沪教版2024八年级数学期末难题压轴题

四边形综合题

1、已知：在矩形A8C。中，AB-10,BC=12,四边形EFG”的三个顶点瓜F、，分别在

矩形A8C。边A庆BC、DA±,AE=2.

(1)如图①，当四边形EFG/7为正方形时，求4GFC的面积：

(2)如图②，当四边形EFG”为菱形，且。时，求JGFC的面积.(用含。的代数式)

2、已知点E是正方形A8C。外的一点，EA=ED,线段8E与对角线AC相交于点F,

(1)如图1，当8F=E产时,线段A尸与DE之间有怎样的数量关系?并证明;

(2)如图2,当△EAO为等边三角形时，写出线段4F、BF、E尸之间的一个数量关系，并

证明.

3、如图，直线)，=-岳+4后与x轴相交于点A,与直线)，=石工相交于点P.

(1)求点P的坐标.

(2)请推断△OA4的形态并说明理由.

(3)动点E从原点0动身，以每秒1个单位的速度沿着OfPf4的路途向点4匀速运

动(E不与点。、A重合)，过点E分别作E/JLx轴于产，轴于8.设运动/

秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.求S与f之间的函数关系式.

4、如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB〃OA,0C=AB=4,BC=6,

NCOA=45°,动点P从点O动身，在梯形OABC的边上运动，路径为O-A-B-C,到达

点C时停止.作直线CP.

（1）求梯形OABC的面积；

（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式：

（3）当AOCP是等腰三角形时，诗写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）

五、27.如图，已知在梯形欣9中，AD//BC,AB=CD,BC=8,N8=60。，点”是边

能的中点，点反产分别是边仍、切上的两个动点（点少与点力、外不重:合，点与点。、D

不重合），且NEA"=120。.

（I）求证：ME=MF；

（2）试推断当点E、尸分别在边A3、C。上移动时，五边形AEMF。的面积的大小是否

会变更，请证明你的结论：

<3）假如点E、尸恰好是448、C。的中点，求边4。

的长.

（备用图）

4

27.如图已知一次函数尸一x+7与正比例函数尸石天的图象交于点4且与x轴交于点从

（I）求点A和点3的坐标；

（2）过点A作人C_Ly轴于点C,过点8作直线/〃），轴.动点尸从点O动身，以每秒1个

单位长的速度，沿O-C-A的路途向点A运动：同时直线/从点A动身，以相同速度向左

平移，在平移过程中，直线/交x轴于点R交线段3A或线段AO于点Q.当点P到达点A

时，点P和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为/秒（/A0）.

①当，为何值时，以A、尸、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、。为顶点的三角形是。人=。夕的等腰三角形？若存在，求r的值:

若不存在，请说明理由.

V771V1

（也用图）（通用图）

解：(I)・・・一次函数)，=一1+7与正比例函数y=qx的图象交于点A,且与x轴交于点反

.*.y=—AH-7,0=x+7,.,.x=7,点坐标为：(7,0),..................I分

4

Vy=—A+7=­x,解得x=3,.*.y=4»点坐标为：(3,4)：------------1分

(2)①当0VfV4时，PO=bPC=4-t,BR=t,OR=l-t,---------1分

过点A作AM±x轴于点M

・•,当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8,，S柿形ACOLSZMCP—S4POR—S△八四产8,

A-(AC+BO)xCO--AC<CP--PO^RO--AMxBR=S,

2222

:.CAC+BO)XCO-A6CP-POXRO-AMXBR=16,

，(3+7)x4-3x(4-/)-/x(7-/)~4/=16,.・.产一8什12=0............1分

解得八=2，处=6(舍去).................................................1分

当4&S7时,S^APR=-APXOC=2(7-r)=8,t=3(舍去);---------1分

2

，当，=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8：

②存在.

当0V匹4时，直线/与A8相交于。，•.,一*次函数y=一1+7与x轴交于B(7,0)点，与y

轴交于N(0,7)点，:,NO=OB,；・/OBN=/ONB=45。.

