北京市东城区九年级数学上册期末试卷（含答案解析）

北京市东城区九年级数学上册期中试卷

（含答案）

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（每题3分，共24分）

1.若反比例函数的图象经过点（3,-2）,则该反比例函数的表达式

为（）

A.y=-B.y=--C.y=—D.y=--

XXXX

2.已知一个扇形的半径是1,圆心角是120°,则这个扇形的弧长是

（）

A.B.nC・2D.等

633

3.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，

移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时,

竹竿与这一点相距6m,与树距15m,那么这颗树的高度为（）

A.5mB.7mC.7.5mD.21m

4.如图，AB是。0的直径，点C,D在。0上.若NABD=55°,则/

BCD的度数为（）

AB

D

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.二次函数y=ax2+bx4-c（aWO）的图象如图所不，一元二次方程

ax2+bx+c=0（aWO）的根的判别式为△=b?-4ac,则下列四个选项正

确的是（）

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,A>0

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,A<0

6.如图，。。的半径为4,将。0的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好

经过圆心0,则折痕AB的长为（）

B.2正C.6D.4V3

7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在

小正方形的顶点上，则cosNA的值为（）

A.唯B.2C.坐D.春

552

8.如图，在RtaABC中，ZA=90°,AB=AC=4.点E为RtZ^ABC边上

一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C-A-B的路径

运动到点B为止.连接CE,以点C为圆心，CE长为半径作。C,OC

与线段BC交于点D,设扇形DCE血积为S,点E的运动时间为t,则

在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋

势的是（）

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9.请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：.

10.已知点（xi,y.）,（x,y）在反比例函数y=-当yi<y<0

22X2

时，X1，X2的大小关系是.

11.如图，角Q的一边在x轴上，另一边为射线0P,点P（2,2加），

贝ljtana=.

12.如图，点D为4ABC的AB边上一点，AD=2,DB=3.若NB=NACD,

贝IJAC-.

13.如图，AC,AD是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线

段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）;

14.二次函数y=-x?+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等

式-x2+bx+c<0的解集为.

15.已知。0的半径为1,其内接4ABC的边AB=行，则NC的度数

为.

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题:

尺规作图：作已知角的角平分线.

已知：如图，ZBAC.求作：NBAC的角平分线AP.

小霞的作法如下：

(1)如图，在平面内任取一点。；

(2)以点。为圆心，A0为半径作圆，交射线AB于点D,交射线AC

于点E；

(3)连接DE,过点0作射线0P垂直于线段DE,交。()于点P；

(4)过点P作射线AP.

所以射线AP为所求.

老师说：“小霞的作法正确.”

请回答：小霞的作图依据是.

三、解答题(本题共72分)

17.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数尸-2x的图

象与反比例函数尸《的图象的一个交点为A(-1,n).求反比例函

数尸《的表达式.

18.（6分）已知二次函数y=x?+4x+3.

（1）用配方法将y=x?+4x+3化成y=a（x-h）的形式;

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象.

5-

4-

3-

2-

1-

1111111II1>

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

19.（6分）已知：如图，在aABC中，D,E分别为AB、AC边上的点,

且AD二/AE,连接DE.若AC二3,AB6求证：AADE^AACB.

20.（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8,ZA=120°，求BC

21.（5分）己知：如图，。0的直径AB的长为5cm,C为。0上的一

个点，NACB的平分线交。。于点D,求BD的长.

A

c

R

22.（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学

们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的

步骤及测量的数据如下：

（1）在地面上选定点A,B,使点A,B,D在同一条直线上，测量出

A、B两点间的距离为9米；

（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A,B的俯角N

ECA=35°,NECB=45°.请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用

到的参考数据：sin35°20.57cos35°七0.82tan35°^0.70）

23.（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在

边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板

料.当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？

24.（5分）已知：如图，AB是半圆。的直径，D是半圆上的一个动

点（点D不与点A,B重合），ZCAD=ZB

（1）求证：AC是半圆。的切线；

（2）过点。作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,

AD=6,求BD的长.

