北京市朝阳区2023届高三年级上册数学期末试题（解析版）

北京市朝阳区2022〜2023学年度第一学期期末质量检测

高二数学

2023.1

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.已知全集11兀集合IIJ,则为"()

A.(-oo,l]u[2,+oo)B.(0,l]U[2,+a))

C.(-ooj)u(2,+oo)D.(0,1)1(2*)

【答案】B

【解析】

【分析】由补集的定义即可求解.

【详解】因为全集。=｛小＞。｝,集合4=｛刈＜工＜2｝,

由补集的运算可得6A=｛耳()＜xV1或x22｝,

对应区间为(0,l]U[2,+8).

故选：B.

2.在复平面内，复数(l+i)S-i)对应的点在第三象限，则实数。的取值范围是()

A.(-<»,-1)B.(一8,1)C.(-1,+w)D.(1,田)

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0联立不等式组求解.

【详解】\(l+i)(^-i)=(6/+l)+(«-l)i在复平面内对应的点在第三象限，

4+1<0

即a<—\.

rz-1<0

实数”的取值范围是

故选:A.

\|x2+2x-3,x<0

3.函数/（x）=（：的零点的个数为（）

ev-2,x>0

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出xWO和x>0时，/（月的零点个数即可得出答案.

【详解】当天”）时・，令/。）=/2+2X一3=0,

KiJ（x-l）（x+3）=0,解得：x=\（舍去）或x=—3,

当x>0时，令e*-2=0，解得：x=ln2,

所以/（力的零点个数为2.

故选:C.

4.已知双曲线=1（。>0/>0）的一条渐近线的倾斜角为60。，则双曲线的离心率为（)

AYC.6D.2

2

【答案】D

【解^5]

【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即2=6,从而求出离心率.

a

【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率2=tan600二6,

a

所以双曲线离心率e=£=+2r=\/\+3-2

故选:D

5.在_ABC中，“sin2A=sin2B”是“,ABC为等腰三角形”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

7T

【分析】根据sin2A=sin2B得到A=B或A+3=一,充分性不成立，必要性可举出反例，从而得到结

2

论.

【详解】sin2/1=sin2B,则2A=28或2A+23=兀，

故A=8或A+B==,

2

故43C为等腰三角形或直角三角形，

“8C为等腰三角形，不一定推出sin2A=sin28,

比如B=C=70°,此时不能得到sin2A=sin2B,

故"sin2A=sin2B”是“^ABC为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

6.过直线丁=履-2上任意一点，总存在直线与圆/+y2=i相切，则4的最大值为()

n

A.6B.V2c.1D.幺

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，设q为直线了二履-2上任意一点，判断点尸与圆的位置关系以及直线与圆的位置关

系，根据直线与圆的位置关系，即可求得Z的最大值.

【详解】设尸为直线)二履一2上任意一点

因为过直线y=履-2上任意一点，总存在直线与圆f十),2=1相切

所以点。在圆外或圆上，

即直线)=去-2与圆x2+)3=1相离或相切，

2

则下=21,即公+144,解得丘「一石右］,

+1L」

故〃的最大值为G.

故选:A.

7.己知函数/(x)=sin(④+,若g(x)./(x)=1,且函数g(x)的部分图象如图所示，则。

等于()

【答案】B

【解析】

g

【分析】结合图象即可得到',结合正弦型函数的性质可求得周期和

g

①，从而求得答案.

【详解】由图可知，函数g(x)过点(^,1和工点J(5不兀

又因为g*A/*)=l，所以

结合正弦型函数的性质可知，-4-5，解得了5

2兀

所以厂［=兀，解得。=±2，因为。＞0，所以口=2

所以/(x)=sin(2x+0)，所以sin(2xg+。)=1,

J

，7t7T

即二i+°=^+2E,keZ

32

解得°=一3+2履，keZ

6

因为所以。=-?

26

故选:B.

8.2022年10月31口，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间

站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料

（

的质量M（单位：D、火箭（除燃料外）的质量加（单位：D的关系满足u=2（）（）（）ln1+—,M,〃?，v

ImJ

之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）

M（单位:/）

v=16.7km/s

A.当M=3,机=800时，v>7.9B.当M=2,〃zv600时，v<7.9

C.当例>5,m=800时，v>11.2D.当M>3,〃7>600时，v>11.2

【答案】C

【解析】

【分析】由题及图象关系可知，在p=20001n（l+，）中，当次一定时，/越大，则好越大,

当例一定时，〃，越小，则妙越大，代入对应的机逐项判断选项即可得到答案.

