北京市朝阳区2023年九年级上册数学期末学业质量监测试题含解析

北京市朝阳区2023年九上数学期末学业质量监测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题(每题4分，共48分)

1.某厂2017年产值3500万元，2019年增加到5300万元.设平均每年增长率为X,则下面所列方程正确的是()

A.35(X)(l+x)=53(X)B.53(X)(l+x)=35(X)

C.5300(1+x)2=3500D.3500(1+x)2=5300

2.已知关于x的方程必・1+机=0的一个根是3,则另一个根是()

A.-6B.6C.-2D.2

3.设a、b是一元二次方程X?-2x-1=0的两个根，贝!Ia?+a+3b的值为()

A.5B.6C.7D.8

4.书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是()

49八3I

A.—B.—C.—D.—

25251()10

5.二次函数y=化为y=/?『+%的形式，结果正确的是()

I1

A.y=y(x+3)9~-2B.y=—(x-3)?+2

i,I,

C.y=-(x-3)~-2D.y=—(x+3)+2

6.方程(〃z-1)V+2〃a-3=0是关于x的一元二次方程，则()

A.〃，工±1B.m=1C.加工一1D.加工1

7.如图，已知中，NC=90。，AC=BC=41t将△ABC绕点力顺时针方向旋转60。得到△4丁。的位置,

连接CB,则CB的长为()

n

A.2一&B.—C.6一1D.1

2

8.如图，PA.PH是。O切线，4、8为切点，点。在。。上，且NACB=55。，则NAPB等于（）

A.55°B.70°C.110°D.125°

9.已知户3是关于x的一元二次方程4-2x-〃=0的根，则该方程的另一个根是（）

A.3B.-3C.1D.-1

10.己知锐角a,且sin«=cos38°,贝!1a=（）

A.38°B.62°C.52°D.72°

11.如图所示，在半径为10cm的中，弦A5=16cm,OCLA〃于点C,则。C等于（）

12.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”

译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对揖再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”

如果设木条长x尺，绳子长）'尺，可列方程组为（）

x-y=4.5（y-x=4.5fx-y=4.5y-x=4.5

A.yB.<XC.SXD.

x-^=\y——=1y——=1x_Z=i

2I2I-22

二、填空题（每题4分，共24分）

13.一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在

一起，贝!颜色搭配正确的概率是____.

14.己知£=2=2工0,则马上的值为.

15.如图，已知NA8C是直角，在射线上取一点。为圆心、,8。为半径画圆，射线绕点3顺时针旋转

2

__________度时与圆。第一次相切.

16.如图，圆锥的底面半径O8=6cm,0C=8cmf则该圆锥的侧面积是<

17.若方程X2一4%+1=（）的两根与毛，则再（1+9）+9的值为.

18.如图，半圆。的半径为4,初始状态下其直径平行于直线/・现让半圆。沿直线/进行无滑动滚动，直到半圆。的

直径与直线/重合为止.在这个滚动过程中，圆心。运动路径的长度等于.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连接过点C作CF〃BD交

OE的延长线于点F,连接DF.

求证：（1）AODE^AFCE;

（2）四边形OCFD是矩形.

20.（8分）综合与实践

问题情境

数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1,点〃是正方形4〃8内一点，/%=1,『8=2,PC=3.你能求

出的度数吗？

（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：

思路一：将ABPC绕点4逆时针旋转90，得到MP'A,连接夕产，求出NA08的度数.

思路二：将AAP8绕点6顺时针旋转90，得到△CP3,连接PPL求出NAP3的度数.

请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.

类比探究

⑵如图2,若点〃是正方形43。外一点，PA=3tPB=1,PC=Ji7,求NA依的度数.

拓展应用

⑶如图3,在边长为近的等边三角形ABC内有一点。，ZAOC=90,ZBOC=120，则AAOC的面积是，

21.（8分）如图，在正方形A8CO中，E为边A。的中点，点F在边CD上,且NBEF=90。,延长所交8。的

延长线于点G.

（1）求证：△ABESAEGB.

（2）若A8=6,求CG的长.

22.（10分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有

数字3,4和1.利用画树状图或列表求下列事件的概率.

（1）从两个口袋中各随机取出1个小球，恰好两个都是奇数；

（2）若丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字6和7,从三个口袋中各随机取出一个小球，恰好三个都是

奇数.

23.（10分）如图，在AABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosZDAC.

（1）求证：AC=BD；

12

(2)若sinC=一BC=12,求AABC的面积.