25.（5分）如图，AB=6cm,ZCAB=25°,P是线段AB上一动点，过

点P作PM1AB交射线AC于点M,连接MB,过点P作PN1MB于点N.设

A,P两点间的距离为xcm,P,N两点间的距离为ycm.（当点P与点

A或点B重合时，y的值均为0）

小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小海的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、面图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

m097007760090

（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）

（2）建立平面直免坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标

的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x

值的个数是.

26.（7分）已知一次函数y尸-1,二次函数y2=x2-mx+4（其中m

>4）.

（1）求二次函数国象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若m=5,求当yi>0且丫2与0时，自变量x的取值范围；

②如果满足y>>0且y2<0时自变量x的取值范围内有且只有一个整

数，直接写出m的取值范围.

27.（8分）已知：如图，AB为半圆。的直径，C是半圆。上一点，

过点C作AB的平行线交于点E,连接AC、BC、AE,EB.过点C

作CGJ_AB于点G,交EB于点H.

（1）求证：NBCG=NEBG；

⑵若sinNCAB二哈求券的值.

28.（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角

坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点0重合，则单位圆与x轴

的交点分别为（1,0）,（-1,0）,与y轴的交点分别为（0,1）,（0,

-1）.

在半面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点。重合，a的

一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x“Y1）,且点

P在第一象限.

（1）XL（用含a的式子表示）；y尸（用含a的式子

表示）；

（2）将射线0P绕坐标原点0按逆时针方向旋转90°后与单位圆交

于点Q（x2,y2）.

①判断山与X2的数量关系，并证明；

②y1+y2的取值范围是：.

答案

一、选择题（每题3分，共24分）

1.若反比例函数的图象经过点（3,-2）,则该反比例函数的表达式

为（）

A_6n_6_3_3

A.y=—B.V~Cr.y=­Dn.y《

【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式尸工（kwo）

x

即可求得k的值.

【解答】解：设反比例函数的解析式为尸上（kWO）,函数的图象经

x

过点（3,-2）,

・，・-2=易得k=-6,

・,.反比例函数解析式为y=一2.

X

故选：B.

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定

系数的反比例函数解析式尸区（k为常数，kWO）；把已知条件（自

x

变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程,

求出待定系数；写出解析式.

2.已知一个扇形的半径是1,圆心角是120。，则这个扇形的弧长是

（）

A.小B.JiC.2D.等

633

【分析】根据弧长公式1二喏进行解答即可.

loU

【解答】解：根据弧长的公式1=聆，

故选：D.

【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题.

3.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，

移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时,

竹竿与这一点相距6m,与树距15m,那么这颗树的高度为（）

【分析】先判定△OAB和AOCD相似，再根据相似三角形对应边成比

例列式求解即可.

【解答】解：如图，

VAB±OD,CD1OD,

・・・AB〃CD,

AAOAB^AOCD,

.迪二迈

**CD~OD，

VAB=2m,0B=6m,0D=6+15=21m,

・_2_=_6_

**CD-21'

解得CD=7m.

这颗树的高度为7m,

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似

三角形是解题的关键.

4.如图，AB是。。的直径，点3D在。0上.若NABD=55°,则N

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】先根据圆周角定理求出NADB的度数，再由直角三角形的性

质求出NA的度数，进而可得出结论.

【解答】解：连接AD,

TAB是。0的直径，

・・・NADB=90°.

VZABD=55°,

ZDAB=90°-55°=35°,

AZBCD=ZDAB=35°.

故选：C.

c

B

D

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是

解答此题的关键.

5.二次函数yW+bx+c(aWO)的图象如图所示，一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的根的判别式为△=b?-4ac,则下列四个选项正

确的是()

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,A>0

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,A<0

【分析】根据抛物线的性质即可求出答案.