（

【详解】由题及图象关系可知，在u=20001n1+—中，当〃?一定时，“越大，则y越大,

当M一定时，加越小，则好越大,

u=2000In（1+烹）=2000卜（黑）方7.49,故A错误.

对干A,当M=3,〃?=800时,

对于B,当M=2,〃2<600时，v>20（X）ln[1+—602

=2000In六6.66,故B错误.

\600J600

Cc\(one\

对于C,当A/>5,m=8(X)时，v>2000In1+——=2000In——kl2.46>11.2,故C正确.

、800y\800)

对于D,因为M>3,〃>600,令M=4,〃?=1000,

(4、(1004、

v=2000lnp+J=2000r7.98<11.2,故D错误.

故选：C.

UUUUUIU

9.已知A,B,C是单位圆上不同的三点，AB=AC,则4c的最小值为()

B.-1

A.OcD.-1

4-4

【答案】C

【解析】

【分析】画出图形，设出A(O,1),B(cosa,sina),C(一cosa,sina),aG[0,2TC),表达出

uiinin.nn、r[丫]

AB-AC=2sin2a-2sina=2sina————，结合a40,2兀)的范围求出最小值.

22

【详解】如图所示：不妨令A(0,l),设8(cosa,sina),。可0,2兀),

则A8•AC=(cosa、sina-\)-(-cosa,sina-1)=-cos2a+(siner-I)-

(iY

=2sin2a—2sina=2sina—

2

r、1ULULlllIUi

因为。«0,2兀)，所以当sina=5时，ABAC取得最小值，最小值为-不

故选：c

10.在数列｛〃”｝中，q=+若存在常数c,对任意的都有凡<c成立，则

正数”的最大值为()

11

A.-BC.—D・I

5-73

【答案】B

【解析】

…口-〜可得e+(〃—小1

【分析】由。〃+|=&U+1(〃£N*)可得，用极限思想和数

4?

学归纳法的思想分析计算即可得到正数k的最大值.

【详解】因为«出=N;+1(〃EN')«>0,

卜

所以一f%=gj+1=kU+2_*1=k(afl

2k)

?一!(I、

所以q-，+Z(q”+i-a，)+1——，心2,

01=1nI\Ak)

由于6=1满足上式，故+1一五

\4K7

当上>；时，有〃趋近于+<»时，(〃卜1

-1)趋近于+8

~4k

此时%没有最大值，故不满足题意，舍去;

所以攵

4

当上=;时，可证对任意的〃£N’，都有为之1,

4

由题知，若存在常数C,对任意的〃wN-，都有为<C成立，则C>1,

以下进行证明：存在常数c、=2,对任意的〃wN*，都有％<2成立.

当〃=1时，4=1<2,结论成立

假设n=帅>1）时结论成立，即1<atn<2

则l«〃/„+i=Zqj+l<l+；x22=2,

则存在常数c=2,对任意的〃EN.，都有〃“<2成立

故正数〃最大值为

4

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系和数列中参数最大值的求解，属于难题，解题的关键是要把

递推关系进行转化求解，结合数列中的极限思想和数学归纳法的思想进而求解问题.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5题，每题5分，共25分.

（1V

11.2x+-展开式的常数项是_________.（用数字作答）

kX）

【答案】24

【解析】

【分析】写出展开式通项公式，确定常数项的项数后可得.

4r42r

【详解】（川=墨（2x）4-（g）=C；2~x-f4-2r=0,r=2,

常数项为（=C：X22=24.

故答案为:24.

12.已知等差数列｛q｝的公差4工0,q=4,且qg，4成等比数列，则q=：其前〃项和3

的最大值为.

【答案】①.5-”②.10

【解析】

【分析】由成等比数列列式求出公差，则通项公式可求;写出等差数列的前〃项和，由二次函数的对

称性求得S“取得最大值.

【详解】由q,%，对成等比数列，得（q+2df=4（4+3d）,解得d=一?,/.d=7.

则〃“-ax+(/2-l)J=4-(n-l)=5-/2

/?(H-1)X(-1)9

S“=叫4----------d=4nH--------------------=—n

2222

对称轴方程为n=4.5,

A~Q

・.・〃£N*,「.〃=4或5时，S“取最大值，最大值为34=55=-万+5乂4=10.

