线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章

3.如果排列X/2…当是奇排列,则排列居叫7…再的奇偶性如何?

解：排列X/1…占可以通过对排列为马…Z经过(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=〃(7)

次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当如六为偶数时，排列X“X“T…匹为

奇排列，当&m■为奇数时，排列…玉为偶排列。

2

4.写出4阶行列式的展开式中含元素a”且带负号的项.

解：含元素q3的乘积项共有(一1)&3。22。31。44，(-1)'。13。22434。41，(一1)%13。2口32〃44，

(-1)'《3生1。34。42，(-1)'%3。24。32〃41，(-1)'〃[3见必陷42六项，各项列标排列的逆序数分别

为z=7(3214)=3,2二43241)=4,/=r(3124)=2,/=r(3142)=3,Z=r(3421)=5,

t=r(3412)=4,故所求为-1%%。31a抬，一皿3%臼4。42，-1%3。24〃32"。

0…010

0…200

5.按照行列式的定义，求行列式•••••••••••••••的值.

n-1…000

0…00n

解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有(-1)'&,一任.,T…。1]见”，

其中/=汇[(〃-1)(〃-2)-21//]=("1)5一2),故行列式的值等于：

2

2xx12

1x1-1

6.根据行列式定义，分别写出行列式的展开式中含一的项和含X3的项.

32x1

111X

解：展开式含一的乘积项为(-1)'〃“〃22〃33〃44=(一1)。2-X-XX=2X

含X3的乘积项为(-1)'2M33%4=(-1)G•1•X•X=-*

8.利用行列式的性质计算下列行列式:

234111111

与-州

23414+10234112

解：(1)1104-37]10

341o外+(々+为+口)3412)1-1

…i

42341230-31-1

11111111

r.+012012-1=10xlxlx(-4)x(-4)=160

410i+W

00o00-4

004000

2141124111241

3-121-13213562

⑵…i二0（第二行与第

123221323-3-50

2

5062\0562D562

四行相同）

aabb211111

与一叫

⑶2aa+b2b田3a+b2b)b-a2b-2a

f2-2s

11abb23ab-ah2-a2

1+x111xx001100

I1-x11-x11I1-x11

(4)=x

I11+X1LG（）0XX)011

1111-x111—x1111-x

123

567

9.若=0,求x.

00x

004

1231500

56760015X4

解:转置x-4(5x72)

00x一7x42635

004835

12

即有:-4(5x-12)=0=>x=—

5

11.利用行列式按行或列展开的方法计算卜冽行列式:

解：（2）

二(1一〃)[(1一〃)。,+=(1—〃+〃2)。+一,其中:

\-aa

=(\-a)2+a=l-a+a2,〃=|1-1=1.带入上式即可。

3=-11-

bed

bda

12.设4阶行列式=求44+^24+/34+444,

bca

bdc

ahc\

cbd\

解：显然，行列式按第四列展开,即得Au+A24+/34+A44O注意到该行列

dbc\

ahd\

式的第四列与第一列元素成比例，其值为0,故44+44+44+/44=0・

Zvj+x2+x3=0

14.当4、〃取何值时，齐次线性方程组（+-+x3=0

x}+2/2+x3=0

有非零解？

11Z-1

1-2〃

解：当系数行列式。二/J1=0=-//(2-1)=0

一〃

12〃11

时，齐次线性方程组有非零解，于是要求4=1或〃=0

15.计算下列行列式:

111­­•1

01+Q[11

011+%…1（加边法）

••♦•・•♦・

011…1+

1+^J-11•••1

111•••1

-1a,10…0

0a,10…01

——10a、…0=（第二列的一倍……第〃+1列

00a­■•0

•••♦♦・♦♦♦2%

•••♦・♦

-100…cin

000•••an

〃1

的」-倍都加到第一列）按第一列展开（i+£—…%

an=曰a,

xy0•••00

xy0y0…0

0xy•­•00

（）

0xx✓y­­•0

..............按第一■列展开工x+小㈠产

・・・・・・

00

X00•••y

y0

3

(2)(1,2,3)2=(lx3+2x2+3xl)=(10)