•.•直线/〃)，轴，：.RQ=RB=t.AM=BM=4/.QB=,AQ=4^2------------1分

・：RB=OP=QR=t,：.PQ//OR,PQ=OR=7-t----------------------1分

•.•以4、l\Q为顶点的三角形是等腰三角形，且QP=Qb

.\7-/=4V2-V2/,t=i-3V2(舍去)....................-.........1分

当4VMz时，直线/与OA相交于。，

若QP=Q1,贝h—4+2(r-4)=3,解得f=5：-------------------------1分

・•・当仁5,存在以人、P、。为顶点的三角形是PQ=A。矽等腰三角形.

已知边长为1的正方形48CO中，P是对角线AC上的一个动点（与点八、。不重合），

过点P作PEJ.PB,PE交射线。。于点E,过点E作月凡LAC,垂足为点F.

（1）当点E落在线段CO上时（如图10）,

①求证：PR=PE；

②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变更？若不变，试求出这个不变的值,

若变更，试说明理由：

（2）当点E落在线段。。的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并推断

上述（1）中的结论是否仍旧成立（只需写出结论，不须要证明）；

（3）在点P的运动过程中，/PEC能否为等腰三角形？假如能，试求出AP的长，假如

不能，试说明理由.

27.（1）①证：过户作MN1A8,交AB于点M,交CO于点N

•・•正方形ABCD,:.PM;AM,MN=AB,

从而MB=PN.............................................（2分）

△PM8空△PNE,从而PB=PE..............（2分）

②解：Pr的长度不会发生变更，

设O为AC中点，联结PO,

•・,正方形ABCD,...BO1AC,..............（1分）

从而NPBO=NEPF,..............................（1分）

A△POBWAPEF,从而PF=BO=叵..............（2分）

2

（2）图略，上述（1）中的结论仍旧成立；........（1分）（1分）

（3）当点E落在线段C。上时，/PEC是钝角,

从而要使zJPEC为等腰三角形，只能EP=EC,..............（1分）

这时,PF=FC,M=AC=&,点P与点A重合,与已知不符。……（1分）

当点E落在线段。。的延长线上时，NPCE是钝角，

从而要使/PEC为等腰三角形,只能CP=CE,..............（I分）

设人P=x，贝Ij/C-Vi-X，CF=PF-PC=x-—f

2

又CE=MCF,：•亚_x=Ex-率，解得产1...............（1分）

综上，AP=1时，/PEC为等腰三角形

27.解：（I）AF+CE=EF....................................................................................（1分）

在正方形ABC。中，CQ=A。，ZADC=90°,

即得ZADF+ZEDC=90°.............................................................（1分）

'：AF±EF,CELEF,AZAFD=ZDEC=90°.

:*ZADF+ZDAF=9（）0.

：・/DAF=/EDC.

又由4。=。。，NAFD=/DEC,得AADF丝ADCE...................（1分）

：.DF=CE,AF=DE.

：.AF+CE=EF.................................................................................（1分）

（2）由（1）的证明，可知△ADb金△DCE.

:.DF=CE,AF=DE.........................................................................（1分）

由CE=x,AF=y,得。E=y.

于是，在Rl^CDE中，CD=2,利用勾股定理，得

CE2+DE2=CD2,即得x2+y2=4.

y=>/4-x2....................................................................................（1分）

・••所求函数解析式为y=j4-Y,函数定义域为0vx<&.……（1分）

（3）当x=1时，得）1=\JA-X2=y/4-l=\/3............................................（1分）

即得DE=6.

又,：DF=CE=l,EF=DE-DF,:.EF=6-\.......................（1分）

25.已知：梯形A8CO中，AB//CD,BCLAB,AB=AD,联结8。（如图1）.点P沿梯形的

边，从点A—CfOfA移动，设点P移动的距离为x,BP=y.

（1）求证：ZA=2ZCfiD：

（2）当点P从点A移动到点。时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示.试求

CO的长：

（3）在（2）的状况下，点P从点AfCf力fA移动的过程中，ZiBOP是否可

能为等腰三角形？若能，忌求出全部能使△8OP为等腰三角形的x的取值；若不能,

请说明理由.

