分

(理)解：

(1)由题可得

课外体育不达标课外体育达标合计

男603090

11

女9020110

合计15050200

...............3分

⑺200(60x20-30x90)2*4200

K-=---------------------------=——x6.060<6.635

150x50x90x11033

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有

关........6分

(2)由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25,将频率视为

概率，

，X〜8(32)，...............9分

4

13139

・•.E(X)=3x—=二，D(X)=3x-x-=—..............12分

444416

20解：(1)因为直线/：入一町，-1=0过椭圆C：的右焦点F2(J解-1,C)

所以厢二1=竺，又〃2>1

2

可得加=也...........2分

故直线的方程为x-亚丁-1=0............3分

(2)设4(%,)，］),8(%。2)

mn

x-my------=02

2

由，2,nfW2y+my+———1=04分

x24

—+/2=1

m~

所以x+%=*,=；(与1)...........5分

2

由A=〃?2-4x2x(丝-1)=一相？+8>(),得m2<8..........6分

4

由G由分别是居,A*鸟的重心,可得G埠争”仔,争

•・,原点O在以线段GH为直径的圆内，可得而•丽<0..........8分

:.x,x2+yly2<0.

12

2\fv2,i\

而+^>1+y+)1%=(m？+l)y--，......10分

2।

A—--<0,即m2<4.

82

又•.•机>1且△>0,.,.1<z/z<2,

」.m的取值范围是(1,2)......12分

21.解：(1)当a=l时,/'(X)=/—3x+lnx,

f(x)=2x—3+士.....1分

x

因为f(1)=0,/(1)=-2,

所以切线方程是y=-2......3分

(2)函数f\x)=ax~—(w+2)x+lnx的定义域是(0,+°°).

、i,zw/\...12<3/一w+2x~\~1

当a>0时，£(x)=2ax-(a+2)+-=------------------(x>0),

xx

人，/、口r〜、2a^—d+2x+12x—1ax—1

令■f(x)=0,即/5)=------------------=-------------------=0,

XX

所以或X=-......5分

2a

当od《1,即力时，/(*)在［1,a］上单调递增，

a

所以人力在［1,e］上的最小值是〃1)=-2；

当l)〈e时，在匚，e］上的最小值是—2,不合题意；

33

当时，f(x)在(1,e)上单调递减，

a

所以Mx)在［1,e］上的最小值是F(e)〈F(l)=-2,不合题意.

综上可知aeL.....7分

(3)设g(x)=f(x)+2%则g(x)=a/—ax+lnx,

只要g(x)在(0,+8)上单调递增即可.

,/、-,12a^~ax+1八

Ill］g(x)=2ax-a-\■一=..................9分

xx

13

当a=0时,g'U)=->0,此时g(x)在(0,+8)上单调递增；.....10分

当aWO时，只需g'5)20在(0,+8)上恒成立，因为(0,4-00),只要

2加一ax+120,则需要a〉0,..........11分

对于函数y=2af—ax+1,过定点(0,1),对称轴x=［〉0,只需4=才一8a<0,

B|J0<“W8.

综上0WaS8............12分

a(1x)

(理)解：⑴p(x)=~(x>0)...........1分

X

当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1］,减区间为［1,+8)；

当a=0时，f(x)不是单调函数.....3分

(2)f'(2)二一包二1得a=-2，f(x)=-21nx+2x-3...........4分

2

2

g(x)=x3+X2(2—4-m)=x3+(2+m)x2-2x

x

g'(x)=3x2+2(2+m)x-2,

9

由题意知g<x)=O在(2,3)上有解,即2(2+加)=*一3］在(2,3)上有解，......5

A

分

又)=±一3工为(2,3)上的减函数，故一二<4一3/<-5

x3x

.25e+fr379r八

・・---<4+y2ml<-5oC故------<m<——...........J分

362

(3)令a=-1此时f(x)=-lnx+x-3,所以f(1)=-2,

由(1)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上单调递增，

工当x£(1,+8)时f(x)>f(1),即・Inx—x-1>0,...........9分

JnxVx-1对一切xE(1,+8)成立，.....10分

Vn^2,nWN*,则有OVlnnVn-1

I.o〈血〈曰.....11分

nn

・ln2ln3ln4Inn-123

■•■■-■—■—■—•—^(n>2,n€N*)..........京分

234n234nn

22.