2r2x(-1)2x2]4

⑶1(-1,2)=1x(-1)1x22

13x(-1)3x2,6

’131

1400-12，68]

(4)

<1一1341-3<20一6,

<40-2J

“J

“13

⑸%2a23%

4

'121103252、

■)

010012-101-4

(6)

00200-2300-43

、00051000-31000-%

3.求，，其中〃

〃=2时，A

〃=3时，A

设〃=%时,

1n0

故：由数学归纳法知,对任意的自然数〃，有4"二010

001

4.矩阵A称为反对称矩阵，若力=_彳/。已知A为〃阶反对称矩阵，B为为〃阶对称矩阵,

试问BA-AB是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。

答：BA-AB是一个对称矩阵。证明如下：

因为：(BA-AB)，=(BA)T-(AB)r=ATBT-BTAT=(--B(-A)=BA-AB

所以：BA-AB是对称矩阵。

5（部分原题,部分类似题）.求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）:

12

(\2、cos。-sin。、

⑴⑵⑶34-2

25,sin0COS0J

15-4

%00

00

⑷（〃以2…。产⑴

(00

解：⑴•••M=lw0,故/t存在

(

A~'=，3"二5-2

PI「21

(2)・・・|川二1工0,故4T存在

(3)•/»|二2工0,故/T存在

4=-44=2,4二°

413=一32,423=14,，33=一2

110

（4）由对角矩阵的性质知力7

01

6（部分原题，部分类似题）.解下列矩阵方程:

<25]r4420，31、

⑴%=⑶X

3)<22-11、0~\)

21-1

7-13、

⑵X210(4)

132)

r010、(\00、-43

100X00120-1

<00b11-20

<25Y74-6、3-5V42-23、

解:WX=

V(2>;-12208,

-i

、（2-1

]-13、

⑵X=20

、432J

J1

101、r-221]

11-13)

-23-2_82

3143)5

2-33°,<-33>

「14、，320Y'123110

⑶丫二

㈠2,<0-1b1211i八o-iJU2

r11

1660、

12302）0

<4

010、1-430OY,

(4)%=10020-1001

(00L1-20八010;

7.设4=0（A为正整数），证明（七一/）'E+4+T+…+T-（请注意证明过程

的逻辑性要正确）

证明：由于力无=0,于是有

两端同时右乘（E-4）T得

111]、

11-1-1

8.设矩阵/二;（1）求42；（2）证明矩阵A可逆，并求出4"；（3）

1-11-1

1-1-1

求（/厂解:

1、，4000、

-10400

-10040

1J10004,

4000

400,,

（2）因为卜词.|旬二0二4"工0,所以，力工0,故A可逆。

04011

0004

又因为

-4000、4/41/41/41/4)

0400AA1/41/4-1/4-1/4

A2==4E;即力—=E/故/=—=

0040441/4-1/41/4-1/4

k0004,j/4-1/4-1/41/4,

(3)/>=>忸=16E；

/娟"Q丁=/=?,,(/尸=也

9（本题为类似题）.设方阵/满足才一/一2£二°,证明/及4+2E都可逆，并求

及（4+2E）二

证明：由，一力一2月二。得/2一%二2后

于是|才-力|=2,^\A\\A-E\=2,故|/艮0,所以力可逆;

又由42—4—2E=O得/+2E=42

于是M+2©=，卜/270,故4+2E也可逆.

由

A2-A-2E=O->A(A-E)=2EfA-]A(A-E)=2A-XEfA-1=一K)；

又由

42—4-2£=。=>(4+2£)4—3(4+2£)=-4七=(4+2石)(4一3七)=一4£

n(A+2E)-\A+2E)(A-3E)=-4(4+2E)-1n(4+2七尸=-(3E-A).

