高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案

第2课时补集及集合运算的综合应用

卜课前自主预习

1.全集

(1)全集定义：目如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所

有元素，那么就称这个集合为全集.

(2)全集符号表示：囿全集通常记作U.

2.补集的定义

(1)自然语言：因对于一个集合A,由全集。中不属于集合A的

所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合

A的补集，记作〔以.

(2)符号语言：［以=叵］」％|%£。且依4}.

(3)图形语言：回用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示［

R自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)一个集合的补集一定含有元素.()

(2)集合上。与［A。相等.()

(3)集合A与集合A在全集。中的补集没有公共元素.()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

(1)(教材改编P11T4)设集合。={123,4,5,6},M={1,2,4},则

等于()

A.UB.{1,3,5}

C.{3,5,6}D.{2,4,6}

(2)(教材改编P11T4)已知全集。={1,2,3,4},集合A={1,2},B=

{2,3},则〔u(AU5)等于()

A.{1,3,4}B.{3,4}

C.{3}D.{4}

(3)设集合S={x\x>-2},T={x|-4<x<1},则(〔RS)UT等于(

A.{%|—2<%W1}B.{冲W—4}

C.{x|x<1}D.{x\x^l}

答案(1)C(2)D(3)C

卜课堂互动探究

『释疑解难』

1.全集理解

全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范

围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集.如

若只讨论大于0小于5的实数，可选｛%|0<%<5｝为全集.通常也把给定

的集合作为全集.

2.补集理解

(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没

有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全

集的范围.

(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运

算.求集合A的补集的前提是A为全集。的子集，随着所选全集的

不同，得到的补集也是不同的.

(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：

实数集合

被减数Q被减集合(全集)A

减数b减集合3

差a-b补(余)集〔A5

(4)符号［以有三层意思：①A是。的子集，即ACU;②［以表

示一个集合，且(［以)之。；③［必是。中不属于A的所有元素组成的

集合，即〔以={%|%£。，且KA}.

(5)若%£。，则%£A或％£〔以，二者必居其一.

探究1补集的简单运算

例1(1)已知全集。={小玄5},集合4={X］一3W%<5},则［以

_________________________9

(2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},［以={2,4,6},［乃={1,4,6},

则集合5=.

解析(1)将集合。和集合4分别表示在数轴上，如图所示.由

补集定义可得〔%={小<一3或％=5}.

-35x

(2)解法一：A={1,3,5,7},［必={2,4,6},

二.。={123,4,5,6,7}.

又［出={1,4,6},••.5={2,3,5,7}.

解法二：借助Venn图，如图所示.

由图可知5={2,3,5,7}.

答案⑴{小＜一3或%=5}(2){2,3,5,7)

拓展提升

求集合补集的基本方法及处理技巧

(1)基本方法：定义法.

(2)两种处理技巧

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴

分析求解.

【跟踪训练1］(1)设集合。={123,4,5,6},M={1,3,5},则］

uM=1)

A.{2,4,6}B.{1,3,5}

C.{1,2,4}D.U

(2)若全集U={%£R|—2W%W2},则集合A={%£R|—2W%W0}

的补集［以为()

A.{x£R|0<x<2}B.{xGR|0<x<2}

C.{xGR|0<x<2}D.{x£R|0<x<2}

答案(1)A(2)C

解析(1)因为集合U={123,4,5,6},"={1,3,5},所以

{2,4,6}.

(2)借助数轴(如图)易得［°A={x£R|0aW2}.

-202^

探究2交、并、补集的综合运算

例2已知全集C7={x|x<4},集合A={%|—2<%<3},B={x\~

3<Y<3}.求［必，AHB,［u(An5),(［°A)nA

解把全集。和集合A5在数轴上表示如下：

u

Bl一

A

-o~o_1——1——1——1~~―►

-3-234

由图可知

[UA={%|xW—2或3WXW4},

AC5={x[—2<%<3},

Ct/(AnB)={x\x^-2或3<x<4},

([必)05={加一3<%或一2或％=3}.