四、25.(1)证明：VAB=AD,AZADB=ZABD,...................................................1分

又•.•NA+NABD+NADB=180°,

/.ZA=180o-ZABD-ZADB=1800-2ZABD=2(90°-ZABD)--------1分

VBC1AB,.*.ZABD+ZCBD=90°,即NCBD=9D°-ZABD--------1分

.*.ZA=2ZCBD--..............................................................................................1分

(2)解：由点M(0,5)得AB=5,................................................-..............................1分

由点Q点的横坐标是8,得AB+BC=8时，・・・BC=3-------------------------1分

作DH_LAB于H,VAD=5,DH=BC=3,；・AH=4,

VAH=AB-DC,/.DC=AB-AH=5-4=1........................................................1分

(3)解：状况一：点P在AB边上，作DH_LAB,当PH=BH时，ZkBDP是等腰三角

形，此时，PH=BH=DC=1,.\x=AB-AP=5-2=3............................-I分

状况二：点P在BC边上，当DP=BP时4BDP是等腰三角形，

此时，BP=x-5,CP=8-x」・•在RtZkDCP中，CD2+CP2=DP2,

on

EP1+(8-X)2=(X-5)2,/.X=—...............................................1分

3

状况三：点P在CD边上时，4BDP不行能力等腰三角形

状况四：点P在AD边上，有三种状况

1°作BK_LAD,当DK=PiK时，ABDP为等腰三角形，

此时，,.,AB=AD.AZADB=ZABD,又〈AB〃DC,.\NCDB=NABD

:.ZADB=ZCDB,.\ZKBD=ZCBD,AKD=CD=I,:.DPi=2DK=2

/.x=AB+BC+CD+DPi=5+3+1+2=11...................-.............................1分

2°当DP2=DB时△BDP为等腰三角形，

此时，X=AB+BC+CD+DP2=9+Vio-------------------------------------1分

3°当点P与点A重合时4BDP为等腰三角形,

此时x=0或14（注：只写一个就算对）.....................1分

28、如图，直角梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,AM=MB=4,AO=5,

BC=11,点尸在线段3c上，点P与B、。不重合，设=AMP。的面积为)，

(1)求梯形4AC。的面积

(2)写出)，与x的函数关系式，并指出x的取值范围

⑶X为何值时，S&WPD=-S梯形A8co

4

范

和

26.直角梯形4HC7）中，AB〃DC,ZD=90°,AD=CD=4fZ«=45°，点E为直线OC

上一点，联接AE,作E/LLAE交直线C8于点尸.

（1）若点E为线段QC上一点（与点。、C不重合），（如图1所示），

①求证：NDAE=/CEF；

②求证：AE=EF:

（2）联接A尸，若△AEF的面积为：17，求线段CE的长（干脆写出结果，不须要过程）.

AB

（第26题备用图）

解：(I)\'EFA.AE

：,ZDEA+ZCEF=9^

'：/。=90°

•••NOE4+NOAE=90°

:・NDAE=NCEF..........................................................I

(2)在DA上截取DG=DE,联接EG,..................................1

'：AD=CD

.,.AG=CE

VZ/?=90°

；.NDGE=45°

Z.*\GE=135°

,:AB〃DC,N8=45°

，NECF=135°

:.NAGE=/ECF

ZDAE=ZCEF

:.MGE^AECF-2

：.AE=EF…]

⑶求出CE=3

求出CE=52

27.已知：如图，矩形纸片A8c。的边AO=3,CQ=2,点，是边上的一个动点（不与

点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点8落在点/＞的位置上，折痕交边4。与点M,折痕

交边3c于点N.

（1）写出图中的全等三角形.设CP=x,AM=y,写出y与x的函数关系式：

（2）试推断N8MP是否可能等于90,.假如可能，恳求出此时CP的长：假如不行能，请

说明理由.