【解答】解：由图象与y轴的交点位置可知：c<0,

由图象与x轴的交点个数可知：△>(),

由图象的开口方向与对称轴可知：a>0,峥>0,

从而可知：b<0,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数

的图象与性质，本题属于基础题型.

6.如图，。。的半径为4,将。0的一部分沿着AB翻折，劣弧恰好

经过圆心0,则折痕AB的长为()

B.2V3C.6D.4VS

【分析】过。作垂直于AB的半径OC,设交点为D,根据折叠的性质

可求出0D的长；连接0A,根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定

理知AB=2AD,即可求出AB的长度.

【解答】解：过0作0CLAB于D,交。。于C,连接0A,

RtZXOAD中,0D=CD=10C=2,0A=4,

根据勾股定理，得：AD二而后茄^二2%，

由垂径定理得，AB=2AD二4立，

故选：D.

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换

是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应

边和对应角相等是解题的关键.

7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在

小正方形的顶点上，则cosNA的值为（）

A.唯B.2&坐D.春

552

【分析】过B作BDLAC于D,根据勾股定理得到AB的长，然后由锐

角三角函数定义解答即可.

【解答】解：如图，过B作BDJ_AC于D,则点D为格点，AD=①

由勾股定理知：AB2=32+l2=10,

/.AB=VIo,

.••RtZ^ADB中，cosNA二瞿二至二四，

ABV105

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c

的比叫做NA的余弦，记作cosA.

8.如图，在Rtz^ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,点E为RtAABC边上

一点，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，沿着C-A-B的路径

运动到点B为止.连接CE,以点C为圆心，CE长为半径作。C,OC

与线段BC交于点D,设扇形DCE面积为S,点E的运动时间为t,则

在以下四个函数图象中，最符合扇形面积S关于运动时间t的变化趋

势的是（）

BD

a-Ab-|/\

C-|Ad-U

€ql2*4507BfO|lij43O7lf

【分析】根据RtZ\ABC中，ZA=90°,AB二AC=4,点E以每秒1个单

位的速度从点C出发，沿着C-A-B的路径运动到点B为止，可得函

数图象先上升再下降，根据当0WtW4时，扇形面积S二

纥X£t二和,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部

分,故B选项错误；根据当4VtW8时;随着t的增大，扇形的半径

增大，而扇形的圆心角减小，可得后半段函数图象不是抛物线，放C

选项错误；再根据当t=8时•，点E、D重合，扇形的面积为0,故D

选项错误；运用排除法即可得到结论.

【解答】解：・・・RtaABC中，ZA=90°,AB=AO4,点E以每秒1个

单位的速度从点C出发，

2

・••当0WtW4时，扇形面积S二绘奈土■二2t2,

3608

・・・前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；

当4Vt48时，随着t的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减

小，

・••后半段函数图象不是抛物线，故C选项错误;

♦.•当廿8时，点E、D重合，

・・・扇形的面积为0,故D选项错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，

要理清图象的含义即会识图.函数图象是典型的数形结合，图象应用

信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还

可以提高分析问题、解决问题的能力.

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9.请写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：y=2（x+1）2（答

案不唯一）.

【分析】顶点在x轴上的函数是尸a（x-h）2的形式，举一例即可.

【解答】解：顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0,即k=0,例如y=2

（x+1）2.（答案不唯一）

【点评】顶点式y=a（x-h）2+匕顶点坐标是（h,k）,此题考查了

其中一种函数，要充分理解各函数的关系.

10.已知点（X1,y）,（X2,y）在反比例函数y=2上，当y〈y2Vo

2X

时，Xi，X2的大小关系是X1>X2.

【分析】先根据反比例函数y二日中k=2可知此函数的图象在一、三象

限，再根据力〈72<0,可知A、B两点均在第三象限，故可判断出

Xi,X2的大小关系.

【解答】解：♦.♦反比例函数y=《中k=2>0,

.••此函数的图象在一、三象限，

Vyi<y2<0,

・・・A、B两点均在第三象限,

・・•在第三象限内y随x的增大而减小,

/.Xi>X2.

