山东省济南市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

2025年3月月考一、单选题1.已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】根据切线方程斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.【详解】由点处的切线方程是可得：,时，,故,,故选：B2.函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递减D.上单调递增【答案】C【解析】【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断，【详解】时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，显然C正确，其他选项错误.故选：C.3.已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】由题得，则的最小值．，，函数在处的切线方程是：，即.故选：B．4.已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解【详解】由可得，由条件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为4，只需．故选：B5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A.18种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】【分析】把甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，而后将丙、丁进行插空，利用乘法原理即可得出答案.【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法，而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法.故选：B.6.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断出函数的奇偶性，可排除AC，再利用导数得出单调性即可得出结果.【详解】可得的定义域为关于原点对称，且，为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解.【详解】由题意可得，，，令，则，因为当时，单调递增，所以，即，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，又因为且，所以，故选：A8.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（

）A.9种 B.36种 C.64种 D.81种【答案】D【解析】【分析】由分步计数原理求解.【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择，则不同的选择共有种.故选：D.二、多选题9.下列函数求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确．故选：BCD10.已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.方程无解【答案】BC【解析】【分析】利用奇函数及导数的定义，依次分析选项，综合可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，为奇函数，且，则（2），A错误；对于B，为奇函数，且，则（1），则有（1）（2），B正确；对于C，由所给的函数的图象，可得，，则，C正确；对于D，由C的结论，则必定存在，使得，即一定有解，D错误；故选：BC11.已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（）A.函数在定义域上有极小值．B.函数在定义域上单调递增．C.函数的单调递减区间为．D.不等式的解集为．【答案】BC【解析】【分析】令并求导，结合已知可得，进而可得，构造并研究单调性判断A、B；构造、分别研究它们的单调性判断C、D.【详解】令，则，又得：，由得：，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，所以单调递增，所以B正确，A不正确；由且定义域为得：，令，解得，即的单调递减区间为，故C正确．的解集等价于的解集，设，则，当时，，此时，即在上递减，所以，即在上成立，故D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：令，根据已知得，利用导数研究其单调性和极值情况，构造研究单调性，对于D问题转化为判断在上的符号.三、填空题12.已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为______.【答案】##【解析】【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值.【详解】依题意，即，解得.故答案为：13.已知函数在处取得极小值10，则的值为___.【答案】【解析】【分析】题意说明，，由此可求得的值．然后代入检验1是极小值点．【详解】，由题意，解得或，若，，不是极值点，舍去．若时，，当时，，当或时，，是极大值点，是极小值点，满足题意．∴．故答案为：.14.已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示________条不同的直线．【答案】22【解析】【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；当时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．故答案为：22四、解答题15.已知函数的图象在点处的切线为．（1）求函数的解析式;（2）若曲线在点P处的切线与直线垂直，求点P的横坐标．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可；（2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可；【小问1详解】函数，，在点处的切线为，解得，所以【小问2详解】设，则由题可知，即，所以P的横坐标为2．16.有四个数字，（1）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可）【答案】（1）192（2）10（3）2130【解析】【分析】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理可得答案；（2）分个位是0、2两种情况计算可得答案；（3）分千位数字是1、2两种情况计算可得答案.小问1详解】依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，共有个；【小问2详解】当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数；当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数，因此，共有个；【小问3详解】当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个；当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是2130．17.已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.【详解】（1）由题设，，又，，解得，．（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，∴实数的取值范围为．18.已知函数R)．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程；(2)求导，分类讨论可得.【小问1详解】当时，，，，则，所以在处的切线方程为．【小问2详解】，，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为19.已知函数．（1）求的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．（3）若方程有两个不等正根，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值为，无极小值（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值；（2）根据函数在上单调递增，再构造函数即可得出，再求导即可得出最大值求参；（3）把有两个正根得出方程有两个根，构造函数分讨论单调性，结合零点存在定理即可求解.【小问1详解】由题意得，令，得，当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，故时函数取到极大值，极大值为，无极小值；小问2详解】因为在上单调递增，所以恒成立，所以恒成立，设，所以，因为，当单调递增；当单调递增；当单调递减；所以，所以；【小问3详解】由题意与的图象有两个交点，即有两个根，即方程有两个根