4

10.利用逆矩阵解下列线性方程组（注：第一题的方程次序不同，但方程组是同一个方程,

请注意用逆矩阵解法，不可以用消元法）：

+2X2+3X3=1,x(-x2-=2,

⑴2x}+2X2+5xy=2,⑵2再-JV2-3X3=1,

3x)+5X2+x3=3;3x)+2X2-5X3=0.

r123、

解：（1）方程组矩阵表示形式为225“2

<35b6

记方程组为：Ax=b,则三=力一力，

12311Floo1

又,「(4勾=225

2—0100

3513J[0010

3、川(1、々二1

52=0,所以有<&=0

<3>。4二0

（\

（2）方程组矩阵表示形式为2

记方程组为：Ax=b,则与=力一3,

1-1-121005

又•:(45)=

2-1-31J0100

32-500013

司二5

从而有<x2=0

七=3

'03

11.设4=11.（注：请注意矩阵的左乘与右乘的单边性,

C2

不可搞乱）

及解：由48=4+23可得（/-2E）8=4,故

又

433033100033

•・・[(/-2£),4]=1-10110010-213

-121-123001110

033、

故：B=(A-2E)7A=-123

110；

120

12.设A和X满足XA-¥E=A2-X,其中4=340求矩阵X

567

解：由£4+七=力2-x得X(力+E)=42-E

220

又由于A+E=350,所以|力+q=32/0,故A+E是可逆矩阵。

568

020

从而有：X=(A2-E\A+EY=(J-E\A+E\A+EY=(A-E)=330

566

12.(本题是第12题的类似题，请注意区别解法的不一样，再次提醒注意矩阵左乘和右乘

」or

的区别，不可随意左乘和右乘).设力二020,且4B+E=A?+B,求B.

1101>

解：由+E=+8得(/一E)8=/2—£

’001、

由于/-E=010,于是|力-同=-1/0,故力一£可逆.所以

Jooj

13.设m次多项式/(r)=〃o4•〃/+〃2N+…+%/,其中〃0工0,记

n

f(A)=+…+anA,则/(4)为矩阵A的设m次多项式。

(1)若/(4)=0;证明矩阵A可逆，并求出4"；

(2)设A=Pe；证明：Ak=PNP-'；八A)=Pf(A)P”；

2n

解：(1)・・・/(4)=0；.•.有a0E+a.A+a.AatlA=0

=4可逆，且A~'E+A+A2+…+

(2)vA=P\P~]；

有A*=(PAP-1y=(PAP-1\p\p-])•--(PAP-1)=P\kP-1

♦个括.相乘

而f(A)=a.E+外4+%力2+…+Q〃4〃

14.设矩阵A的伴随矩阵是4、证明:

(1)若|*=0；则|/|二。；

⑵-1

证明：(1)用反证法证明.假设|/卜0则有/(4尸二£

又由于44*=:忸

所以以=4E=AA^Ay1=|/忸(才尸=0・£(/尸=0

.•.4=0,这与卜*卜0矛盾

故当|旬二0时，有|/|=0.

由于4t=」才，

⑵则44*=|/忸,于是\A\Z=|4

若何工0则以［=»「|；若M=O,则由⑴知M|=o,此时命题也成立.故有

⑷*r

4A

15.设矩阵A二个72,其中&是〃,x〃矩阵，证明矩阵A可逆的充要条件是：

U刀22

4”力22均可逆。并求广：

'AA

证明：因为A=2,其中4是劣X力矩阵，

所以：|川=|4小区2|，故M』Oo|4i|uO且M/wO。即矩阵A可逆的充

要条件是：41，122均可逆。

设岸其中X,是〃jX%.矩阵；且AX=E；则

41X”+力12占14lX[2+彳12丫22

AX=人］1'“占2］」4=E

o心」|_八七」一［力22、21422八

解得:

A-1占24：-4%困

即：o蜀

0A

16.设n阶矩阵A及s阶矩阵B均可逆，求

B0

解:因为：设n阶矩阵A及s阶矩阵B均可逆;所以：4"及4।均存在。设

X=71蓼2，其中X”是SXS方阵；X）,是〃X〃方阵；且

%AX

。=E；即22=E,显然可取:

