北京市朝阳区2024届高三年级上册期中数学试题

北京市朝阳区2023〜2024学年度第一学期期中质量检测高三数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知全集U=Z,集合A二卜eZ|—},人{T0J2},则（-4）0=（）

A.{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

2.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

1

A.5?=lgxB.y=x3C.y=x十一D.y=T+2T

X

3若sin。=石cos0，则tan20=()

A.mB.避

C.D.

3322

4.已知。=logs0.5,〃=5°S,C=0.5°6,则()

Aa<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

5.函数）-2sin2x+B的图象的一条对称轴是（）

<6）

cIt

A.x=--B.x=0lz・X——D.x=—

662

6.设xwR,则“x(l+x)>0”是“Ovxvl”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

AC

7.已知平面内四个不同的点A8C,。满足=则——=（）

BC

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为华.在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个

顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）

2

A.-B.IC.2—5/2D.4-2V2

3

Ix4-l|-l,xe(-o7,0)1

1

9.已知函数/（幻=1\\g(x)=x2-4x-4,设人ER,若存在acR,使得

]n(x+l),xe[0,+00)

/（a）+gS）=0,则实数b的取值范围是（）

A.[-1,5]B.(TO,-1]"5,+00)

C.[-1,+<»）D.（TO,5]

10.已知点集八=｛（工,），）|工£7,y£2｝,5=｛（。,〃）£八|1<。45,14〃工5｝.设非空点集T=A,若对S

中任意一点P,在T中存在一点Q（。与「不重合），使得线段PQ上除了点P,Q外没有A中的点，则丁

中的元素个数最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数/（X）=Sin7U+COS7Lt,则“X）的最小正周期是.

12.已知单位向量。，人满足4•（4+%）=2,则向量。与向量〃的夹角的大小为.

13.设公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S.（〃EN*）,能说明“若d<0,则数列｛S〃｝是递减数列”

为假命题的一组％,"的值依次为.

14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆

心角的弦长表），这张表本质上相当F正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的」-

60

作为单位来度量弦长.将圆心角《所对的弦长记为crda.如图，在圆。中，60的圆心角所对的弦长恰

好等于圆。的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60=60.若。为圆心角,

cos9=；（0<<9<180）,则crW=

15.如图，在棱长为1的正方体A8C£>—ABC。中，点M为A。的中点，点N是侧面上（包

括边界）的动点，且4OJLMN,给出下列四个结论：

①动点N的轨迹是一段圆弧；

②动点N的轨迹与没有公共点；

③三棱锥N-B,BC的体积的最小值为上；

9

④平面BMN截该正方体所得截面的面积的最大值为一.

O

其中所有正确结论的序号是

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知｛〃”｝是递增的等比数列，其前〃项和为S”（〃£N'），满足%=6,S3=26.

（1）求｛4｝的通项公式及S”；

（2）若S〃+%>2024,求〃最小值.

17.在中，b2+c2-a2=bc.

（1）求NA；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使..48。存在且唯一确定，求

/8C的面积.

条件①：cos;

14

条件②：4+8=12;

条件③：c=12.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组

解答计分.

18.如图，三棱锥尸一ABC中，Q4_L平面ABC,PA=AC=3C=2,PB=2G.

(1)求证：8cl平面P4C；

(2)求二面角的大小；

(3)求点C到平面的距离.

19已知函数/(x)=e'-sinx-ox'seR).

(1)若。=0,求在区间,，外上的最小值和最大值；

⑵若求证：/(x)在工=0处取得极小值.

20.已知函数/(x)=mxInx-x2+\(meR).

(1)当m=1时，求曲线>'=/(力在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)W0在区间Ex。)上恒成立，求小的取值范围；

(3)试比较ln4与血的大小，并说明理由.

4%…4.3

21.已知A,“=y?'21鬼,”(〃[22)是〃/个正整数组成的加行加列的数表，当

\<i<s<my\<jd(«.y.,ast)=aj}-asi|+\asj-as(.设〃eN*，若4满足如下两个

性质：

①〃七｛1,2,3;…，小i=l,2,=,〃z）；

②对任意左£{1,2,3,,存在i«L2,…，研，/e{l,2,,m},使得。,/=3则称A”为「”数表.