（第27题图）

27.(1)zJMBN之/MPN.............................................1

■:/MBNg/VPN

:.MB2=MP2

•・•矩形ABCD

，AD=CD(矩形的对边相等)

.・.NA=ND=90。(矩形四个内角都是直角).........................

AD=3,CD=2,CP=x.AM=y

...DP=2-x,MD=3-y.............................................1

Rt/ABM中，

MB2=AM2+AB2=y2+4

同理MP2=MD2+PD2=(3->)2+(2-X)2..............................................1

222

y+4=(3-y)+(2-x).............................................1

・x2-4x+9..............................................

••V=---------1

6

(3)ADMP-9()°.............................................1

当NBMP=900时，

可证=ADVP.............................................I

AM=CP,AB=DM

2=3—y,j=1.............................................1

1=2-x,x=1.............................................1

・•・当CM=1时，ZBMP=90°

6.如图，等腰梯形48C。中，AB=4,CO=9,ZC=60°,动点P从点。动身沿C。方向向

点/)运动，动点Q同时以相同速度从点/)动身沿0A方向向终点A运动，其中•个动

点到达端点忖，另一个动点也随之停止运动.

(1)求4。的长：

(2)设CP=x,△刊R的面积为y,求出y与x的函数解析式，并求出函数的定义域：

(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M,

并求出的长：不存在，请说明理由.

6、（1）AD=5

⑵V329百（0VXW5）

y=----x+----x

-44

（3）BM=0.5

26.已知：如图，梯形人BCD中，AD//BC,ZA=90\ZC=45°,AB=AD=4.E是

直线4加上一点，联结K石，过点石作所J.BE交直线CD于点尸.联结B尸.

（I）若点E是线段A。上一点（与点A、。不重合），（如图I所示）

①求证：BE=EF.

②设。£=x,产的面积为），，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域.

（2）直线力。上是否存在一点E,使所是△A8E面积的3倍，若存在，干脆写出OE

的长，若不存在，请说明理由.

BC

（第26题备用图）

26.⑴①

证明：在A4上截取AG=AE,联结EG.

:.ZAGE=ZAEG.

又•••NA=90°,NA+NAGE+N4EG=180°.

••・NAGE=45°.

・・・N3GE=135°.

■:AD//BC.

r.ZC+ZD=180°.

又・.・NC=45°.

.*.ZD=I35°.

"BGE=/D....................................................................................................1分

VAB=AD,AG=AE.

；,BG=DE.............................................................................................................1

分

,/EFLBE.

麻尸=90°.

又•••NA+NA8E+NAE8=18(T,

ZAEB+ZBEF+ZDEF=180°,

NA=90°.

工/ABE=/DEF...............................................................................................1分

:.△BGE/4EDF...............................................................................................1分

:.BE=EF.

⑴②

y关于x的函数解析式为：y=厂一竽32.........................................................

分

此函数的定义域为：0vxv4....................................................................1

分

（2）存在...........................................................1分

［当点E在线段人。上时，DE=-2七2亚（负值舍去）.................1分

II当点£在线段AD延长线上时，OE二2±2石（负值舍去）.............1分

III当点E在线段D4廷长线上时,DE=1O±2V5..............................................1分

・..OE的长为2石一2、2石+2或10±2后.

26.如图，在直角梯形COA8中，CB//OA,以0为原点建立直角坐标系，A、。的坐

标分别为A(10,0)、C(0.8),CB=4,。为OA中点，动点P自A点动身沿1~8­。一。的

线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为/秒.

(1)求八8的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时/的值，并指出此时点P在

哪条边上；

(2)动点P在从A到〃的移动过程中，设/APD的面积为S,试写出S与，的函数关

系式，并指出f的取值范围；

(3)几秒后线段P。将梯形COA8的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标.

