2025年人教版七年级数学下册计算题专项训练专题06期中复习-实数的运算(五大题型总结)(原卷版+解析)

专题06期中复习——实数的运算（五大题型总结）【题型一：利用平方根与立方根解方程】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：（1）m2（2）182．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x．（1）16x（2）3x+53．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程：（1）2x−3（2）x+14．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值：（1）3（2）15．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求x的值：（1）2x−12（2）8x【题型二：实数的混合运算】6．（23-24七年级下·河南许昌·期中）计算：（1）4+（2）5−7．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算下列各题．（1）9−（2）−428．（23-24七年级下·重庆·期中）计算：（1）−12024（2）32−9．（23-24七年级下·重庆·期中）计算：（1）3−8（2）81+10．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算：（1）22（2）3−2711．（24-25七年级下·全国·期中）计算：（1）4+（2）6−12．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算：（1）21（2）3−13．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）−1（2）−14．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算：（1）−1（2）−15．（23-24七年级下·全国·期中）计算：（1）16−（2）−22【题型三：平方根与立方根的综合运用】16．（24-25八年级上·全国·期中）若a−1=2，正数b的两个平方根分别是2c−3和3c−7，求2a−3b+c17．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知3a−21的立方根是−3，4a−b−1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．（1）求a，b，c的值．（2）求3a−b+9c的平方根．18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数x的两个平方根分别是m+6和2m−n（1）求代数式m−1（2）当n=12时，求xm19．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和x+y．（1）若x=2，求y的值；（2）若ax2−2a20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．（1）求这个正数m；（2）若b和c满足b−1+c+32【题型四：无理数整数部分的有关计算】21．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知35a+2=3，3a+b=4，c是1122．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知4a−11的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是8的整数部分，求a+b+c的平方根．23．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题：我们规定：用x表示实数x的整数部分，用x表示实数x的小数部分，例如：3.14=3,〈3.14〉=0.14,2=1．大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即〈2〉=2请解答下列问题：（1）14=______，14（2）如果〈5〉=a,41（3）1+24．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下列信息材料：信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如：π，2等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成2.5−2得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如1<3根据上述信息，回答下列问题：（1）15的整数部分是______，小数部分是______；（2）若10+5是夹在相邻两个整数a和b之间的数，则a+b=（3）若30−3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y25．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4<7<9，即2<7（1）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b+5的值；（2）已知10+3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求（3）已知5+11的小数部分为a，5−11的小数部分为b，求【题型五：与实数有关的规律问题】26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子：1=11+3=1+3+5=1+3+5+7=根据阅读解决下列问题：（1）计算：1+3+5+7+9＝；1+3+5+7+9+11＝；（2）猜想规律：1+3+5+7+9+11+...+2n−1＝（3）利用规律计算3+9+15+21+27+33+...27．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①13②13③13④13⑤13根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13（2）简便计算：8328．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：1×3+12×4+13×5+14×6+1（1）观察算式规律，计算5×7+1=（2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律，（3）计算：3×5+129．（23-24七年级下·山东日照·期中）阅读理解题：阅读下列解题过程：第1个等式为：11+2=2−1（1）第4个等式为________；（2）猜想：第n个等式为________（n为正整数）；（3）利用上面的解法，请化简：11+30．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题：①1+②1+1③1+……（1）请根据上面三个等式提供的信息，则1+1（2）请利用上述规律，猜想1+1（3）计算：1+1专题06期中复习——实数的运算（五大题型总结）【题型一：利用平方根与立方根解方程】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：（1）m2（2）18【思路点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）先将m2−49=0变形为（2）先将18x−22【解题过程】（1）解：m2∴m解得：m=±7；（2）解：18∴x−2∴x−2=±8，解得：x1=−6，2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x．（1）16x（2）3x+5【思路点拨】本题考查平方根和立方根的性质；（1）先求出x2（2）先求出x+53【解题过程】（1）解：16x16xx2x=±5（2）解：3x+5x+53x+5=−3，x=−8．3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程：（1）2x−3（2）x+1【思路点拨】本题考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．