14

证明：(1)由已知连接OE,因为

且N84E公用，所以AAOESAAEN即A£2=ADA85分

(2)因为AE2=ADAB,所以42=AO(AD+8O)=16

因为8C=CE,所以4。2=8。2+4外，

R|1(4+6)2=62+(AD+DB)2.....8分

100=36+(AQ+。8)。

贝|JAQ+BD=8,故AO=2,3O=6,

所以半径是3......10分

23.

“球可得’x=-1,

解：(1)将，=1代入1分

丫=6

x=l,

将f=—l代入可得.2分

y=y/3ty=-6

A的直角坐标为4-1,6)，B的直角坐标5(1,73)

A的极坐标为A(2,旦)，8的极坐标仅2,2).....4分

33

(2)由0=/6得夕2(4+55如。)=36.

j4+5sin*

，曲线C,的普通方程为《+父=1......6分

94

设曲线Q上的动点M的坐标为朋(3cosa,2sina),.....7分

则pVMf+pWBp=10cos2c+16W26......9分

的最大值为26......1o分

24.解:(1)Va>0,b>0,且a?+b2嚓

乙

A9=(a2+b2)(12+12)2(a+b)2,.....2分

15

3

・・・a+bW3,（当且仅当;号，即,/时取等号）

又,.,a+bWni恒成立，.'.m23.••…5分

故m的最小值为3.

（2）要使2|x-l|+|x|2a+b恒成立，须且只须2x-l|+|x|23.6分

,x<00<x<lfx>l

或《8分

*|-2x+2-x〉3~-2x+2+x>3”2x-2+x>3'

或X..10分

33

19.（本小题满分12分）

长方体ARCQ-AaCR中,AA=4MA=3,AC=2,,尸为A片中点，M,MQ分别

为棱

A3,A41,CG上的点，且==3AN,CC、=3CQ.

（I）求证：PQ_L平面PD、N；

（II）求二面角尸-。历-N的余弦值.

16

%

【答案】(I)证明见解析;(II)--.

19

【解析】

试题分析：(I)以。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的运算，证得

PQLD\P,PQLD、N,

即可证明PQ_L平面PDN；(II)求出平面02M的一个法向量为7=(3,

平面"MN的一个法向量为蔡=(3,1,3),利用法向量所成的角，即可求解二面角

P—QM-N的余弦值.

17

试题解析：(I)以。为原点，如图建立空间直角坐标系,

则以223),0(041),4(0,03),MQ30)：砥2。1),

(I)PQ=(-2.2-2),5^=(2:20)=D^N=(2:0-2):

'/PG^P=-2x2+2x2+(-2)x0=0,而•丽=-2x2+2x0+(-2)x(-2)=0,

・.PQJ_D］P,PQ_10M

・.。］尸口。1"=刀1，，尸。，平面尸D】N.

(II)丽=(2,3,-3)丽=(2,2,0),丽=(2,0-2),

设平面P£)iM的法向量为〃=(X］，x，zJ,

则［4丝丁+3y-3z=0,可取平面尸的一个法向量为1=(3,—3,—1)，

D｝Pn=2$+2y=()

设平面D［MN的法向量为/7?=(x2,y2,z2),

则［q?a：2x2+3)，2-3z2=0,可取平面RMN的一个法向量为m=(3,1,3)，

D、N,m=2x2-2z,=0

.—*

.-----in-n3

・・COS<777,〃>=LI=一，

m19

；・二面角P-RM-N的余弦值为—a.

19

考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解；空间向量的应用.