（23、

⑴判断4二231是否为「3数表，并求〃（4.1，/.2）+1（。2.2，。3.3）的值；

<312）

（2）若心数表4满足d（%j4w）=Ki=l，2,3;/=l,2,3）,求&中各数之和的最小值；

⑶证明：对任意口数表A。，存在WYIO”j<Y10,使得"（%/丹）二0.

北京市朝阳区2023〜2024学年度第一学期期中质量检测高三数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知全集U=Z,集合A-{xeZ|-2s<2},"—{T（U2},则3①八八（）

A{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知A={-1,0,1},再由补集以及交集定义可得结果.

【详解】由题可知A="eZ|-2vxv2}={T,O,l},

易知Q.A={X£ZU£4},所以@A）C3={2}.

故选:D

2.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=1gxB.y=x3C.y=x^■—D.y=2x+2~x

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.

【详解】对于A：因为y=lgx的定义域为（0,+8）,所以不是奇函数，所以A错误；

对于B：令f（x）=d,则〃_力=（_力3=_/=_/（%）,所以是奇函数，

又在（0,+8）上单调递增，B正确：

对于c：y=x+，在（0,1）上递减，在（l,y）上递增，所以C错误；

X

对于D：因为“司=2'+2-",“一力=2-、2"=/（同,所以是偶函数，所以D错误,

故选：B

3.若sin。=布cos。，则tan2。=（）

A.一苴B.1C.一正D.在

3322

【答案】C

【解析】

【分析】根据sin9=J5cose得到tan〃=逐，再利用二倍角公式得到答案.

0

（详解】sin0=后cos0tan0=亚，tan20-，⑦1-?非=

l-tan2/9-42

故选：C

【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.

4.已知。=log5°-5/=5°$,C=0.5°6,则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.

0605

【详解】由。=log50.5<log51=0<c=O.5,<0.5°=1=5°<Z?=51,即a<c<力.

故选：A

TT

5.函数），=2sin2x+-的图象的一条对称轴是（）

n八一兀Jr

A.X=--B.JI=（）C.X=—D.x=—

662

【答案】C

【解析】

【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断y=±2是否成立即可.

【详解】人=」时y=2sin—7+y1^12,不是对称轴;

6<36J

x=0M.V=2sin(0+^U±2,

不是对称轴;

工4时广2si呜+制=2,是对称轴,

x=5时y=2sin(7t+fK±2,不是对称轴；

故选：C

6.设XER,则“K(1+X)>0”是“0<%<1"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.

【详解】解不等式x（l+x）>0可得x>0或XV—1：

显然｛x|Ovx<l｝是卜门〉0或x<—1｝的真子集，

所以可得“x（l+x）>0”是“0vxv1”的必要不充分条件.

故选：B

AC

7.已知平面内四个不同的点A,氏C,。满足区4=2。8-2。。，则一-=（）

BC

23

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】D

【解析】

一一一・.W4

【分析】将条件B4=2OB—2QC变形，得到BC,4c的关系，进而可得^一的值.

四

【详解】<BA=2DB-2DC，

8C+C4=2（OC+C3）-2OC,

即380=4。，，3|8。卜卜。

AC

---=3.

BC

故选：D.

8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为与.在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个

顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（）

2LL

A.-B.IC.2-V2D.4-2V2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得圆锥的窟与底面圆的半径为2,作出组合体的轴截面，结合SOQsSOA,列出

方程，即可求解.

【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为/?,底面圆的半径为「，则/•=/?,

o11QJJ.

又因为圆锥的体积为?，可得一兀产力=—兀，:一，解得〃=2,则a=2,

3333

设圆锥的顶点为S,底面圆心为0,则高为SO=2,SO与正方体的上底面交点为。1,

在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取

其轴截面，如图所示，

设正方体的校长为。，可得CO=血〃，

由ASQOSASOA,可得阻=92,即2—a与。,解得。=-T==4-2&,

SO0A=2+V2

所以该正方体的棱长为4-2&.