第26题图

26.(I)点3坐标为(4,8)

)2(2

/4«=7(10-4+0-81=101分

10+10+4+8

由，得分

5+/=丁1=111

此时点P在。6上1分

(2)证法一：作。尸_L4B于凡BELOATE,DHLAB于H,

则BE=OC=8

VOABE=ABOF,AOF=BE=8,DH=4................1分

.・.S=lx4xr=2/(OWtWlO)..............1分

2

证法二・.•沁二丝，=........i分

S„ABlx5x810

2

即S=2t(OWtWlO)..............I分

（3）点F只能在"或。。上,

（i）当点P在A8上时，设点P的坐标为J,y）

iCOAH

\

得一x5x），=14,得产一

2-5

由2/=14,得曰.

(2八~29

由(10-x)-+—=49,得x=M

、5，

43

即在7秒时有点q（5M,5W）；.............................................]分

（ii）当点。在OC上时，设点。的坐标为（0,y）

由S〉OPD=WS梯形C0A8

]28

得一x5xy=14,得产一

2-5

此时―14+（8-竺）=162.

55

23

即在16M秒时，畲点心（0,5g）..............................................1分

4323

故在7秒时有点6（5W,5彳）、在16一秒时，有点8（0,5?使P。将梯形C0A8的面积分

5555

成1:3的两部分..........................1分

五、(本大题只有1题，第(1)(2)每小题4分，第(3)小题2分，满分10分)

26.菱形A8CZ)中，点、E、尸分别在8C、边上，且NE4尸=NB.

(1)假如NB=60。，求证：A£=A尸：

(2)假如NB=a,(0。<0<90。)(1)中的结论：是否依旧成立，请说明理由；

(3)假如A8长为5,菱形48CD面积为20,设=AE=y,求y关于x的函数解析

式，并写出定义域.

26.（1）联结对角线AC,................................................................（1分）

在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA,4=ND=60。，

:•△ABC和△ACO都是等边三角形，........................（1分）

：.AB=AC,ZE4C=60°,ZACD=60°.

,:ZEAF=60°,:.ZFAC=60°-AEAC.

又「44石=60。-NE4C,AZFAC=ZBAE...........................（1分）

又•••NB=NAC£）,AB=AC,

/.△ABE^AACF,AAE=AF.................................................（1分）

（2）过点A点作AG_LBC,作垂足分别为G,H,……（1分）

则AG=/l”.

在菱形ABCD中，AB//CD,：.^EAF=ZB=180°-ZC,

又「NGA〃=360。-NAGC-N/V/C-NC=180°-NC,

:.NGAH=ZEAF.........................................................................（1分）

:./GAE=/HAF.........................................................................（1分）

又丁ZAGE=ZA〃〜，AC=AH,

:.XAGE9XAHF、：.AE=AF.................................................（1分）

（3）作法同（2）,由面积公式可得，AG=4,

在RtZXAGB中，BG”+AG，=AB,，:,BG=3,EG=\x-3\,

在RlZXAGE中，AG2+EG2=AE2,EP42+（x-3）2=j2.

y=々-6x+25（l<x<5）.....................................................（2分）

25.（本题满分8分，第（1）小题2分；第（2）小题各3分；第（3）小题3分）

已知：如图7.四边形A8CZ）是菱形，AB=6,N8=NM4N=60°.绕顶点A逆时

针旋转NM4N,边AW与射线8c相交于点E（点后与点8不重合），边AN与射线CO

相交于点F.

（1）当点E在线段8。上时，求证：BE=CF：

（2）设ZXAO”的面积为），.当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数

关系式，写出函数的定义域;

F、。为顶点的四边形是平行四边形，求线段8E的

（备用图）

25.解：（1）联结AC（如图1）.

由四边形A8C。是菱形，N8=6(尸，易得：

BA=BC,NBAC=NDAC=3,

ZACB=ZACD=60°.

：./XABC是等边三角形.

:.AB=AC....................1分

又:NBAE+NMAC=609,

ZC4F+ZMAC=6()°,

NBAE=NCAF.......1分

在△ABE和AAC/中，

VZBAE=ZCAF,AB=AC,/B=ZACF,

/.(A.S.A).

:.BE=CF........................1分

(2)过点A作A”_LCD,垂足为"(如图2)

在中，/。=60°,Zm/¥=90°-60°=30°,

/.DH=-AD=-x6=3.