17.(本小题满分12分)

在各项均为正数的等比数列｛4｝中，4=2,且成等差数列.

18

(1)求等比数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列｛2｝满足％=(〃+2)log,a“，求数列」｝的前〃项和

b“

32〃+3

【答案】(1)%=2"；(2)

-42(/+3〃+2)

【解析】

试题分析：(1)数列｛氏｝是等比数列，已知卬，只要求得公比4.,就可求得通项

公式，由已知条件有6%=4+4，应用等比数列的性质或用等比数列的通项公

式可求得小(2)由(1)可求得勿=〃伽+2),从而有工二匕1一_!_),这样它

bt]2nn+2

的和可用裂项相消法求得.

试题解析：(1)由已知6生=。3+。4，则6%=。2夕+"2/，即-6=0,又4>0,

所以4=2,%=2".

(2)^=(«+2)log2w=«(+2),贝I]

2Wb„2nn+2

T11111、1/I1、LI1、1/1、

7L=-+—H----F——=—(1——)H—(――一)H-----1—(---------------)H—(―--------)

司与4232242n-1n+l2nn+2

I111、32〃+3

=­(14------------------)=--z-------------.

22w+1力+242(M+3K+2)

考点：等比数列的通项公式，裂项相消法.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ASCQ中，底面43c。是菱形，ND48=6(T,PD_L平面

ABCD,叨=4£>=1,点E,产分别为AB和P力中点.

(1)求证：直线A/〃平面PEC；

(2)求三棱锥P-BE/的表面积.

19

4+6+近

【答案】（1）证明见解析；（2）~~T

【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，一般先证线线平行，考虑到4EACD,尸是尸D中点，因此取PC的中点

M,可证得如〃♦后且月，=盘，从而得平行四边形陋WK,因此有步夕最终得线面平行：

（2）要求三棱锥P-BEF的表面积，必须求得它的各个面的面积，由ED_L平面4BCD,得

PF1DE.PF1DB,三角形P即和MF的面积可求，由题设又可证3_L平面PE尸，这样就有

BE±EF,BE±PE,另两个面的面积又可求得.

试题解析：（1）证明：作用〃以交加于掰

•・•点产为网中点，，下M=LCD..•・/^=9加=在取，.二公肝为平行四边形，.二井〃.二

22

平面PHC,EWu平面尸EC,，直线斯”平面广丛.

（2）连结即可知ED_L4B,

尸41.平面4BCD

^>PALAB

ABu平面43CD卜n幺8J.平面pm

\^>AB±PE,ABI.FE>

DEI.AB

PE,REu平面PER

由此2四=洛•如号号邛;

01"”1a1"

—PF-BD=——-1=—Smv=­PE-BE=--------=—3

2224M22228

1

—EF-EB=--1—->

2224

因此三棱锥P-BEF的表面积，_诋=S生尸+S.F+S尸帖+S/EF="勺，

20

考点：线面平行的判断，多面体的表面积.

21

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的

直角坐标为（1,2）,点M的极坐标为（3,巳），若直线/过点P,且倾斜角为王，圆

26

。以M为圆心，3为半径.

（1）求直线/的参数方程和圆。的极坐标方程；

（2）设直线/与圆C相交于两点，求陷卜|理.

-1tI

【答案】（1）直线/的参数方程为2（/为参数），圆的极坐标方程为

C1

y=2+—r

-2

夕=6sin6；（2）7.

【解析】

试题分析：（1）由直线参数方程的标准形式可直接写出/的参数方程，由圆的极坐标方程的意义可直接写出

圆C的极坐标方程；（2）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程代入，利用参数方

程的几何意义可得，A,B对应的参数分别为仙,则|以|=|4|,|用用加.

X=1+—t

试题解析：（1）直线/的参数方程为2（，为参数），

y=2+—t

U2

圆C的极坐标方程为夕=6sin0.