故选：D.

9已知函数小)二］二€［。“产』41，设程R，若存在使得

/(□)十g(〃)=0,则实数力的取值范围是()

A.[-1,5]B.y,-i]35,+oo)

c.[-L-HX))D.(-00,5]

【］A

【解析】

【分析】根据题意，求得函数/(X)的值域为[-1,+8),结合题意转化为-gS)N-1,列出不等式，即可

求解.

【详解】由题意，作出函数y=/(x)的图象，如图所示，

所以，当xe(-oo,0)时,/(%)>/(-1)=-1；

当xe[0,+oo)时，/(x)>/(O)=O,可函数/(x)的值域为[-1,+<功，

设。ER,若存在aeR,在得/3)+gS)=。成立,即/(“)=一gS),

只需一gS)N-l，即对于满足一〃2+4/?+4之一1成立，即〃之一4〃一5«()，

解得一1W〃工5,所以实数8的取值范围为[-1,5].

10.已知点集八={(工,)，)|工£2,》£2},5={(4,/力£八|14445,14。<5}.设非空点集丁qA,若对S

中任意一点尸，在7中存在一点。(。与P不重合)，使得线段A3上除了点P,Q外没有A中的点，则T

中的元素个数最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解^5]

【分析】根据整点(。力),(c,d)的连线内部没有其它整点，当且仅当。一。与〃一2互为素数，讨论了只有一

个点(X,y)得到矛盾，进而有了中元素不止一个，取7={(2,6),(3,6)}分析是否满足要求即可.

【详解】对于整点(氏〃),(c,d)的连线内部没有其它整点，当且仅当a-c与d互为素数，

若7只有一个点“，)，)，取S的点(外〃)使。,x和〃,)，分别同奇偶，。一工力一丁有公因子2(或重合)，不

合题意，

故丁中元素不止一个,令T={(2,6),(3,6)},对于S的点才(。力),

当〃=1或3时，取。(2,6)；当。=2或4时，取。(3,6)：

由于2、。横坐标之差为±1,故八2内部无整点;

当。=5,〃£{1,3,5}时，取。(3,6),此时横坐标之差为2,纵坐标之差为奇数，二者互素；

当。=5,〃e{2,4}时，取Q(2,6),此时横坐标之差为3,纵坐标之差为-4,一2,二者互素；

综上，丁中的元素个数最小值是2.

故选:B

【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点的连线内部没有其它整点，当且仅当a-c与b-d

互为素数为关键.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数/(x)=sin兀Y+COS7LT,则〃女)的最小正周期是.

【答案】2

【解析】

【分析】化简函数为f(x)=&sin(7LT+工)，结合最小正周期的计算公式，即可求解.

4

【详解】由函数/(x)=sin兀T+COS兀T=&sing-+；),所以/(x)的最小正周期为丁二§^二2.

故答案为：2.

12.已知单位向量人满足。・(a+%)=2,则向量力与向量b的夹角的大小为.

【答案】£

【解析】

【分析】

根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1,代值计算即可.

【详解】因为。，匕均是单位向量，故可得问=1,愀=1,

故可得a・(4+2Z?)=|a|2+2同〃,

即224,解得co3„±―,

又因为向量夹角的范围为[0,〃],

故〃泊的夹角为

故答案为：—•

3

【点睛】本题考杳向量数量积的运算，属基础题.

13.设公差为d等差数列｛q｝的前〃项和为S.(〃eN),能说明“若4<0,则数列｛S.｝是递减数列”

为假命题的一组45的值依次为.

【答案】4=2,d=T(答案不唯一)

【解析】

【分析】由等差数列前〃项和公式有S〃=g/+(4一多〃且〃<0,结合二次函数性质找到一个满足｛s.｝

不是递减数列的q,4即可.

