华侨大学2015年高等数学竞赛试题(A卷)

PAGE1第1页共2页华侨大学2015年高等数学竞赛试题(A卷)华侨大学2015年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00境内（外）生院别班级准考证号姓名成绩大题一二三四五六七八九满分28881010121266得分一、填空题(本题共7小题，每小题4分，满分28分，把答案直接填在题中的横线上)１、设向量，，，且，则数.２、设函数，则.３、设则.４、设，则.５、微分方程的通解为.６、对数螺线在对应于的点处的切线的直角坐标方程为.７、设曲线积分在面内与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则.(本题满分8分)已知具有一阶连续偏导数，，求．三、(本题满分8分)设．试补充定义，使得函数在闭区间上连续．(本题满分10分)在曲面上求一切平面，使得该切平面平行于平面，且点到该切平面的距离等于点到原点的距离．(本题满分10分)计算，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角．六、(本题满分12分)证明不等式：当时，；并由此求数列极限：．七、(本题满分12分)设为一条平面曲线，其上任意一点到轴的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点．(1)试求曲线的方程；(2)在(的部分)上求一点,使得在该点处的切线与两坐标轴所围成的平面图形面积最小．八、(本题满分6分)设函数在闭区间上满足，且在开区间内取得最小值．证明：．九、(本题满分6分)设函数在闭区间上连续，且在上满足：求．考试时间：2015年6月6日(星期六)上午8：30—11：00华侨大学2015年高等数学竞赛试题(A卷)参考答案与评分标准填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）1、3；2、；3、；4、；5、；6、；7、．二、(本题满分8分)解：【4】．【8】三、(本题满分8分)解：设，则【3】．【6】由于在上连续，因此补充定义,就可使在上连续．【8】四、(本题满分10分)解：设切点为，则法向量．【2】要使得切平面平行于已知平面，应有，又因为点在曲面上，所以有，解得．从而切平面方程为，即．【7】又点P到原点的距离为，点P到切平面的距离为．故所求切平面为．【10】五、(本题满分10分)解：取为的下侧,记为与所围成的闭区域,【2】则由公式，有【5】．【8】于是．【10】六、(本题满分12分)证：(1)显然，当时,有．【1】令,则（），故在上单调增加．【4】于是当时,有,即．从而．【6】(2)由(1)知，当时，．【7】从而．【10】而，由夹逼准则可知．【12】七、(本题满分12分)解：(1)在点处的切线方程为，其在轴上的截距为:．由题意建立方程:,即:．【3】解得．【5】由过点，得：．故曲线的方程为．【6】(2)由得在点处的切线方程为．其在轴、轴上的截距分别为:、．从而所围成图形的面积为．【8】设,由,得唯一驻点,又在内，在内，故在处取得唯一极小值即最小值．【11】从而点即为(部分)上所求点.【12】八、(本题满分6分)证:设在内的最小值为,又由条件知在处可导，故．【1】由题设知在与上可导从而连续,故由中值定理有；．【5】从而．【6】