拓展提升

1.补集的性质及混合运算的顺序

(l)AU(hA)=t/,AA(hA)=0.

(2)[u([uA)=A,[°。=0,[卢=U.

(3)[u(AA5)=([必)U([田)，UAUJB)=(C{/A)A(Cf/B).

2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元

素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表

示的集合，则可借助数轴求解.

3.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合

运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.

【跟踪训练2】已知集合A={#x|W2},B={x\~3<x<0},C=

{小W1}.

求：An。，AUS,（CRA）AJB.

解Anc={%|-2<X<2}n{xk<1}={x|-2<x<1}；

AU5={%|一2W%W2}U{%|—3<%<0}={X|—3<%W2}；

（〔RA）AB={x|x<—2或x>2}n{x|-3<x<0}={x|—3<x<—2）.

探究3利用集合间的关系求参数

例3已知集合A={%|2a—24<Q},B={X\1<X<2},且A［R—

求a的取值范围.

解［RB={X|%W1或％三2}W。，

VA［出

...分A=0和两种情况讨论.

①若4=0,此时有2a—22小：.a^2.

②若AW。，

2a—2<a,2a—2<a,

则有，或<、aWl.

aW1〔2Q—222.

综上所述，aWl或Q22.

［条件探究］本例中若把“A院夕'换成"AA［R5=0"，则a

的取值范围为多少？

解①若A=。，则”22满足题意.

2a—2<a,

②若AW。，则需满足<2a—221,

、aW2,

33

解得］Wa<2,综上所述

拓展提升

利用补集求参数问题的方法

(1)解答本题的关键是利用ACRB,对A=0与AW。进行分类讨

论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题.

(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补

集是全集的子集.

(3)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示

数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解.

【跟踪训练3】已知集合A={%[%<a},B={x\l<x<3}.

(1)若4U([RB)=R,求实数Q的取值范围；

⑵若4[R5,求实数Q的取值范围.

解(1)<5={%|14<3},

[R5={%|XW1或X23},

因而要使AU([R5)=R,结合数轴分析(如图)，可得。23.

(T)'：A=[x\x<a],[R5={MXW1或％23}.要使A[RB,结合数

轴分析(如图)，可得QWL

探究4补集思想的应用——正难则反

例4若集合A={X|Q%2+3%+2=0}中至多有1个元素，求实数

。的取值范围.

解假设集合A中含有2个元素，即依2+3%+2=0有两个不相

“W0,9

等的实数根，则,coC解得且QW0,则此时实数。的

3=9—8。>0,o

9〕f9

取值范围是[aa<R且aWOj.在全集U=R中，集合卜且aWO1的

补集是或Oa=O.所以满足题意的实数a的取值范围是

拓展提升

运用补集思想解题的方法

当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集

思想.其解题步骤为：

(1)否定已知条件，考虑反面问题；

(2)求解反面问题对应的参数范围；

(3)取反面问题对应的参数范围的补集.

【跟踪训练4］已知集合A={y|y>a2+1或y<a},B=

{y|2WyW4},若AA5W。，求实数a的取值范围.

解因为A={y|y〉屋+1或y<a},B={y|2<y<4},我们不妨先

考虑当AAB：。时a的取值范围，在数轴上表示集合A,B,如图所

示.

2

aW2,

［屋+1N4,可或aW—小，

故aW一事或小WaW2.

即4AB=0时，a的取值范围为aW—/或小

故AABW0时，a的取值范围为a>2或一<小.

f-------------------------------1驱即-------------------

L全集与补集的互相依存关系

(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究

问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元

素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全

集.因此，全集因研究问题而异.

(2)补集是集合之间的一种运算.求集合4的补集的前提是A是

全集。的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因

此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.

(3)［以的数学意义包括两个方面：首先必须具备4CU；其次是

定义［以={%|%£。，且％qA},补集是集合间的运算关系.