故答案为：5-«,10

13.若函数），=cosx-sinx在区间［0,网上是严格减函数，则实数〃的最大值为

__3不

【答案】一

4

【解析】

【分析】化简y=cosx-sinx得到），二啦cosjx+f］,结合丁=cosx的单调递减区间得到

\4J

4/+-</r,即可求出结果.

4

/\

【详解】因为丁=cosx-sinx=\/5cosx+—,

I

又因为在区间［。,〃1上是严格减函数，

且y=cosx的单调递减区间为［2br,n+22句eZ）,

所以。+f《乃，即。《江，所以实数。的最大值为二，

444

37r

故答案为：—.

4

14.抛物线C：y=/的准线/的方程为.若点/>是效物线。上的动点，/与），轴交于点4,则

ZOAP（O是坐标原点）的最大宣为.

【答案】①.尸」；②.1

44

【解析】

【分析】由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程,即可求得切线倾斜角，此时NQ4P

取最大值.

【详解】抛物线C:y=V即C:V=）,的准线，的方程为》=一!：

0,-|L则当与抛物线相切时NOA/）最大,

/与），轴交于点A，则有A

设切点为（a,/），y'=2x,・••切线方程为＞一/=2。（不一。），切线过点A,则-；・=为（0-。），

解得a=±1.

2

IT3IT7T

・•・切线斜率为2a=±l,即倾斜角为:或下，故NQ4P的最大值为了.

444

故答案为：y=—；—.

44

15.如图，在棱长为。的正方体43co-44弓。中，ptQ分别为4c，4片的中点，点了在正方体的表

面上运动，满足「r_L3Q.

给出下列四个结论：

①点r可以是棱。。的中点；

②线段PT长度的最小值为3。；

③点了的筑迹是矩形；

④点7的轨迹围成的多边形的面积为且万.

2

其中所有正确结论的序号是

【答案】②③④

【解析】

【分析】以。点为坐标原点建立空间直角坐标系，令正方体ABC。-棱长。=2可简化计算，得

到对应点和向量的坐标，通过空间向量数量积的运算即可判断对应的垂直关系，通过计算和几何关系得点

7的轨迹为四边形EFG”,通过证明得到则点丁的轨迹为矩形EFG”，即可求解点7的轨迹围成的多边形

的面积和线段P7长度的最小值，从而得到答案.

【详解】由题知，以C点为坐标原点，以CD,CB,CG所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，令正方体ABC。-A8|G°I棱长〃=2

则。（0,0,0）,0（2,0,0）,8（0,2,。）,4（2,2,0）,C,（0,0,2）,〃（2,0,2）,

4（022）,4（222）,P（IJJ）,Q（l,2,2）,设7（x,y,z）,

对千①,当点T为棱的中点时,7（2,0,1）,

则PT=（K））,仅2=（l,O,2）,PT.B2=l+0+0=1^0

不满足尸T_LBQ,所以点7不是棱。。的中点，故①错误.

PT=（x-l,y-l,z-l）,因为PT_LB。

所以x—l+2（z—l）=0,

31

当K=0时，Z=—,当X=2时，z=—

22

取E（2,0,g）,产（2,2,；）,G[0,2,5）,“（0,0,|）,

连结族，FG,GH,HE，

则£/=7/6=（0,2,0）,EH=FG=（-2,0,1）,EF-EH=0»BPEF±EH

所以四边形£FGH为矩形，

因为EHBQ=0,

所以所_LBQ,EH1BQ,

又所和EH为平面EFGH中的两条相交直线，

所以BQ_L平面EFGH,

又=PG=（—l」g）

所以。为EG的中点，则PE平面£7（4,

为使PT上BQ,必有点、丁£平面EFGH,

又点丁在正方体表面上运动，所以点7的轨迹为四边形EFGH,

又EF=GH=2,EH=FG=旧，

所以EF于EH，则点7的轨迹为矩形£”G〃，故③正确

面积2x石=2石，即故④正确

2

又因为3Q=(1,O,2),PT=(x-l,y-lz-l),PT1BQf

则上一l+2(z-l)=0,即x+2z—3=0,

所以x=3-2z,点7在正方体表面运动，

则0W3—2z«2,解得《

22

所以|P7|二J(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2=J5(z—iy+(y—l)2,

结合点T的轨迹为矩形EFGH,

分类讨论下列两种可能取得最小值的情况

当z=1,丁=。或丁=2时，|叼=1,

当y=l.2=1或2=]«寸，|尸丁|=必

22112

因为1＜逝，所以当z=l,y=0或y=2时，P7取得最小值为1，即＜明故②正确.

