高考一轮复习理数课时达标检测（二十二）三角恒等变换

课时达标检测(二十二）三角恒等变换[练基础小题——强化运算能力]1．[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280)＝________.解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°·\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)sin80°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，－eq\f(π,2)＜α＜0，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值是________．解析：由已知得cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，所以cosα－eq\f(π,3)＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)3．(2018·江苏宜兴三校联考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－eq\f(7,8)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值为________．解析：因为coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝eq\f(7,8)，所以有sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))＝eq\f(1,16)，从而求得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值为±eq\f(1,4).答案：±eq\f(1,4)4．(2018·泰州调研)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))的值是________．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋\f(π,2)))＝cos2α－eq\f(π,3)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))－1＝2×eq\f(1,9)－1＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是________．解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴sineq\f(π,3)cosα＋coseq\f(π,3)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(4,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝sinαcoseq\f(7π,6)＋cosαsineq\f(7π,6)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝________.解析：依题意得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)2＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)2．(2018·云南模拟)coseq\f(π,9)·coseq\f(2π,9)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,9)))＝________.解析：原式＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,2)sin40°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,4)sin80°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq\f(1,8).答案：－eq\f(1,8)3．若tanα＝2taneq\f(π,5)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝________.解析：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3.答案：34．(2018·启东中学月考)4cos50°－tan40°＝________.解析：原式＝4sin40°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4cos40°sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin120°－40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，则角A的值为________．解析：由题意知，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－eq\r(2)cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－eq\r(2)，又tanB·tanC＝1－eq\r(2)，所以tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1.由已知，有tanA＝－tan(B＋C)，则tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)6．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)·tanαtanβ＝eq\r(3)，则α，β的大小关系是________．解析：∵α为锐角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)，∴α＞eq\f(π,4).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α＞eq\f(π,4)，∴β＜eq\f(π,4)＜α.答案：α＞β7．(2018·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝eq\f(π,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π))⇒eq\f(π,2)≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，∵eq\f(π,2)≤α≤π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，∴－1≤eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))≤1，即所求的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]8．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝________.解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝eq\f(2,3)＞0，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(\r(5),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(2－\r(15),6).答案：eq\f(2－\r(15),6)9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________.解析：由题意得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)＜0，tanα·tanβ＝4＞0，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，且tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－eq\f(2π,3).答案：－eq\f(2π,3)10．若0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\f(π,4)－eq\f(β,2)＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝________.解析：∵0＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜0，∴eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)＋α＜eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\f(π,4)＋α－eq\f(π,4)－eq\f(β,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\f(π,4)＋αsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(5\r(3),9).答案：eq\f(5\r(3),9)二、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值；(2)若sinα＝eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,24))).解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝cos2eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),4).(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα＋\f(\r(3),2)cosα)).因为sinα＝eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f