（1）根据平方根的定义即可解答；（2）移项，化简，根据立方根的定义即可解答；【解题过程】（1）解：2x−32化简得，2x−3=±3，∴x=3或x=0．（2）解：x+13移项得，x+13化简得，x+1=−1∴x=−34．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值：（1）3（2）1【思路点拨】本题考查利用平方根和立方根解方程：（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【解题过程】（1）解：∵3x−1∴x−12∴x−1=±5，∴x=1+5=6或x=1−5=−4，∴x=6或−4；（2）12∴(x+3)3∴x+3=2，∴x=−1．5．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求x的值：（1）2x−12（2）8x【思路点拨】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键．（1）先计算16=4（2）方程移项后除以8，得x3【解题过程】（1）解：2x−122x−12x−1=±22x−1=2,2x−1=−2，解得，x=32或（2）解：8x8xx3x3x3解得，x=−2．【题型二：实数的混合运算】6．（23-24七年级下·河南许昌·期中）计算：（1）4+（2）5−【思路点拨】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）利用开平方、开立方进行计算后，再进行加减运算即可．（2）利用开平方、开立方、取绝对值进行化简后，再进行加减运算即可．【解题过程】（1）解：=2+=−4．（2）解：5===8．7．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算下列各题．（1）9−（2）−42【思路点拨】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解题过程】（1）解：原式=3−=3+3−5=1；（2）解：原式=4−=4−=58．（23-24七年级下·重庆·期中）计算：（1）−12024（2）32−【思路点拨】本题主要考查了实数的运算：（1）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可；（2）根据实数的运算法则求解即可．【解题过程】（1）解；−1=1−=1+=51（2）解：3=2=2=−3．9．（23-24七年级下·重庆·期中）计算：（1）3−8（2）81+【思路点拨】本题考查了实数的运算，熟记运算法则是解题关键．（1）根据立方根、算术平方根、乘方进行计算，最后加减即可；（2）根据立方根、算术平方根、绝对值、有理数除法进行计算，最后加减即可．【解题过程】（1）解：3=−2−3−1+2=−4；（2）解：81=9+2−=−310．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算：（1）22（2）3−27【思路点拨】（1）先计算乘方和去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先进行开方运算，再计算加减即可．本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【解题过程】（1）2=2=2=2（2）3=−3−0−=−3．11．（24-25七年级下·全国·期中）计算：（1）4+（2）6−【思路点拨】本题考查了实数的混合运算、立方根与算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根，再计算加减法即可得；（2）先化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【解题过程】（1）解：原式=2+2+=4+1−5=0．（2）解：原式===2612．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算：（1）21（2）3−【思路点拨】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键；（1）先根据算术平方根的性质、实数的性质化简，再计算，即可求解；（2）先根据算术平方根、立方根的概念及实数的性质化简，再计算，即可求解．【解题过程】（1）解：2===−1（2）解：3=−=−=113．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算：（1）−1（2）−【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，再运算加减即可；（2）先计算乘方、立方根、化简绝对值，再运算乘法，最后进行加减运算即可．【解题过程】（1）解：原式=−1+2−3+2−=−（2）解：原式=−1−8×=−1−1−1+2=−114．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算：（1）−1（2）−【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可；（2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可．【解题过程】（1）解：−1=1+3−4=0；（2）解：−=−1+1+=−1+1−2−2+=315．（23-24七年级下·全国·期中）计算：（1）16−（2）−22【思路点拨】本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的定义化简，再求值是解题的关键．（1）先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可；（2）先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可．【解题过程】（1）解：16=4−=4−=（2）−2==2+2−4=0【题型三：平方根与立方根的综合运用】16．（24-25八年级上·全国·期中）若a−1=2，正数b的两个平方根分别是2c−3和3c−7，求2a−3b+c【思路点拨】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c−3+3c−7=0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a−3b+c平方根．【解题过程】解：∵正数b的两个平方根分别是2c−3和3c−7，∴2c−3+3c−7=0，解得c=2，∴b=(2×2−3)由a−1=2，得a=5∴2a−3b+c=10−3+2=9，∵±32∴2a−3b+c的平方根是±3．17．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知3a−21的立方根是−3，4a−b−1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．（1）求a，b，c的值．（2）求3a−b+9c的平方根．【思路点拨】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键．（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；（2）根据（1）中所求a=−2，b=−13，c=0的值代入代数式中求出答案再求平方根即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵33a−21=−3，4a−b−1=2∴3a−21=−27，4a−b−1=4，c=0，∴a=−2，∴b=−13．（2）解：由（1）知：a=−2，b=−13，c=0，∴3a−b+9c=3×−2∴3a−b+9c的平方根是±718．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数x的两个平方根分别是m+6和2m−n（1）求代数式m−1（2）当n=12时，求xm【思路点拨】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数．（1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出3m−n=−6，再整体代入即可求解；（2）把n=12代入3m−n=−6，求得m=2，进而可求出x的值，进一步计算即可求解．【解题过程】（1）解：∵正数x的两个平方根是m+6和2m−n，∴m+6+2m−n=0，∴3m−n=−6，∴m−1（2）解：∵n=12，∴3m−12=−6，解得m=2，∴m+6=8，∴正数x的值为82∴xm∴xm的算术平方根是6419．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和x+y．（1）若x=2，求y的值；（2）若ax2−2a【思路点拨】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（1）先根据平方根的定义，得x+x+y=0，再化简即可；（2）根据平方根的定义，得x2=a,x+y【解题过程】（1）解：正实数a的两个平方根分别是x和x+y，∴x+x+y=0，y=−2x，若x=2，则y=−4；（2）解：∵正实数a的两个平方根分别是x和x+y，∴x2∴ax∴−a2=−4∴a=±2，∵a是正实数，即a>0，∴a=2．20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．（1）求这个正数m；（2）若b和c满足b−1+c+32【思路点拨】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可．【解题过程】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．∴a+6+2a−9=0，