【详解】由——(J=—n2+(tz--)n,其对称轴为〃二:一3,且4v0,

2222d

1Q

结合二次函数性质,只需3吟之『乎—1,即qN-d,此时｛，｝不是递减数列,

如〃I=2,d=—1,则Sn=—(n—)24---»显然S]<S?.

228

故答案为：4=2,d=-\(答案不唯一)

14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表(即不同圆

心角的弦长表)，这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的工

60

作为单位来度量弦长.将圆心角”所对的弦长记为crda.如图，在圆。中，60的圆心角所对的弦长恰

好等于圆。的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60个单位，BPcrd60=60.若。为圆心角,

cos<9=；(()<6><18()),则crd6=

【答案】30公

【解析】

【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出<：0$。=!时圆心角。所对应的弦长/二直小结合60

42

的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.

【详解】设圆的半径为乙cos<9="!■时圆心角。所对应的弦长为,,

4

利用余弦定理可知『二产+/-2,cos。=3/，即可得/=理广

22

X60的圆心角所对的弦长恰好等于圆。的半径，60的圆心角所对的弦长为6()个单位，

即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，

所以/=X^x6()=30面.

2

故答案为：30x/6

15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AgGA中，点加为人。的中点，点N是侧面QCG"上(包

括边界)的动点，且与。_LMN,给出下列四个结论：

①动点N的轨迹是一段圆弧；

②动点N的轨迹与CD,没有公共点；

③三棱锥N—B、BC的体积的最小值为1-；

9

④平面丛wv截该正方体所得截面的面积的最大值为§.

其中所有正确结论的序号是

【答案】②③④

【解析】

【分析】作出与巴。垂直的平面MP。，即可得动点N的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段PQ,可知

①错误；显然即②正确；当N点与尸点重合时到平面与的距离最小时，此时最小值为

19

—,所以③正确；易知当N点与。点重合时，截面为等腰梯形8MQG，此时面积最大为京.

【详解】取C。,的中点分别为尸,。，连接尸。,8。，如下图所示：

由正方体性质可知8片J.MP,又因为AC/BD,MP//AC,所以MP上BD,

又BB】cBD=B,平面BBQ,所以M尸_L平面BBQ；

又BQu平面BBQ,所以MP_L81Q；

同理可得MQ上BQ,QPJ.BQ,

因此4Q_L平面MPQ,

若及D工MN,所以Ne平面MPQ,乂点N是侧面QCGR上（包括边界）的动点；

所以动点N的轨迹是两平面的交线在侧面内的线段，即PQ,可知①错误；

由干尸，。是C。,的中点，所以PQ//CQ,即动点N的轨迹与没有公共点；所以②正确;

易知三棱锥N-B、BC的底面的面积为定值，即S8Bc=』xlxl='，

11•D]OL22

当N点到平面与8C的距离最小时，即与p点重合时，距离最小为：，

此时体积值最小为V=LX'XL=_L,所以③正确；

32212

显然当N点与Q点重合时，截面面积最大，此时截面即为四边形BMQG，如下图所示:

易知MQ//BC1,且BM=QC、=与，MQ=与,BC[=6；

即四边形BMQ3等腰梯形，易知其高为h=

%5g

所以其面积为7+>/2x=；即④正确.

2~8

故答案为：②③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程.

16.已知｛4｝是递增的等比数列，其前〃项和为满足%=6,S3=26.

（1）求｛4｝的通项公式及S”；

（2）若S”+为>2024,求〃的最小值.

【答案】（1）%=2X3“T；S.=3"-1.

（2）7

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案;

（2）根据对数的性质，可得答案.

【小问1详解】

设等比数列｛〃“｝的公比为4,由数列｛凡｝是递增数列，则4>1,

由〃，=6,贝114="二一,/=a、q=6q,由S3=q+o»+%=—+6+6q=26,

qq~-q

整理可得对一10q+3=0,则（3夕—1）①-3）=0,解得。=3,

易知。“=。应”"=6x3'L2=2x3i,5=4（i"）=2x（1―3"）=3〃_]

〃\-q1-3

【小问2详解】

由（1）可得：S”+4“=3"-1+2x3"“=5x31-1>2024,

整理可得5x3'i>2025，3〃T>405，36-1=243（405,37-'=729）405,

故〃的最小值为7.