2.补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U,

求子集A,若直接求A困难，可先求［以，再由〔u(［uA)=A求人.

卜随堂达标自测、

1.已知全集。=&A={"tWO},B={x\x^l},则集合

=（）

A.{x\x^O}B.{x\x^1}

C.{x|O<x<l}D.{x|O<x<l}

答案D

解析由题，知AUB={x|x<0或％21},所以［°（4口5）=

{x|O<x<l}.

2.已知三个集合U,A,5之间的关系如图所示，则（［/）nA=

A.{3}

C.{1,2}

答案C

解析由Venn图可知。={0,1,2,345,6,7,8},A={1,2,3},B=

{3,5,6},所以（［〃）AA={1,2}.

3.设全集。={%£N|XW8},集合A={1,3,7},5={2,3,8},则（［

必）n（［出）=（）

A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}

C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}

答案C

解析U={xeN|%W8}={0,123,4,5,6,7,8},

.•/uA={0,2,4,5,6,8},［/={0,1,4,5,6,7},

...（［以）0（［苏）={0,4,5,6}.

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},{3,4,5},则(［

uA)U(［出尸.

答案{123,6,7}

解析由题可得［以={1,3,6},［出={1,2,6,7},

.•.(［%)口(［网={1,2,3,6,7}.

5.已知U=R,集合A={%|%2—%—2=0},B={x\twc+l=0},

5n(［以)=0,求实数用的值.

解A={—1,2},5n(［.)=0等价于5cA

当m=0时，5=0CA；

当机W0时，5=［一

1或一\=2,即加=1或加=一；.

综上，加的值为0,1,—2-

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.设集合。={1,2,3,4},4={1,2},5={2,4},贝比顺日5)=()

A.{2}B.{3}C.{1,2,4}D.{1,4}

答案B

解析集合U={1,2,3,4},A={1,2},5={2,4},贝此认AU5)={3},

故选B.

2.已知全集。=&集合A={1,2,3,4,5},B={x^R\x^3},则下

图中阴影部分所表示的集合为()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{0,1,2}

答案B

解析由题意得AAB={3,4,5),阴影部分所表示的集合为集合

4去掉集合AAB中的元素所组成的集合，所以为{1,2}.

3.2或%>2},N={%|xW机},若([RM)ANW。，则实

数机的取值范围为()

A.m<2B.机2一2

C.m>—1D.l2WmW2

答案B

解析CRM={X|-2<X<2},再利用数轴来解决([R")ANW0时

机的取值范围，易知根2—2.

4.下列四个命题中，设。为全集，则不正确的命题是()

A.若4A5=0,则([°A)U([出)=。

B.若AU5=0,则A=5=0

C.若AU/=U,则([⑷H([/)=0

D.若405=0,则4=5=0

答案D

由4U5=0,得A=5=0,B正确；

由Venn图易知C正确.

故选D.

5.已知。=R,A={xk>0},B={x\x^-1},则(An[/)U(5n

[以)=()

A.0B.{#WO}

C.{x|x>—1}D.{亦〉0或XW—1}

答案D

解析:An［/={小>0},5n［uA={%|%w—1},「.（An［苏）u

（BA［⑷={小>0或％W—l}.

二、填空题

6.设全集U={〃£N|1W〃W1O},4={1,2,3,5,8},5={1,3,5,7,9},

则（［⑷A5=.

答案{7,9}

解析VU={n^N|l<n<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A=

{1,2,3,5,8},.•.［以={4,6,7,9,10},

又•:B={1,3,5,7,9},，（［以）n5={7,9}.

7.已知集合4={1,3,X］,B={1,♦},若57（［#）=4则［述

答案｛一小｝或｛陋｝或｛3｝

解析因为BU(［u5)=A,所以4=U.

①当％2=3时，x=±^3,3=｛1,3｝,［出=｛小｝或｛一小｝.

②当/二工时，x=0或1.

当x=0时，5=｛0,1｝，［/=｛3｝；而