河北省卓恒教育集团2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析）

2026届卓恒教育集团高二年级3月份联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处的切线斜率为（

）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商的导数来求切线斜率即可.【详解】求导得：，当时，切线斜率，故选：A.2.已知首项为1的数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.【详解】依题意，.故选：A.3.已知函数，则（

）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果.【详解】由可得，令可得，解得.故选：C4.用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A.652 B.648 C.504 D.562【答案】B【解析】【分析】应用乘法原理计算求解.【详解】用0，1，…，9十个数字，先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.故选：B.5.若函数在上单调递增，则的最大值为（

）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】由函数在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数转化为求函数的最小值求解即可.【详解】因为，所以，由于在上单调递增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以，故的最大值为，故选：D6.将4个相同的商品放在，，，4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有（）A.18种 B.20种 C.24种 D.120种【答案】A【解析】【分析】先将4个相同的商品分成两个组，再从4个货架上选两个放入这两组商品，利用分步计数原理求解即可.【详解】将4个相同的商品分成两个组有两种不同的分法，即1，3分组或2，2分组，当1，3分组时，因为4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有，当2，2分组时，因4个商品相同，只有一种分法，再从4个货架上选两个放入这两组商品有，故有且仅有2个货架上有商品的放法有.故选：A.7.记为等差数列的前项和，且，，则（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】由等差中项的性质，结合求和公式，可得答案.【详解】由，则，解得或，由，显然，解得.故选：C.8.设函数，若的图象与（为常数）的图象有两个交点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，数形结合，可得，即可求解.【详解】将指数函数的图象向下平移个单位可得到的图象，再将的图象在轴下方的部分翻折到轴上方可得到函数的图象，所以作出函数的图象如下，因为函数的图象与（为常数）的图象有两个交点，所以，所以，即，故选:A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（

）A.该玩具车位移的最大值为110B.该玩具车在内的平均速度为12.5C.该玩具车在时的瞬时速度为30D.该玩具车的速度和时间的关系式是【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函数性质可判断A正确，再由平均速度计算公式可得B错误，根据瞬时速度概念以及导数定义可得CD正确.【详解】根据题意，由可得其导数，对于A，由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，即A正确；对于B，该玩具车在内的平均速度为，因此该玩具车在内的平均速度为，可得B错误；对于C，由可知当时的瞬时速度为，即C正确；对于D，由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，所以D正确.故选：ACD10.已知n是正整数，则（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由排列数和组合数的计算公式可得AC的对错，利用组合数的性质可得BD的对错.【详解】，故A正确；，，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：AB.11.记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（）A. B.可能为常数列C. D.【答案】ABC【解析】【分析】对于A由是正项数列，即即可判断，对于B当时即可判断，对于C利用基本不等式即可判断，对于D即可判断.【详解】因为是正项数列，所以，，所以，故A正确；若，满足，故B正确；，当且仅当，即时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；，即，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________.【答案】3【解析】【分析】由组合数的性质即可求解.【详解】由组合数性质可得或，解得：或，经检验当时，不符合组合数的定义，舍去，故.故答案为3.13.已知某高中信息学竞赛班的甲、乙、丙、丁共4名同学参加了本校自主举办的信息学竞赛的初赛，若最终成绩排名情况为：丙同学不是第1名，甲，乙两名同学的成绩排名相邻，则这4名同学的名次排列情况种数为______.【答案】8【解析】【分析】应用已知条件应用分类加法原理计算求解.【详解】由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻；所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况；丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况；丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况；当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况；所以一共有种情况.故答案为：8.14.设函数仅有两个零点，和一个极大值点，且，则______.【答案】4【解析】【分析】由题意确定是的极小值点，得到，是方程的，结合韦达定理，即可求解.【详解】因函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，又仅有两个零点，，且，因此是的极小值点，易得，即，是方程的二根，有，即，显然，，则，整理得，两边平方得：，因，于是得，即，而，有，所以.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.2025新学期，新气象，光明中学高二某班班主任计划从上学学期期末考试成绩排名靠前的5名男同学和4名女同学中选出5名同学去担任语文、英语、数学、物理、化学的课代表，按照要求回答下列两个问题.（1）求女生不少于男生的安排方法种数；（2）求女生甲不担任数学课代表的安排方法种数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，两类情况求解即可；（2）先从剩下8人中安排一人担任数学课代表，剩下8人选4人全排列即可.【小问1详解】由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，①有4个女生的选法有：种；②有3个女生的选法有：种；不同的安排方法种数有种.【小问2详解】因为女生甲不担任数学课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除数学课代表，再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种.16.已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，由递推关系，即可求解；（2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】设等差数列公差为，，因为成等比数列，所以，所以，解得，因为，所以，所以，当时，，当时上式成立，所以；【小问2详解】，，得证.17.已知曲线与曲线交于，两点．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据交点列式结合对数运算计算求值；（2）先根据交点坐标，参数分离再构造函数，应用导函数得出函数单调性即可求出最小值.【小问1详解】因为曲线与曲线交于两点，所以，化简得，即，所以，因为交点为，，所以或，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，设，所以，当单调递减；当单调递增；所以，所以.18.在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个.（1）求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；（2）求这n个点能确定的直线的条数；（3）若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数.【答案】（1）120（2）63（3）518【解析】【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数.小问1详解】点的横、纵坐标均有4种可能，则，所以所求线段的条数为.【小问2详解】如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条，仅有3点共线的直线有6条，所以这个点能确定的直线的条数为【小问3详解】从这个点中选出3个点，共有种选法.在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为.19.已知函数，.（1）求的最小值；（2）已知曲线和直线交于A，B两点，设坐标原点为O.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，讨论与的大小关系，并说明理由.【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析，理由见解析【解析】【分析】（1）先求导函数，再根据导函数的正负得出函数单调性，进而得出最小值；（2）（ⅰ）分类讨论应用导函数得出函数的单调性结合交点个数计算得证；（ⅱ）应用点的坐标得出，再构造函数，再结合函数的单调性分类讨论证明即可.【小问1详解】单调递增，且，单调递减；x∈0,+∞所以.【小