13

fztAnc

24.（10分）今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观”进课堂.某校对全校学生进

行了检测评价，检测结果分为A（优秀）、4（良好）、。（合格）、。（不合格）四个等级.并随机抽取若干名学生的检测结

果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图.

请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽取的样本容量为;

（2）统计表中。=,b=.

（3）若该校共有学生5000人，请你估算该校学生在本次检测中达到"A（优秀广等级的学生人数.

25.（12分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个

和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元.

（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？

（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲

篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于

90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；

（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毯子两种体育器材，跳绳10元一根，琏子5元一个，在把钱用尽的情况下,

有多少种进货方案？

26.已知：AB为。O的直径.

（1）作OB的垂直平分线CD,交。O于C、D两点；

（2）在（1）的条件下，连接AC、AD,则4ACD为三角形.

B

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】由题意设每年的增长率为x,那么第一年的产值为3500(1+x)万元，第二年的产值3500(1+x)(1+x)万元,

然后根据今年上升到5300万元即可列H方程.

【详解】解：设每年的增长率为x,依题意得

3500(1+x)(1+x)=5300,

即3500(1+*2=5300.

故选：D.

【点睛】

本题考查列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关

系.

2、C

【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的两根之和与系数

的关系.

【详解】解：设。是方程x-5x+A=0的另一个根，

则。+3=1,

即a=-1.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系.

3、C

【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2,根据一元二次方程的解的定义可得a2=2a+L然后把a?+a+3b变形为

3(a+b)+1,代入求值即可.

【详解】由题意知，a+b=2,a2-2a-l=0,即a2=2a+L

则a2+a+3b=2a+l+a+3b=3(a+b)+I=3x2+l=l.

故选C.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解

题.

4、C

【分析】画树状图(用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说)展示所有20种等可能的结果数，找出

从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：圆树状图为：(用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说)，

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6,

所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=4=磊.

故选：C.

【点睛】

本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数6除以所有等

可能发生的情况数〃即可，即2=%.

n

5^A

【分析】将选项展开后与原式对比即可；

222

【详解】A：y=-(x+3)-2=1X4-3X+--2=1X+3X+-,故正确；

B：y=-(x-3]2+2=-x2-3x+-+2=-x2-3x+—,故错误；

2''2222

C：y=-(x-3)2-2=-X2-3X+--2=—X2-3X+—,故错误；

"2'’2222

I,1o11Q

D：y=—(x+3)~+2=—X2+3X+—+2=—X2+3X+—,故错误；

”2''2222

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.

6、D

【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于〃7的不等式，解之即可.

【详解】解：根据题意得：

m-\工()，

解得：〃1工1,

故选。.

【点睛】

本题考杳一元二次方程的定义，解题关键是正确掌握一元二次方程的定义.

7、C

【分析】如图，连接BB，，延长BC咬AB，于点D,证明△ABCSZiITB。，得到NDBB，=NDBA=30。；求出BD、CD

的长，即可解决问题.

【详解】解：如图，连接BB，，延长BC交AB，于点D,

由题意得：ZBABr=60°,BA=B'A,

・••△ABB，为等边三角形,

，NABB'=60。，AB=B'B；

在AABC'与AlTBC'中,

AC'=B'C'

AB=B'B

BC'=BC

/.△ABC,^AB,BC,(SSS),

，NDBB'=NDBA=30°,

/.BD±AB%且AD=B'D,

•；AC=BC=6,

二AB'=AB=ylACr+BCI=41+2=2^

22

：.AD=^-AB=\tBD=yjAB-AD==43»DC'=^AB'=1,

BC=BD-DC'=6-1,

故选：C.

【点睛】

本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜

边上的中线.作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点.

8、B

【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA,OB,求得NAOB=110。，再根据切线的性质以

及四边形的内角和定理即可求解.

【详解】解：连接OA,OB.

VPA,PB是OO的切线，

.\PA±OA,PB_LOB,

VZACB=55°,

/.ZAOB=110°,

，NAPB=36()o-90o-90o-110°=70°.

【点睛】

本题考有了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出NAOB的度数.

9、D

【分析】设方程的另一根为/,根据根与系数的关系得到3+，=2,然后解关于/的一次方程即可.

【详解】设方程的另一根为f,

根据题意得3+f=2,

解得t=-1.

即方程的另一根为-L

所以。选项是正确的.

【点睛】

K,、

本题考查了根与系数的关系：X1,X?是一元二次方程ax2+bx+c=o(〃wo)的两根吐^+^=--,^2=-

10、C

【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可.

【详解】Vsina=cos38°,

Z.a=90o-38o=52o.