22

综卜.所述：正确结论的序号是②®®

故答案为：②③

【点睛】本题以正方体为载体，考查空间向量在立体几何中的综合运用和空间几何关系的证明，属于难

题，解题的关键是建立空间直角坐标系，设棱长为数值可简化运算，通过空间向量即可证明和求解对应项.

三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在“8C中，csinB=VJhcosC.

(1)求上C；

（2）若。+/?=6,求c的最小值.

【答案】（1）C==：

3

（2）3.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得sinCsin8=J5sin8cosC，从而得tanC=G，即可得C=g；

⑵由余弦定理可得c?=36—3ab，再由基本不等式即可求得c.的最小值.

【小问1详解】

解：因为csin8=J5/?cosC，

所以sinCsinB=\/3sin8cosC，

又因为sinB工0,

所以sinC二百cosC»

即有lanC=G，

又因为Cw（0,7C）,

所以C=N；

3

【小问2详解】

解：因为C=E,a+b=6,

3

所以<?=Q2+/-2QZ?cosC=m+b）2-2M-"=36-3"236-3x（^i^）2=9,

2

当。=〃=3时，等号成立，

所以cN3,

故。的最小值为：3.

17.跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班

22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最

多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内

的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：

高三（1）班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三（2）班：137,126,116,108；

高三（3）班：163,134,112,103；

高三（4）班：158,132,130,127,110,106.

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立.

（1）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖概率；

（2）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX;

（3）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

【答案】（1）

⑵里

6

（3）高三（3）班

【解析】

【分析】（1）用古典概型概率计算公式即可求解.

（2）分别记三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事

1।12

件A、-C、4则P（人人2尸（片）=5、P（C）=-.P（D）=-,由题意得X的取值为OJ234

分别计算出对应概率即可求解数学期望

（3）高三（3）班：163,134,112,103的数据中163为最大数据且134为较大数据即可判断.

【小问1详解】

记高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件A.

由通知高三（1）班在2分钟内的跳绳个数超过120个的有5次，用频率估计概率，估计高三U）班在此

次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为P（4）=得=；

【小问2详解】

分别记高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件8、C、D,

11?

则P(B)=Q、P(C)=E、P(D)=§，

由题意得X的取值为0,1,2,3,4

所以尸(X=0)=尸(丽丽)=尸㈤尸(刀)P©尸==：

p(x=l)=p(ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)

=P[ABCbyP(ABCbyP(ABCbyP(ABCD)

11111111111111125

=—X—X—X—+—X—X—x—+—X—X—X—4-—X—X—X—=——

222322232223222324

P（X=2）=P[ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P（ABCD）+P（ABCD）+P[ABCD）+P{ABCD]+P[ABCD]+P（ABCD）

111111111112

=—X-X-X一+—X-X-X一+—X—X-X—

222322232223

1111111211123

+—X—X—X—4-—X—X—X—+—X—X—X—=—

2223222322238

P（X=3）=P（ABCD+ABCD+ABCD+ABCD）

=P[ABCbyP（ABCD）+P（A与CO）+P（ABCD）

11111112111211127

=­x—X-X—+-X-X—X___p—X—X-X—+—X-X-X—=------

222322232223222324

P（X=4）=P（^CD）=P（A）P（B）P（C）P（D）=lxlxlx|=1

则X的分布列如下表

X01234

1571

P3

2424824n

,、I537IB

所以E（X）=0x—+lx—+2x-+3x—+4x—=一

v72424824126

【小问3详解】

在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大

18.如图，在四棱锥中，底面48co为正方形，平面BAOJL平面A3CD,A3=4,P4=PO,

E,尸分别为8C,PQ的中点.

（1）求证：砂P平面043；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角厂一座一A的余弦值.

条件①：PDA.EFx

条件②：PD=—EF.

3

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）M2,详情见解析

17

【解析】

【分析】（1）设Q4中点为G，连接GRG8,由三角形中位线性质可得G尸〃AO,且G774。从而可

2

得四边形房尸G为平行四边形，再由EFG3即可证得E/P平面Q43；

（2）按照条件①、条件②的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出PH的长，以及记得叨_1平

面A8CO,再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角/A的余弦值.