BOj|_%

21BXinBXn

,故

y21=j-'；yI2=^-；y1I=A^22=0,

oAT]_[o

B01-JA-}0

17.已知A,B为三阶对称矩阵,且满足24T8=8-4£;其中E为三阶单位矩阵。

证明：（1）矩阵A-2E可逆，并求出（/一2七/

-1-20-

（2）若矩阵8=120,求矩阵A。

002_

证明：（1）又•:24-B=B-4E;

」.A可逆，二边同时左乘A知：23=48-44;

=（/一2E）可逆，且（/一2E）-1=-

4

又「A,B为三阶对称矩阵；Ar=A,Br=B；而且又已知

2A“B=B—4E;

即：…三。故（4—2£）T=与卢

1-20-3-20

(2)B=120，二.3-4E=1-20

00200-2

-20-20

故(4—2E)T=if-20=>(A-2E)=S1-20

800-200-2

,110

10044

3

0100

-8

n+2r200I8

00

2

10

44-220

_3

故：(A—2E)=80-1-30

8~8

00-4

00

2

说明：本题解题切记要用上对称矩阵的概念和性质,多余的结论不用证明，只做题目

要求的内容。如B可逆是不必要在此提出的。

18.设矩阵X满足4X=/T%+2X,其中

11

A=-11

1

11-11

解：:A=-111;B=10；A^X=A-]B+2X

1-110-1

112-22

VHI=-11=4,所以代入上式得:22-2X=B

1-222

2-22

=X=22-2B.

-222

%

lOo%

2-2211%

o1O

2行初等变换,

由于2-210o-x

%。

-2220-1O1

%

_

21

%1

;

---

所以二4

x%O

一

101

19.设三阶矩阵A,B满足A2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵，A=020

-201

求|B|。

解：・.•A°B-A-B=E；

[A1-E)B=A^Ei

又

A2-E

101101100-102100-202

020020010040010030

-201-201001-40-1001-40-2

32—同=36W0,所以/2—E是可逆矩阵;

M+EL18J

故|42_q.忸।M+用=忸|=匕

A2-E362

202

20.设A,B均为三阶矩阵，E为三阶单位矩阵，已知AB=2A+B；B=040求

202

(4-4。

解：•;AB=2A+B=>(A-E)B=2A=>(A-E)B=(1A-2E)+2E

001

=（4—£）仍丁）二£；所以（力一E）可逆，巨（力一£尸=”产010

100

习题三

2.设a+夕=(2,3,-1,0,4),a-4=(—6,8,11,1,4),求a,夕.

解：a=；［(2,3,-1,0,4)+(-6,8,11,1,4)］=f-2,p5,J-,4L

2122y/

i(5］、

P--［(2,3,-l,0,4)-(-6,8,l1,1,4)］=4,一-.-6,--,01

3.设3(/-a)+2(%+。)=。3-2a,其中因=(1,2,34),a2=(0,-2,1,-1),

4=(1,0,-2,1),求a.

解：由

3(%-a)+2Q+a)=%-2。

n3%一3。+2a?+2。=a；-2ana=-3al-2a2+ay

4.把向量夕表示为向晟组%,%，%。4的线性组合：

(1)a)=(1,1,1,1),a2=(1,1,1,0),a3=(1,1,0,0),a4=(1,0,0,0)>夕=(0,2,0,7)；

解：设k}ax+k2a2+k3a%+k4a4=p

TT

(2),a2=(1,2,1,3,1),4=(l,l,0,l,0)T,a.,=(2,2,0,0,0),

p=(0,l,0,l,0)T.

解：设匕a+k2a2+ka+k4a4=0

5.设外,%，…，％是互不相同的数，%=(1吗，。；产“。)，

%=(1,。2，4，…，。片)，……%=(］，明,片,…,"*)♦证明：任一〃维行向量都可由

向量组四,见，…，氏线性表示.

