2025届高考数学一轮复习第3章导数及其应用14.1导数与函数的单调性课时训练文含解析

PAGEPAGE5【课时训练】导数与函数的单调性一、选择题1．(2024广西钦州一模)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．2．(2024杭州质检)已知定义在R内的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)【答案】C【解析】依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)内是增函数，由a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．3．(2024江苏如皋一模)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)内为增函数，则实数m的取值范围为()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))【答案】D【解析】∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋eq\f(1,x)恒成立．令g(x)＝x＋eq\f(1,x)，g′(x)＝1－eq\f(1,x2)，∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)内单调递增．∴m≤2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).4．(2024河北邯郸模拟)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】D【解析】由于f′(x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)内恒成立．由于k≥eq\f(1,x)，而0<eq\f(1,x)<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．5．(2024保定第一中学期末)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对随意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则f′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以f′(x)>0在R内恒成立．所以F(x)在R内单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.6．(2024湖北武汉调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c＝f(3)，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a【答案】C【解析】依题意得，当x<1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，1)内为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<eq\f(1,2)<1，因此有f(－1)<f(0)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即有f(3)<f(0)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c<a<b.7．(2024惠州调研)已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＜2f(1)的解集为()A．(e，＋∞) B．(0，e)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪(1，e) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))【答案】D【解析】f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(－lnx)＝f(lnx)，所以f(lnx)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＜2f(1)可变形为f(lnx)＜f(1)．f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，因为2＋cosx＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f(lnx)＜f(1)等价于－1＜lnx＜1，所以eq\f(1,e)＜x＜e.故选D.8．(2024重庆一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜f(x)对随意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是()A．f(ln2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)B．f(ln2)＞2f(0)，f(2)＞e2f(0)C．f(ln2)＜2f(0)，f(2)＞e2f(0)D．f(ln2)＞2f(0)，f(2)<e2f(0)【答案】A【解析】令g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)＜0，故g(x)在R上递减，而ln2＞0,2＞0，故g(ln2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即eq\f(fln2,2)＜eq\f(f0,1)，eq\f(f2,e2)＜eq\f(f0,1)，即f(ln2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)．故选A.9．(2024山东烟台模拟)已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋eq\f(fx,x)＞0，则对于随意的a，b∈(0，＋∞)，当a＞b时，有()A．af(a)＜bf(b) B．af(a)＞bf(b)C．af(b)＞bf(a) D．af(b)＜bf(a)【答案】B【解析】由f′(x)＋eq\f(fx,x)＞0得eq\f(xf′x＋fx,x)＞0，即eq\f([xfx]′,x)＞0，即[xf(x)]′x>0.因为x＞0，所以[xf(x)]′＞0，即函数y＝xf(x)为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a＞b，得af(a)＞bf(b)．故选B.二、填空题10．(2024长春调研)已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．【答案】(－eq\r(2)，eq\r(2))【解析】因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－eq\r(2)<x<eq\r(2).所以函数f(x)的单调递增区间为(－eq\r(2)，eq\r(2))．11．(2024西安质量检测)已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．【答案】(0,1)∪(2,3)【解析】由题意，知f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝－eq\f(x－1x－3,x)，由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.12．(2024武汉模拟)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)内为递减函数，则m的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】由f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c，得f′(x)＝eq\f(2,x)＋2x－5，又函数f(x)在区间(m，m＋1)内为递减函数，∴f′(x)≤0在(m，m＋1)内恒成立．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋2m－5≤0，,\f(2,m＋1)＋2m＋1－5≤0，))解得eq\f(1,2)≤m≤1.13．(2024石家庄质检)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)【解析】令g(x)＝eq\f(fx,x)，则g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)内单调递增．又g(－x)＝eq\f(f－x,－x)＝eq\f(－fx,－x)＝eq\f(fx,x)＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．则f(x)＝xg(x)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,gx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,gx<0，))解得x>2或－2<x<0，故不等式f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．三、解答题14．(2024南昌模拟)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【解】(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋eq\f(6,x).令x＝1，得f(1)＝16a,f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－