故选C.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值.

11、D

【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长.

【详解】解：连接。4,如图：

*：AB=16cmtOC±ABf

，AC=—AB=8cm,

2

在RSOAC中，OC=yJoA1-AC2=V102-82=6(cm)，

本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键.

12、D

【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4・5尺”可知：绳子一木条=4.5,再根据“将绳子对折再量木条，木条

剩余1尺”可知：木条一!绳子=1,据此列出方程组即可.

2

y-x=4.5

【详解】由题意可得，y..

故选：D.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组.

二、填空题(每题4分，共24分)

13>-

2

【解析】分析：根据概率的计算公式.颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各

自的概率即可.

详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；

用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：

所以颜色搭配正确的概率是二.

2

故答案为：

2

点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那

么事件A的概率P(A)=-.

n

14.3

2

【分析】令连等式的值为k,将a、b、C全部转化为用k表示的形式，进而得出比值.

【详解】令;二g=/二k

456

则a=6k,b=5k,c=4k

b+c5k+4k3

贝U-------=----------=—

46k2

3

故答案为：--

2

【点睛】

本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法.

15、60

【分析】根据题意，画出旋转过程中，与圆相切时的切线BAi,切点为D,连接OD,根据切线的性质可得NODB=90。，

然后根据已知条件，即可得出NOBD=30°,从而求出旋转角NABAi.

【详解】解：如下图所示，射线BAi为射线与圆第一次相切时的切线，切点为D,连接OD

/.ZODB=90°

根据题意可知，OD=\BO

2

.,.ZOBD=30°

，旋转角：ZABAi=ZABC-ZOBD=60°

故答案为：60

【点睛】

此题考查的是切线的性质和旋转角，掌握切线的性质是解决此题的关键.

16、607r

【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：:它的底面半径OR=6ca高OC=8cm

:・BC=yjoB2+OC2=V62+82=10(c〃)

，圆锥的侧面积是：—Ijiri=/rrl=7r-6x\0=607r(cm1).

2

故答案为：607r.

【点睛】

本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键.

17、1

【分析】根据根与系数的关系求出西+9，西了2代入即可求解.

【详解】・・,内,占是方程％2一4%+1=0的两根

.bc

/.4-X.=.—=4,X[W=—=1

a-a

XX

*.内(1+J2)+X2=X]+x]x2+/=玉+々+\2=4+1=1,

故答案为：1.

【点睛】

bc

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知百十七=一，玉"2=一的运用・

aa

18、4乃

【分析】由图可知，圆心。运动路径的长度主要分两部分求解，从初始状态到垂直状态，圆心一直在一条直线上；从

垂直状态到重合状态，圆心运动轨迹是1圆周，计算两部分结果，相加即可.

4

【详解】由题意知：半圆。的半径为4,

，从初始状态到垂直状态，圆心。运动路径的长度=，仓叨，4=2/，.

4

・・・从垂直状态到重合状态，圆心。运动路径的长度=，创即4=2/7.

4

即圆心0运劭路径的总长度二2P+2P=4p.

故答案为47r.

【点睛】

本题主要考查了弧长公式和圆周公式，正确掌握弧长公式和圆周公式是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)详见解析；(2)详见解析

【分析】(1)根据题意得出NOOE=NCEE,DE=CE,根据AAS即可证明；

(2)由(1)可得到OD=R?,再根据菱形的性质得出/。。。=90‘，即可证明平行四边形是矩形.

【详解】证明：(1)・；CF〃BD,

;./DOE=NCFE,.

E是CO中点，:.DE=CE,

又QEO=/CEF

/.AODEsAFCE(AAS)

(2)NODE=MCE,

:.OD=FCt.

•;CF//BD,

...四边形oc五。是平行四边形，

平行四边形A6CD是菱形，

ZDOC=90°.

・•・平行四边形OC五&是矩形.

【点睛】

此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.

20、(1)ZAPB=135°,(2)ZAPB=45°；(3)73.

【分析】⑴思路一、先利用旋转求出NPBP=90。，BP=BP=2,AP'=CP=3,利用勾股定理求出PP',进而判断出△APP,

是直角三角形，得出NAPP=90。，即可得出结论；

思路二、同思路一的方法即可得出结论；

（2）将MFC绕点3逆时针旋转9（）,得到MP'A,连接。户，然后同Q）的思路一的方法即可得出结论；

（3）可先将△APB绕点A按逆时针方向旋转60。，得到AAPC,根据旋转性质，角的计算可得到AAPP是等边三角

形，再根据勾股定理，得到AP的长，最后根据三角形面积得到所求.