解：设尸二伯,…为任意的〃维行向量，并设占%+&%+…+%〃％,=£，

由此得到一个以尢，鱼，…尤为未知量，〃个方程的线性方程组，其系数行列式为范德蒙

行列式，且不等于0(因为4,外，…,明是互不相同的数)，由克莱姆法则知，该线性方程组

有唯一解，故尸可由四,线性表示，且表示方法唯一。

6.判断卜列向量组的线性相关性：

⑴%二(1,1,0,0)，(x2=(1,0,1,0)，%=(0,0,1,1)，%=(1,0,0,1)；

解设

%*2+&=0匕二0

k.=0

1=>\42二0

勺冈+ka++ka=0=>«\囚,。2，。3，。4线性无

22AA%2+M=0幺=0

&+〃4=°k4=0

关。

TTT

(2)aI=(4,3-1,1-1)，a2=(2,l-3,2-5),a3=(l,-3,O,l,-2),

%=(1,52-2,6)，

解：仿⑴。

(abc、

7.证明：上三角矩阵A=Ode的行向量组线性相关的充要条件是主对角

［。0/>

线上的元素至少有一个为零.

解：矩阵力的行向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组Jbk\+dh=G有非零解,

M+ek2+几=0

。00

而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式。=bd0=adf=O,故

cef

矩阵A的行向量线性相关的充要条件是A的主对角线上的元素至少有一为零。

8.设⑶=%।，Pi=az1f力3=031a4，P\=a41al.证明向量组

四,夕2，自，夕4线性相关・

解：要证明四*2,夕3,凡线性相关，就要找到不全为零的数配攵2M3,右，使得

3+k2fi2+k3fl3+k4fi4=0

上式的左端可写成

kM+k2p2+4凤+kA-&Q+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+%)+%(a4+.)

K+%=o001

4+%,=()1100

令4由于其系数行列式。二八=0,故有非零解。即存在不全

&十43=00110

k3+k4=00011

为零的数4,七，％，&，

使（%]+h）4+（尢+42）氏+（%2+%3）。3+（%3+%4）%=0成立，亦即

k\/3\+k2P2+小凤+左444=°成立,

所以,用血血血线性相关。

9.设向量组%,。2，%线性无关.证明：向量组%+。2，。2+%，%+%也线性无

关.

证明：设左|（%+%）+&（%+%）+%3（。3+，）=°，即

(占+质)四+(/i+0)%+(%2+%3)。3=0，

kx+k3=0k、=0

解得卜2=0，故向量组

因为a},a2,a3线性无关=><仁+质=0

k2+k3=0%3=0

«1+a2,a2十。1线性无关。

1o.判断下列各命题是否正确：

（1）若向量组四,4,…,a”是线性相关的，则向量a可由向量组a,,…，a”线性表

示.（错）

（2）若向量力不能由向量组a,“线性表示，则向量组四。2,…，巴»，可线性

无关.（错）

（3）若k\,k?,…,⑥不全为0时，k}a}+k2a2+•••+kmamwo,则向最组

%,修，…,线性无关.（错）

（4）若向量组%,4，…"〃和向量组夕，尸2,…，瓦分别线性相关，则有不全为。的

数匕，42,…，&.，使得

-4+:%+♦・♦+,%=0，—+知％=0

同时成立.（错）

11.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组:

9123、<1-133、

1-1330123

(1)初等行变换（行阶梯形）=>4的列向量组

2024—0011

、2I-12；<0001?

线性无关,列向量组的极大无关组就是它本身。

’11221、’11221、

0215-10215-1

(2)初等行变换（行阶梯形）n力的

203-1300-22-2

J104一”0000,

列向量组的一个极大无关组为四,%,。3（或者或者等等）

12.求卜.列向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示:

(1)s=(1,2,1,3),a2=(4-1-5,-6),。3=(1,-3,-4,-7)；