∴a=1，∴m=1+6（2）∵b−1∴b−1=0；c+3∴b=1，c=−3，∴2a+b−2c=2+1−−6=9∴2a+b−2c的平方根是±2a+b−2c【题型四：无理数整数部分的有关计算】21．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知35a+2=3，3a+b=4，c是11【思路点拨】此题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算等知识，根据立方根的定义求出a=5，再根据算术平方根定义求出3a+b=16，求出b=1，根据无理数估算求出c=3，进一步求出答案即可．【解题过程】解：∵35a+2∴5a+2=27，∴a=5，∵3a+b=4∴3a+b=16，∴3×5+b=16，∴b=1，∵3<11<4，c是∴c=3，∴a+b+c=5+1+3=9，∴a+b+c的平方根是±3．22．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知4a−11的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是8的整数部分，求a+b+c的平方根．【思路点拨】本题考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，根据题意可得4a−11=9，15+b−9=8，从而求出a、b的值，再估算出8的值即可求解，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．【解题过程】解：∵4a−11的平方根是±3，∴4a−11=3∴a=5，∵3a+b−9的立方根是2，∴3a+b−9=2∴15+b−9=8，∴b=2，∵4<8<9，∴2<8∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∵9的平方根是±3，∴a+b+c的平方根是±3．23．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题：我们规定：用x表示实数x的整数部分，用x表示实数x的小数部分，例如：3.14=3,〈3.14〉=0.14,2=1．大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即〈2〉=2请解答下列问题：（1）14=______，14（2）如果〈5〉=a,41（3）1+【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义（1）先估算出14的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；（2）先估算出5，41的范围，得出a和b的值．（3）计算出整数部分为1、2、3……的算术平方根的个数即可求解．【解题过程】（1）解：∵3∴3<∴14=3，（2）解：∵〈2<∴〈∴a+b−（3）∵32−2∴1，2，3，4，⋯，49中，∴1=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7=21024．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下列信息材料：信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如：π，2等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成2.5−2得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如1<3根据上述信息，回答下列问题：（1）15的整数部分是______，小数部分是______；（2）若10+5是夹在相邻两个整数a和b之间的数，则a+b=（3）若30−3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y【思路点拨】本题考查了无理数的估值方法，理解题意，按照题目所给的表示方法去解答是解题的关键．（1）先估算15在哪两个整数之间，即可确定15的整数部分和小数部分；（2）先估算出5的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；（3）先求出30的整数部分，得到30−3的整数部分即为x的值，从而表示出y的结果，再求x−y【解题过程】（1）∵9<15<16，∴3<15∴15的整数部分为3，小数部分为15−4故答案为：3，15−3（2）∵4<5<9，∴2<5∴10+2<10+即12<10+5∴a=12，b=13，∴a+b=12+13=25，故答案为：25；（3）∵25<30<36，∴5<30∴5−3<即2<30∴30−3的整数部分为2，小数部分为30∴x=2，y=30∴x−y=2−∴x−y的相反数为30−725．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4<7<9，即2<7（1）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b+5的值；（2）已知10+3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求（3）已知5+11的小数部分为a，5−11的小数部分为b，求【思路点拨】（1）首先得出5，13的取值范围，求得a，b，进而得出答案；（2）首先估算出3的大小，然后求得x，y的值，从而可求得答案；（3）首先得出11，−11的取值范围，求得a，b【解题过程】（1）解：∵4<5∴a=∵9<13∴b=3，∴a+b+5=5（2）解：∵1<3∴3的小数部分为：3−1，3∴10+3的整数部分为：10+1=11，小数部分为：3∴x=11，y=3∴x−y+3∴x−y+3的相反数为：−12（3）解：∵3<11∴11的小数部分为：11−3∴5+11的小数部分为：11∵−16<−11<−9，∴−4<−11∴5−11的小数部分为：4−∴a=11∴a+b=11∴a+b的平方根为：±1．【题型五：与实数有关的规律问题】26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子：1=11+3=1+3+5=1+3+5+7=根据阅读解决下列问题：（1）计算：1+3+5+7+9＝；1+3+5+7+9+11＝；（2）猜想规律：1+3+5+7+9+11+...+2n−1＝（3）利用规律计算3+9+15+21+27+33+...【思路点拨】本题考查数字变化的规律，解题的关键是：（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题．【解题过程】（1）解：由题知，1+3+5+7+9=1+3+5+7+9+11=故答案为：5，6．（2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方，又2n−1+12所以1+3+5+7+9+11+…+(2n−1)=故答案为：n．（3）原式====101327．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①13②13③13④13⑤13根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13（2）简便计算：83【思路点拨】本题考查算术平方根，数字变化