【小问1详解】

如图（1）,设Q4中点为G,连接GEG8,

底面ABCO为正方形，E,尸分别为BC,PD的中点.

•.GF//AD,且GE=,A。，而又BE=-AD,

22

石且3E=Gb,二.四边形BEAG为平行四边形，

EF||GB,又Mz平面RAB，G3u平面尸AB，

MP平面PAB.

【小问2详解】

选条件①：连结过。作PHJLAD交于点〃，又因为=所以点〃也是A。中点，连结

HE,

：PDJLEF,/为PD的中点，则PE=DE,又底面ABC。为正方形，DC=HE=AB=4,

EC=2>PE=DE—>/42+22=2>/5,

在；.PHE中,PH=yjPE2-HE2=>/20-16=2>

•・立面平面==平面%0c平面48co=A。，..P”'AD,..~L

平面ABC。,

如图（2）以“为原点，〃4〃£〃户所在直线分别作1轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则

“（0,0,0）,A（2,0,0）,8（2,4,0）,石（0,4,0）,厂（一1,0,1）,P（0,0,2）,

/二（3,4,-1）,£8=（2,0,0）,

QPH_L平面A8CO,•.HP是平面A8CD的一个法向量，HP=（0,0,2）；

设平面班户的一个法向量为〃=（x,y,z）,则有

n-FB=03x+4y-z=0

=>令y=l,则z=4,〃=（O,l,4）；

n-EB=02x=0

〃尸•“u+o+8_4_4拒

,cos{F-BE-A）=

HP\U~2X/T7―后一17

4g

故二面角F—BE—A的余弦值为~TT

Q）

选择条件②：取A3的中点为“，连结又:平面Q4O_L平面AB8,4B=4,B4=P。，平面

平面ABCD=AD,APH±AD、:.PH±平面ABCD,

过F作FL上HD交于点L,连结LE，又F是PD中点,所以点L也是“。中点，

平面ABC。，LEu平面48c

设PH=2h,则FL=h,AD=AB=4,HD=2HL=2,^LE=A/42+12=Vr7，

PD=g）2+22=2后不,PD=-EF,/.£F=-PD=3V^+1,故在Rt二aE中,

五炉=巾十=£2,即9（"+i）=*+i7,解得力=],即尸H=2/i=2,

如图（3）以“为原点，乂4,，£〃夕所在直线分别作1轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系，则

“（0,0,0）,A（2,0,0）,8（2,4,0）,石（0,4,0）,厂（一1,0,1）,P（0,0,2）,

所二（3,4,-1）,加（2,0,0）,

QM_L平面A8CO,•.是平面A8CD的一个法向量，HP=（0,0,2）;

设平面班F的一个法向量为〃=（x,y,z）,则有

n-FB=03x+4y-z=0

=>令y=l,则z=4,〃=（OJ4）；

n-EB=02x=0

0+0+844历

cos{F-BE-A）=一1,—,—，，

研2y/V7一行一17

故二面角F-BE-A的余弦值为士叵.

19.已知椭圆C:二+二=1（。>〃>0）的右顶点A（2,0）,P为椭圆。上的动点，且点P不在工轴上，。是

a~b~

坐标原点，一AOP面积的最大值为1.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）过点〃（-1,0）的直线2“与椭圆C交于另一点Q,直线AP,AQ分别与），轴相交于点£F.当

|Er|=2时，求直线PH的方程.

【答案】（1）工+）,2=i,正

42

（2）迷九一6y+G=（）或遥工+6），+指=0

【解析】

【分析】⑴由椭圆的右顶点42,0）可得。=2,若要二AOP面积最大，则需|PK|最长，此时点P在y轴上，

-4OP面积可得〃=1,从而求得椭圆C的方程，再由/=/十^可求得c,从而可得离心率；

（2）设直线PH的方程为：>=以工+1）,/工0）,与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达

定理的表达式，再通过直线24，QA的方程得出点£〃坐标，进而表达出1所1=2,从而可解得Z,求

得直线PH的方程.