22

AH7Abi-DH2=162-32=3行............1分

又CF—BE-x,DF-6-x,

即y=--X+9A/3(0<X<6).……2分

2

(3)如图3,联结30,易赛ZADB=-^ADC=30°.

2

当四边形3OE4是平行四边形时，AF//BD.

：.ZFAD=ZADC=3^....................1分

工ZmE=6O°-3O°=3O°,Z^F=120°-30o=90°.

在RlZ\ABE中，N3=60°,NBEA=3伊,AB=6.

易得：BE=2AB=2x6=l2.1分

B

（第25题图3）

F.

M

-得分评卷］27,已知：如图，在正方形中，48=4,£为边8c延长线上一点，

---------------联结。£BFrDE,垂足为点兄"与边8相交于点G,联结EG.设

JCE=x.

一⑴求ZCEG的度数；

(2)当8G=26时，求/V1EG的面积；

(3)如果与8c相交于点M,四边形

4WCO的面积为/求y关于x的函数解析式，井写出

它的定义域.

(«27flS)

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27.解：(1)在正方形ABC。中，BC=CD,/BCD=NDCE=90。..........(1分)

•:BFA.DE,：.ZGFD=90°.

即得NBGC=/DEC,ZGAC=ZEDC....................(1分)

在^DCE中,

NGBC=/EDC,

BC=DC,

NBGC=NEDC.

△BCG^^DCE(A.S.A).......................(1分)

:.GC=EC.

即得ZCEG=45°.....................................(1分)

(2)在RtZiBCG中，BC=4,BG=2年,

利用勾股定理，得CG=2.

.CE=2,DG=2,即得BE=6........................(1分)

—

,,SAA£G=S四边税\砥/jSSABE~S&AOG~SSDUJG

=­(4+6)x4--x6x4--x2x4--x2x2

2222

=2...........................................(2分)

(3)由AMI",BFA.DE,易得AMHDE.

于是，由ADUBC,可知四边形AMEO是平行四边形.

，A/)=ME=4.

由CE=x,得MC=4-x.

：.y=5t#mw.z,=1(-4Z)+/WC)CZ)=1(4+4-^)x4=-2x+16.

即j=-2x+16.,（2分）

定义域为0vxW4.（1分）

25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A（2,0）,/>是函数y=x（x>0）图像上一点，PQ

J_AP交），轴正半轴于点。（如图）.

（I）试证明：AP=PQ；

（2）设点P的横坐标为“，点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系式是:

2

<3）当SMOQ=§SMPQ时，求点P的坐标.

25、证：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为“、T,

•・•点P在函数y=x（x>0）的图像上，

:.PH=PT,PHIPT,------------------------------------------------------（1分）

又•.,AP_LPQ,

:./APH=NQPT,又4PHA=/PTQ,

.•・/?”人金/尸丁。，--------------------------------------（1分）

：,AP=PQ.------------------------------------------------------------------（1分）

（2）b=2a-2.----------------------------------------------------------------（2分）

（3）由（1）、（2）知，S^OQ=^OAxOQ=2a-2,

50丝二；4尸2=a2-2a+2,------------（1分）

—2=——2a+2）,

解得a=-----------------------------------------------------------（1分）

2

所以点「的坐标可丁,5丁卜七号+2勺•一0分）

25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A（2,0）,/>是函数y=x（x>0）图像上一点，PQ

J_AP交），轴正半轴于点。（如图）.

（I）试证明：AP=PQ；

（2）设点P的横坐标为“，点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系式是:

2

<3）当SMOQ=§SMPQ时，求点P的坐标.

25、证:（1）过。作x轴、y轴的垂线，垂足分别为，、T,

•.•点P在函数）：=x（X>0）的图像上，

:.PH;PT,PH1PT,.....（1分）

又•••AP1P。，

AZAPH=/QPT,又NPH4=ZPTQ,

^PHA^^PTQ,------------------------------------（I分）

：.AP=PQ.........................................（1分）

（2）〃=2a—2.---------------------------------------（2分）

（3）由（