（2）圆。的直角坐标方程为d+（y—3）2=9,

X=1H---1

把（2代入f+（），-3）2=9,Wr+（＞/3-l）r-7=O,

y=2+—/

V2

:・桃=-7，设点AB对应的参数分别为乙由，

则|PA|=|fJ,\PB\=\t2\f：.\PA\\PB\=7,

考点：直线的参数方程，圆的极坐标方程.

18.（本小题满分12分）

22

如图，三棱锥S—ABC,瓦尸分别在线段48,AC上，EF//BC,\ABC2EF均

是等边三角形，且

平面SMJL平面A8C,若BC=4,EF=a,。为瓦'的中点.

⑴当"当时'求三棱锥S-ABC的体积;

（2）〃为何值时，3E_L平面SCO.

【答案】（1）6;⑵a=-.

3

【解析】

试题分析：（1）平面跖平面泅C,。为印的中点，且瓯=SF,所以即，S。，平面/C,

即三棱锥的高，由此求得体积为石；（2）3。，平面,岱。，故SO工BE,延长C。交45于D,贝"

CD1AB,DE=-EO=-a,AD=2,所以翘二2+1°,即空=即，2+-a=a,a=-.

24443

试题解析：

（1）平面烟，平面/C,。为昉的中点、，且SE=SF,所以SO_L即，

a1

・・.5。，平面.四。，即5。=1匕_皿=±3皿・$。=的.

42

(2)平面SMJL平面ABC,。为瓦'的中点，且SE=SA

・・・SOJ•平面A8C,故SO工BE,

要使BE_L平面SCO,则需BE_LCO,

延长C。交AB于。，RiJCDlAB,DE=-EO=-a,AD=2,

24

23

|1Q

AE=2+—aHPAE=EF,2+—a=a,a=—，

443

Q

所以4=2时，8E_L平面SCO.

考点：立体几何证明垂直与求体积.

20.(本小题满分12分)

设圆F以抛物线P:J，=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共

点.

U)求圆厂的方程；

(2)过点M(-1,0)作圆Q的两条切线与抛物线P分别交于点A,B和C,D,

求经过A,B,C,O四点的圆E的方程.

【答案】(1)(JC-1)2+/=1；(2)(x-7)2+y2=48.

24

【解析】

试题分析：（1）设出圆的方程，根据题意求出半径即可；（2）设出切线方程，联立抛物线方程，求得圆心

坐标与半径即可求解.

试题解析：（D设圆尸的方程为（工一1）2+丁=/9>0）,

将丁=4%代入圆方程，»（x+l）2=r\.\x=-l-r（舍去），或x=—l+r,

又圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当-1+〃=0,即〃=1,满足题意，

故所求圆尸的方程为（％-1）2+丁=1；............4分

<2）设过点M（T,O）与圆尸相切的斜率为正的一条切线的切点为T,

连接即，则TFJLMT,且7F=1,初尸=2,，N7Af产=30°,

则直线的方程为尤=底一1,与/=4%联立，得/一48+4=0,

记直线与抛物线的两个交点为4再Ji），笈（巧,为），则M+为=4指,乃为=4,

%+为=石（弘+当）-2=10,从而国的垂直平分线的方程为y-2后=-拒（x-5）,

令），=0,得x=7,由圆与抛物线的对称性，可知圆E的圆心为七（7,0）,

I阴=］（9-4『+（）厂％）2="［（乂+必丫-纣m］=8&，

又点E到直线A3的距离"=7-；+1=9・••圆E的半径宠=向硬方=4#,

・••圆E的方程为“-7）2+V=48..............12分

考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的标准方程及其性质.

【名师点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定

义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题（本书多处强调）；③要灵活运

用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而

不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.

14.给定双曲线C:f-克_=1,若直线/过。的中心，且与。交于M,N两点，

V5+I

尸为曲线。上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为心”,心”则

kpM.kpN----------

25

75+1

【答案】

2

【解析】

试题分析：由题意，设好（。。）,秋一《70：尸配7）,则从=$1（1一。/=与1（,