【小问1详解】

椭圆C:二+=l(d>Z>>0),vA(2,0),a=2,

。为椭圆C上的动点，且点。不在x轴上，O是坐标原点，过点，作PK_Lx轴，垂足为K，故^AQP

面积为小.。产;x|Q4|x|PK|=；x2x|PK|,

若要二49户面积最大，则需仍K|最长，此时点P在丁轴上，即俨K|=|OH时，使得“OP面积最大,

SvM=；MOA|x|PK|=92x|OP|二l，，QH=l，."=l,c=V?^=q=G.

c_G

椭圆。的方程为三十丁=],离心率为e

4.a2

【小问2详解】

P为椭圆C上的动点，过点〃（一1,0）的直线PH与椭圆C交于另一点Q,

可记3元”%），。（％2，%），

当直线叨的斜率不存在时，即轴时，|尸。<必=2,此时直线AP,AQ分别与丁地相交于点

E,F.此时|斯|〈归。卜2,不符合题意.

当直线产〃的斜率存在时，设直线尸〃的方程为：y=A（x+l）,（kw。），

y=&(x+l)2

2

联立X,2_，消去)'可得上+/"+1)2=1,化简得("4公卜2+8&2工+4公一4=0,由韦达定

1+>一

8公

再十期=-1+4标

理可得《

4F—4

“”币记

所以|工2_司|二J(以+小y一4工/2=j湍316/一164,3公+1

1+4公-1+48

由P(%,y),Q(%,%)，A(2,0),则直线FA的方程为：y=」^(x—2),直线。4的方程为：

%1—z

>f=-^U-2),因为直线AP,AQ分别与)，轴相交于点七，F,令x=0分别代入直线QA,直线Q4可

・二附=-2乃一2X必

9—2%]—2—2

又P(X1，X)，。(七，％)在直线尸〃方程)'=攵5+1),(左。0)上，所以有y=k(x[^\)yy2=k(x2+\),

3攵（七一X）

分别代入怛目并化简可得|即|=2X片

玉一2%—2XjX2-2（^+x2）+4

I--------；-------“4-1+1

344（3+々）-4%%二21+4A，

内工2-2（玉+/）+436k2

1+4?

故直线P"的方程为：)，=^^(i+l)或)，=一乂5(1+1),

66

即小丫-6），+6=0或"x+6y+V6=0.

20.已知函数”x)=-^(a>()).

ax

(1)求/(X)的单调区间；

(2)若/(X)Wx-L对X£(O,+CQ)恒成立，求。取值范围：

a

(3)若wIn玉+EInx2=。(玉w*2)，证明：xi+x2>2.

【答案】(1)xe(O,e)时单调递增，xe(e,-w)时，单调递减；

(2)a>\；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求导，根据导数的符号确定单调区间；

(2)运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可；

(3)作图，根据函数图像确定斗忆的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明.

【小问1详解】

/(x)=l.lzJ££,显然有/(e)=0,当xe(O,e)时，/(x)>0,单调递增，

aX

当工£(e,+8)时，,单调递减：

【小问2详解】

।Inx,1、、工+lnx

由---—得：ax~-x-\nx>0»ci>--------—,

axa厂

令g(x)=,则有g<x)_一工一裂上+1,令k(x)=-x-21nx+l,

显然Z(x)是减函数，攵(1)=0，.二当x£(0,l)时，k(x)>0,g(x)单调递增,XG(1,-K»)时,

女(司<0,g(x)单调递减；

g(x)g=9⑴=1'〃的取值范围是；

【小问3详解】

InV

当〃=1时，/&)=——，由(1)的结论作函数图像如下：

Inx.Inx./、/、

对于内皿9+/21nM=0,得----,不妨设£>再，则有一/(K)=/(W)，

X]/2

由图可知当0</(x)<，时，对应的自变量有2个值七,小，其中^>e/<X2<e,

e

要证明％+9>2,只需演取了2，工3中较小的数々即可，

*/0</(x),与£(0,1),2—王£(1,2),

2ee

要证明%+%>2,只需证明%>2-王，在xw(O,e)时，/(%)单调递增，

••・只需证明”与)>/(2一%)，・・/(/)=一/(飞)，二只需证明―/(内)>/(2一百),

即/(与)+/(2-％)<0,构造函数〃(0=止+生生⑹(xw(o」)),

x2—x

、1—Inx—1+ln(2—,v)x2In(2—x)—(2—xInx+4(1—x)

P㈤=丁+(27)2=双式’

XG(0,1),.\2