故答案为X]>X2.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意

判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键.

11.如图，角a的一边在X轴上，另一边为射线0P,点P（2,2代），

则tana-M.

【分析】如图作PE，x轴于E.根据tana二累计算即可.

【解答】解：如图作PEJLx轴于E.

VP（2,2避），

0E=2,PE=25，

，tana=器=^^=小

故答案为证.

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键

是熟练掌握三角函数的定义，属于中考常考题型.

12.如图，点D为4ABC的AB边上一点，AD=2,DB=3.若NB=NACD,

贝|JAC^V1C

【分析】由NB=NACD、ZA=ZA,可证出△ACDsaABC,根据相似三

角形的性质可得出黑二部，代入数据即可求出AC的值.

ADAC

【解答】解：VZB=ZACD,NA=NA,

AAACD^AABC,

・AC_ADgnAC_2

**AB-ACJ12+3-ACJ

「.AO®或AC=-V10(不合题意，舍去).

故答案为：V10-

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性

质找出关于AC的方程是解题的关键.

13.如图，AC,AD是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线

段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：(1)NBAC二

ZBCA；(2)NDAF=NADE.

【分析】根据正六边形的特点可得到：区为图形是正六边形，所以

AB=BC,所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得

NBAC=NBCA.因为EF〃AD,AF=ED,所以四边形ADEF是等腰梯形,

根据等腰梯形的性质可得NDAF=NADE.

【解答】解：由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）ZBAC=

ZBCA；(2)ZDAF=ZADE.

故答案为：NBAO/BCA；ZDAF=ZADE.

【点评】考查了多边形内角与外角，要结合题目中所提供的已知条件,

特别是该图形为正六边形，得出结论.

14.二次函数尸-x?+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等

式-x2+bx+c<0的解集为*<-1或乂>5.

【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标

为（-1,0）,然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围

即可.

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2,

而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5,0）,

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

所以不等式-x=bx+cVO的解集为x<-1或x>5.

故答案为xV-1或x>5.

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直

角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函

数解析式列成不式求解.

15.已知。。的半径为1,其内接AABC的边AB=行，则NC的度数为

45°或135°.

【分析】过圆心作AB的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心

角NAOB的度数，由此可求出NC的度数.(注意NC所对的弧可能是

优弧，也可能是劣弧)

【解答】解：如图，连接()A、0B,过()作()DJ_AB于D.

在RtZXOAD中,AD=哮，OA=1,

.♦.sinNAOD唔g,

A02

AZAODM50,NA0B=135°.

点C的位置有两种情况：

①当点C在如图位置时，ZC=1ZAOB=45°；

②当点C在E点位置时，ZC=ZE=180°-45°=135°.

故答案为：45°或135°.

【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用.注意点

C的位置有两种情况，不要漏解.

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作已知角的角平分线.

已知；如图，ZBAC.求作；NBAC的角平分线AP.

小霞的作法如下：

（1）如图，在平面内任取一点0；

（2）以点0为圆心，A0为半径作圆，交射线AB于点D,交射线AC

于点E；

（3）连接DE,过点0作射线0P垂直于线段DE,交。。于点P；

（4）过点P作射线AP.

所以射线AP为所求.

老师说：“小霞的作法正确.“

请回答：小霞的作图依据是（据垂直于弦的直径平分弦，并且平

分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角

平分线的定义.

【分析】根据作图的依据解答即可.

【解答】解：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且

平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）

角平分线的定义；

故答案为：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧;

（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义

【点评】此题考查作图-复杂作图问题，关键是根据作图的依据解答.

三、解答题(本题共72分)

17.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x的图

象与反比例函数y二代的图象的一个交点为A(-1,n).求反比例函

X

【分析】把A的坐标代入y二-2x,求出n,得出A的坐标，再把A的

坐标代入反比例函数的解析式求出k即可.