17.在以BC中，b2+c2-a2=bc.

（1）求NA；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使/8C存在且唯一确定，求

/8C的面积.

条件①：cos;

14

条件②：a+b=\2；

条件③：c=12.

注：如果选择的条件不符合耍求，笫（2）问得0分：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按笫组

解答计分.

【答案】⑴4

（2）答案见解析

【解析】

【分析1（1）根据题意，利用余弦定理求得cosA=!，即可求解；

2

（2）根据题意，若选择①②，求得sin4,由正弦定理求得。=72=5,再由余弦定理求得c=8,结合

面积公式，即可求解：

若①③：先求得sinB=士叵，由sinC=sin（A+8）=地，利用正弦定理求得。=?,结合面积公式，

14142

即可求解；

若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得〃=0,不符合题意.

【小问1详解】

解：因为〃2+。2-4=A，由余弦定理得COSA=，十二一”,

2bc2

又因为A£（0,7l）,所以4=1.

【小问2详解】

7T

解：由（I）知A=§,

若选①②：cosB=—,a+b=\2»

14

由cosB=一，可得sinB=\J\-cos2B=——»

1414

a12-a

由正弦定理'一=——，可得耳=56，解得。=7,则人=12—。=5,

sinAsinB——-----

214

又由余弦定理"=//+/一2/?c、cosA，可得49=25+/-5。，

即才一5。-24=0，解得c=8或c=—3（舍去）,

所以^ABC的面积为S=—Z?csinA=—x5x8x^-=105/3.

222

若选①③：=U且c=12,

14

由cosB=—,可得sinB=Jl-cos?8=，

1414

因为A+4+C=TT,可得sinC=sin（A+=—x—+—x,

'f2142147

67_12

由正弦定理一一=1J,可得耳一工序，解得。=图，

sinAsine-----2

27

所以以3c的面积为S=—acsinb=—x—x\2x.

222142

若选：②③：。+〃=12且c=12,

因为可得/+122-（12-4=12〃，整理得248=1%,

解得人=0,不符合题意，（舍去）.

18.如图，在三楂锥P—A8C中，Q4_L平面ABC,PA=AC=BC=2,PB=2百.

（1）求证：8c4平面PAC；

（2）求二面角A-P8-C的大小；

（3）求点C到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；

（2）60°：

（3）万

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的性质判断异面直线垂直，再由勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直的判定证

明即可；

（2）建立空间直角坐标系，分别求法向量，求出二面角；

（3）应用等体积法求点到面的距离即可.

【小问1详解】

因为尸AJ•平面A6C,6Cu平面A6C,8Au平面A6C,

所以PA_L4CQ4_Lm,又PA=2,PB=2C,所以43=历二丽=2&，

又因为AC=8C=2,AC2+BC2=AB2»所以3CJ.AC,

因为ACu平面B4C,Q4u平面B4C，且ACuE4=A,

所以5c工平面PAC：

【小问2详解】

过C作CM〃/为，则CM_L平面A3C,又由（1）知8c±AC,

所以以C4,CRCM为x,），,z轴建立空间直角坐标系，如下图，

则A(2,0,0),P(2,0,2),«(0,2,0),C(0,0,0),

设平面APB的法向量为机二(%,%,zj,又”=(0,0,2),4B=(-2,2,0),

m-AP=02z.=0u

所以〈=<'9八令玉=1，则y=1，则〃々(1,1,0,

/〃•AB-0一2%+2乂=0'/

设平面PBC的法向量为M=(x2,y2,z2),又CP=(2,0,2),C8=(0,2,0),

+2Z

n-CP=02X22=0

所以=,令/=1，则马=T则”=(1,0,7),

n-CB=02y2=0

令二面角A-PB-c的平面角为e,则"H*卜品号r；，

由图知此二面角锐二面角,

所以。=60。，故二面角A—P8—C为60。；

【小问3详解】

设点C到平面AA3的距离为/?,

114

=/x4Cx8C=2,所以％ABC=3XPAXSAA8c="

又S^PBC=—xPAxAB=2x/2,所以VC_PAB=-xhxS^PBC=jh=VP_ABC,

解得力=加，所以点。到平面尸AB的距离为正.