【详解】解：（1）思路一，如图b

将绕点笈逆时针旋转90，得到ABP'A,连接PP,

则AABP'gACBP,AP'=CP=3f

BP=BP=2,^PBP'=90，

・•・NB"'=45，

根据勾股定理得，P'P=6BP=2M，

•・・4P=1,

:.AP?”，产=1+8=9.

又•・・P*=32=9,

•­AP^P'P2=P,A2^

・・・AA"'是直角三角形，且NAPP'=90,

AZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90+45=135;

⑵如图2,将ABPC绕点4逆时针旋转90，得到MPA,连接

则AA3P'gACHP,4P'=CP=而，BP'=BP=1,NPBP'=90,

；・NBPP'=45，

根据勾股定埋得，PP'=y/2BP=y/2-

•:AP=3,

・•・A尸+尸尸=9+2=11・

又「P'A2=(VH)2=11,

+尸，尸2=尸,42,

工A4P产是直角三角形，且NAPP=90，

,AAPB=AAPP-/BPP'=90-45=45;

(3)如图3,将AAPB绕点A按逆时针方向旋转60。，得到△APC,

.,.ZAP,C=ZAPB=3600-90o-12()o=150°.

VAP=AP\

••・△APP是等边三角形,

Z.PP=AP,ZAP'P=ZAPP=60°,

/.ZPP'C=90°,ZPPC=30°,

:.PP=BpC,即AP=@PC

22

VAPC=90°,

/.AP2+PC2=AC2,且+PC2=(V7)2,

APC=2,

・•・AP=C，

：.S^PC=-APPC=-xy/3x2=>/3.

22

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理及

其逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键.

21、（1）详见解析；（2）1.

【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出乙48E=NG,再加上一组直角相等，根据相似三角形的

判定定理即可得证；

（2）先根据正方形的性屈、中点的性质求出AE的长.再根据勾股定理求出BE的长,最后根据相似二角形的性质、

线段的和差即可得.

【详解】（D•・•四边形ABCD为正方形，且NBEG=NBEF=90。

/.ZA=/BEG=90°,ZABC=90°

/.ZABE+ZEBG=90。,NG+ZEBG=90°

ZABE=NG

/.AA8E〜\EGB；

(2),・,四边形ABCD为正方形，AB=6

,\AD=BC=AB=6

点E为AD的中点

AE=DE=-AD=3

2

在R/A4BE中，BE=7AE2+AB2=《¥+©=3也

由(1)知，MBE\EGB

.AEBEHn33石

EBGB3有GB

...BG=\5

:.CG=BG-BC=\5-6=9

故CG的长为1.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）,由题（1）的结论联

系到利用相似三角形的性质是解题关键.

22、（1）图表见解析，（2）图表见解析，!

【分析】（1）通过列表可得出所有等可能的结果数与取出的两个都是奇数的结果数，再利用概率公式求解即可;

（2）通过画树状图可得出所有等可能的结果数与取出的三个都是奇数的结果数，再利用概率公式求解即可.

【详解】解：（1）根据题意列表如下：

乙

12

甲

3(1,3)(2,3)

4(1,4)(2,4)

1(1,1)(2,1)

由表格可得所有等可能的结果有6种，其中两个都是奇数的可能有两种,

21

（两个奇数）=-=-；

63

（2）根据题意画树状图如下：

676767676767

由树状图可得所有等可能的结果有12种，其中三个都是奇数的可能有两种，

21

（两个奇数）--=—.

126

【点睛】

本题考查的知识点是利用画树状图或列表求事件的概率，比较简单，易于掌握.

23、（1）证明见解析；（2）AABC的面积为42.

【分析】（1）在直角三角形中，表示tan昆cosNOAC,根据它们相等，即可得出结论

（2）利用sinC=g和勾股定理表示出线段长，根据3C=12,求出AO长

【详解】(1)・・・A。是田。上的高

：.AD±BC.

：.ZADB=90°,ZADC=90°.

在RtAlBO和RtAADC中，

A。A/)

VtanB=-----,cosZDAC=------

RDAC

又己知tanB=cosZDAC

.ADAD

***

：.AC=BD.

⑵在RtAAOC中，sinC=—,故可设AO=1A,AC=13A.

13

：・CD=JAC2_AD2=5A.

•；BC=BD+CD,又AC=BD,

；・BC=13k+Sk=12k

由己知BC=1,工12k=1.

：.k=-.

3

2

.*.AD=U=1x-=2,

3

24、(1)100；(2)3