2025年高一数学知识点

高一数學知识總結必修一一、集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三個特性：元素确实定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母构成的集合{H,A,P,Y}元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表达同一种集合3.集合的表达：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表达集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表达措施：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表达集合的措施。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：有限集具有有限個元素的集合無限集具有無限個元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包括”关系—子集注意：有两种也許（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包括于集合B,或集合B不包括集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相似则两集合相等”即：①任何一种集合是它自身的子集。AA②真子集:假如AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③假如AB,BC,那么AC④假如AB同步BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记為Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，具有2n個子集，2n-1個真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与單调性問題的解題方略3、恒成立問題的求解方略4、反函数的几种題型及措施5、二次函数根的問題——一題多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)指数函数對称规律：1、函数y=a^x与y=a^-x有关y轴對称2、函数y=a^x与y=-a^x有关x轴對称3、函数y=a^x与y=-a^-x有关坐標原點對称幂函数y=x^a(a属于R)1、幂函数定义：一般地，形如的函数称為幂函数，其中為常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）均有定义并且图象都過點（1，1）；（2）時，幂函数的图象通過原點，并且在区间上是增函数．尤其地，當時，幂函数的图象下凸；當時，幂函数的图象上凸；（3）時，幂函数的图象在区间上是減函数．在第一象限内，當從右边趋向原點時，图象在轴右方無限地迫近轴正半轴，當趋于時，图象在轴上方無限地迫近轴正半轴．方程的根与函数的零點1、函数零點的概念：對于函数，把使成立的实数叫做函数的零點。2、函数零點的意义：函数的零點就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交點的横坐標。即：方程有实数根函数的图象与轴有交點函数有零點．3、函数零點的求法：eq\o\ac(○,1)（代数法）求方程的实数根；eq\o\ac(○,2)（几何法）對于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联络起来，并运用函数的性质找出零點．4、二次函数的零點：二次函数．（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两個交點，二次函数有两個零點．（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一种交點，二次函数有一种二重零點或二阶零點．（3）△＜０，方程無实根，二次函数的图象与轴無交點，二次函数無零點．三、平面向量已知两個從同一點O出发的两個向量OA、OB，以OA、OB為邻边作平行四边形OACB，则以O為起點的對角线OC就是向量OA、OB的和，這种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

對于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。数乘运算

实数λ与向量a的积是一种向量，這种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相似，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。

向量的加法运算、減法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积為0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的長度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两個向量的数量积等于它們對应坐標的乘积的和。四、三角函数1、善于用“1“巧解題2、三角問題的非三角化解題方略3、三角函数有界性求最值解題措施4、三角函数向量综合題例析5、三角函数中的数學思想措施15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函函数性质图象定义域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数單调性在上是增函数；在上是減函数．在上是增函数；在上是減函数．在上是增函数．對称性對称中心對称轴對称中心對称轴對称中心無對称轴必修四角的顶點与原點重叠，角的始边与轴的非负半轴重叠，终边落在第几象限，则称為第几象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為终边在轴上的角的集合為终边在轴上的角的集合為终边在坐標轴上的角的集合為3、与角终边相似的角的集合為4、已知是第几象限角，确定所在象限的措施：先把各象限均分等份，再從轴的正半轴的上方起，依次将各区域標上一、二、三、四，则本来是第几象限對应的標号即為终边所落在的区域．5、長度等于半径長的弧所對的圆心角叫做弧度．口诀：奇变偶不变，符号看象限．(以上k∈Z)其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα•tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα•tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

萬能公式

⒌萬能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数