【解答】解：・・•点A(-1,n)在一次函数尸-2x的图象上，

・・・n二(-2)X(-1)=2,

・••点A的坐标为(-1,2),

・・,点A在反比例函数y=K的图象上，

X

，k=(-1)X2=-2.

・・.反比例函数的解析式为y=-2

x

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法

求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征.用待定系数

法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法.同学们要熟练掌握这

种方法.

18.(5分)已知二次函数y=x?+4x+3.

(1)用配方法将y=x，4x+3化成y=a(x-h)的形式；

(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象.

【分析】(1)利用配方法易得y=(x+2)2-1,则抛物线的顶点坐标

为(-2,-1),对称轴为直线x=-2；

(2)利用描点法面二次函数图象；

【解答】解：⑴y=(xMx)+3

二(X2+4X+4-4)+3

=(x=2)2-1；

(2)如图：

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：尸ax?+bx+c(a,

b,c是常数，aWO)；顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a

#0),其中(h,k)为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式

得到抛物线的顶点坐标为(h,k)；交点式：y=a(x-x到(x-x2)(a,

b,c是常数，aWO),该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线

与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0).也考查了二次函数图象与

性质.

19.（5分）已知：如图，在△ABC中，D,E分别为AB、AC边上的点，

且AD=^AE,连接DE.若AC=3,AB=5.求证：△ADEs^ACB.

【分析】根据已知条件得到，由于NA=NA,于是得到△ADEsaACB；

【解答】证明：...AC=3,AB=5,AD*

.ACAB

AD^AE，

VZA=ZA,

AAADE^AACB.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌

握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

20.（5分）已知：如图，在aABC中，AB=AC=8,ZA=120°，求BC

【分析】过点A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性质即可解决问题.

【解答】解：过点A作ADLBC于D.

BD

VAB=AC,ZBAC=1200，

AZB=ZC=30°,

BC=2BD,

在Rt^ABD中，ZADB=90°,ZB=30°,AB=8,

cosB常,

.\BD=ABcos30o=8X淳4第，

ABC-8V3.

【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

21.（5分）已知：如图，。。的直径AB的长为5cm,C为。0上的一

个点，NACB的平分线交。。于点D,求BD的长.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得NACB二NADB=90°,再根

据角平分线的定义可得NDAONBCD,然后求出AD二BD,再根据等

腰直角三角形的性质其解即可;

【解答】解：TAB为直径，

AZADB=90°,

•"D平分NACB,

・・.ZACD=ZBCD,

・•.俞前

・・・AD=BD,

在等腰直角三角形ADB中，

BD=ABsin45°=5X哗=5也

乙—

2

/•BD=5V2«

~2

【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的

判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得NACB二N

ADB=90°.

22.(5分)在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学

们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的

步骤及测量的数据如下：

(1)在地面上选定点A,B,使点A,B,D在同一条直线上，测量出

A、B两点间的距离为9米；

(2)在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A,B的俯角N

ECA=35°,ZECBM50.请你根据以上数据计算出CD的长.(可

能用到的参考数据:sin35°-0.57cos35°-0.82tan35°〜

0.70)

【分析】设CD=x,在RtACDB中，CD=BD=x,在RtACDA中tanZCAD=

根据图中的线段关系可得AD二AB+BD,进而可得9+x二温,再

解即可.

【解答】解：由题意可知：CDLAD于D,

ZECB=ZCBD=45°,

ZECA=ZCAD=35°,

AB=9.

设CD二x,

•・•在RtaCDB中，/CDB=90°,ZCBDM50,

/.CD=BD二x,

・・•在RtaCDA中，ZCDA=90°,NCAD=35°,

JtanNCAD二空，

VAB=9,AD=AB+BD,

解得x=21,

答：CD的长为21米.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

23.（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在

边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板

料.当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?