19.已知函数f(x)=e'-sinA--or2(67GR).

(1)若a=0,求/(x)在区间。皮上的最小值和最大值；

⑵若求证：“X)在工=0处取得极小值.

【答案】⑴最小值为/(0)=1,最大值为吗)二一一1；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数研究/(x)=e'-sin.K在0,^上的单调性，即可求最值：

⑵由题设/'(X)=e¥-cosx-2ax,易得/”(0)=0,构造g(x)=er-cosx-2^利用导数可得g'(0)>0,

得到f(x)在x=0处有递增趋势，即可证结论.

【小问1详解】

由题设f(x)=e'-sinx,则/'(》)=e'-cosx，

在0卷±/\x)=cv-cosx>0,即/(%)递增，

nx

所以最小值为/(O)=e°-sinO=l,最大值为/(工)=e?-sin—=e?-1.

22

【小问2详解】

由题意f\x)=er-cosx-2cix,则/'(O)=e°-cos0-0=0,

令g(x)=e*-cosx-2ov,贝ijg'(x)=ex+sinx—2。，且。<g.

所以((0)=e°+sin0-2。=1-2。>0,即/(x)在x=0处有递增趋势，

综上，若At>0且Ax无限趋向于0,

xG(-Ax-,0)±f\x)<0,/(x)递减，

在工£(0,Ax)上/'(x)>0,/⑴递增，

所以/(x)在工=0处取得极小值.

20.已知函数/(x)=-/+1(机eR).

(1)当〃2=1时，求曲线丁=/。)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若/。)《0在区间工48)上恒成立，求，〃的取值范围；

(3)试比较E4与夜的大小，并说明理由.

【答案】(1)x+y-l=0

(2)(-oo,2]

(3)ln4<V2

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)将/(工)40在区间[1,+8)上恒成立，转化为〃W0,令g(x)=mlnx-x+L问题转

XX

化为g("a《°，利用导数求函数g(x)皿即可得解；

(3)由(2)知，m=2时，/(<)40在区间口,位)上恒成立，取户上，可得解.

【小问1详解】

当m=1时，〃x)=xlnx-x2+1,

「•f'(x)=Inx+l-2x,

所以曲线在点(ij(i))处切线的斜率〃=r(i)=-i,又/⑴=o,

所以曲线/(x)在点处切线的方程为y=-(x-l)即x+)」l=0.

【小问2详解】

/(尤)公。在区间[1,十g)上恒成立，即以Inx-f+i&O，对Vxe[l,+8),

即〃Hnx-x十X*jVXG[1,+CO),

JC

令g(x)=〃?lnx-x+L只需g(x)aK0,

X

xm,1-x2+nix「i,\

g[x)=--1--=------s——,x«l，+8),

XXX

当,〃W0时，有祖x40,则g'(K)<0，

g(X)在[h+oo)上单调递减，

二.g(x)<g(l)=0符合题意，

当机>0时，令6(力=-2+如-1,

其对应方程—x?+inx—\=0的判别式△=m2—4，

若AW0即0<相<2时，有力(£)40,即g'(x)W0,

£(x)在口,+°。)上单调递减，

.・.g(x)Wg(l)=0符合题意,

若A>0即〃?>2时，〃(x)=-f+如一],对称轴x=£>i,又〃⑴=〃.2>0,

方程—9+ix—1=0的大于1的根为4=—......———,

fJ°2

.".XG(1,^),/?(x)>0,即g[x)>0,

X€(AJj,+oO),/?(X)<O,即g'(K)<0,

所以函数g(x)在(1,*上单调递增，.••g(%)