【分析】设AM的长为x米，则MB的长为(2-x)米，由题意得出

y=x2+(x-2)2=2(x-1)2+2,利用二次函数的性质求解可得.

【解答】解：设AM的长为x米，贝ijMB的长为(2-x)米，

以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米.

根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+(x-2)2=2(x-1)2+2,

因为2>0

于是，当x=l时，y有最小值，

所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.

【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图

象的开口方向.①当a>0时，二次函数图象向上开口，函数有最小

值；②aVO时，抛物线向下开口，函数有最大值.

24.(5分)已知：如图，AB是半圆。的直径，D是半圆上的一个动

点(点D不与点A,B重合)，ZCAD=ZB

(1)求证：AC是半圆。的切线；

(2)过点0作BD的平行线，交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,

AD=6,求BD的长.

【分析】(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.欲

证AC是半圆0的切线，只需证明NCAB=900即可；

(2)由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEFsaBAD；然后根据

相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可.

【解答】解：(1);AB是半圆直径,

AZBDA=90°,

AZB+ZDAB=90°,

XVZDAC=ZB,

.\ZDAC+ZDAB=90°,

即NCAB=90°,

JAC是半圆。的切线.

(2)由题意知，OE〃BD,ZD=90°,

ND=NAFO=NAFE=90°,

AOE±AD,

AZAFE=ZD=ZAF0=90°,AF=1AD=3,

又二AD=6

・・・AF=3・

又・・・NB=NDAE,

AAAEF^ABAD,

・更二”而EF二4

,*ADBD'叩匕「心

【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质.要证某

线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），

再证垂直即可.

25.（5分）如图，AB=6cm,ZCAB=25°,P是线段AB上一动点，过

点P作PM1AB交射线AC于点M,连接MB,过点P作PN1MB于点N.设

A,P两点间的距离为xcm,P,N两点间的距离为ycm.（当点P与点

A或点B重合时，y的值均为0）

小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小海的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的儿组值，如下表:

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

m097007760090

(说明：补全表格时相关数值保留两位小数)

(2)建立平面直集坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标

的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x

值的个数是一2个.

【分析】(1)利用取点，测量的方法，即可解决问题；

(2)利用描点法，画出函数图象即可；

(3)作出直线尸0.5与图象的交点，交点的个数是2个.

【解答】解：(1)通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；

(2)利用描点法，图象如图所示.

o2356

(3)由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个.

故答案为2个.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识,

解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题.

26.(7分)己知一次函数y尸2x-1,二次函数丫24-mx+4(其中m

>4).

(1)求二次函数匿象的顶点坐标(用含ni的代数式表示)；

(2)利用函数图象解决下列问题：

①若m=5,求当yi>0且丫2式0时，自变量x的取值范围；

②如果满足y>>0且y2^0时自变量x的取值范围内有且只有一个整

数，直接写出m的取值范围.

【分析】(1)利用配方法求二次函数的顶点坐标；

(2)①把m=5代入丫2,画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐

标，根据图象可得结论；

2

②根据题意结合图象可知x=3,把x=3代入y2=x-mx+4<0,当x=4

时,y2=x2-mx+4>0即可求得m的取值;

22

【解答】解：(1)Vy2=x-mx+4=(x--^-+4,

・・・二次函数图象的顶点坐标为：(费，-金+4)…

24

2

(2)①当m=5时,yi=-^-x-1,y2=x-5x+4.…(4分)

如图,当y尸0时,1x-1=0,x=2,

VA(2,0),

2

当y2=0时,x-5x+4=0,

解得:x=l或4,

AB(1,0),C(4,0),

因为y1>0,且y2〈0,由图象，得：2<xW4.…(5分)

②当山>0时♦,自变量x的取值范围：x>2,

・・,如果满足y>0且y?W0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数,

/.x=3,

2

当x=3时，y2=3-3m+4^0,

解得m2警，

当x=4时，y2>0,即16-4田+4>0,m<5?

・・・m的取值范围是：学，<5.…(7分)

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式