山东省烟台市莱阳第一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段测试 数学试题（含解析）

高二数学阶段性检测时间：120分钟满分：150分一､选择题（每小题5分，共8小题40分）1.（）A2 B. C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根据阶乘、排列数以及组合数运算求解.【详解】由题意可知：.故选：A2.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.200 B.225 C.250 D.450【答案】B【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法，所以甲和乙不同的选择方法有种.故选：B3.展开式中第6项二项式系数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据第6项的二项式系数即可求解.【详解】展开式中第6项的二项式系数是，故选：C.4.已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.【详解】由题得，由题知在中，最大值只有，即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.故选：.5.设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可得答案.【详解】解：由题意得，，根据条件概率的公式得：，解得.所以事件发生的概率为.故选：A.【点睛】本题考查条件概率公式，是基础题.6.某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标概率为：，故选：A.7.已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【详解】由题图中的对称轴知：，与(一样)瘦高，而胖矮，所以.故选：C8.已知随机变量，若，则等于（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由二项分布方差公式得，再结合求解即可.【详解】解：因为随机变量，所以，因为，所以，即.故选：B二､多选题（每小题6分，共3小题18分）9.随机变量，且，随机变量，若，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解A，根据二项分布的期望公式即可求解C，进而利用二项分布的概率公式求解B，根据方差的计算性质求解D.【详解】对于A，，且，故A正确；对于C，，，故C正确；对于B，，，故B正确；对于D，，故D错误．故选：ABC.10.一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（）A.若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差B.若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率C.若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望D.若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意有放回摸球时服从二项分布，无放回摸球时服从超几何分布，根据两种不同方式和条件概率判断各个选项；【详解】对于A，若有放回摸球时，摸到红球的概率为，依次摸出3个球，则，所以，A正确；对于B，若有放回摸球时，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，依次摸出3个球，所以摸出是同一种颜色球的概率，B错误；对于C，无放回摸球时，依次摸出3个球，设摸出红色球的个数为，服从超几何分布，的可能取值为0，1，2，3，则则期望，C正确；对于D，若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色时，即黑白、黑红、红白，则摸出的球只有两种不同颜色的概率为，摸出球是2红1白的概率为，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为，D正确；故选：ACD.11.不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（）A. B.C.事件与是互斥事件 D.事件与是相互独立事件【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，故选：.三､填空题（每小题5分，共3小题15分）12.若，则________．【答案】5【解析】【分析】根据组合数的性质来求解的值.【详解】已知，根据组合数性质可得或.

当时，可得.但因为，舍去；当时，解得，则成立，也满足的条件.

故答案为：513.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．【答案】【解析】【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即可．【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜．乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为．所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为．故答案为：．14.5位女生和2位男生站成一排，若2位男生相邻，则不同的排法共有__________．种；若每位女生至少与一位女生相邻，则不同的排法共有__________种．（第一空2分，第二空3分，用数字作答）【答案】①.1440②.2160【解析】【分析】按照捆绑法，以及分类和分步计数原理，即可求解.【详解】若2位男生相邻，则不同的排法共有种；若每位女生至少与一位女生相邻，若5位女生相邻，则排法有种，若2位女生相邻，另外3位女生相邻，则排法有种，综上所述，共有种排法.故答案为：1440；2160四､解答题（第15题13分，第16题15分，第17题17分，第18题17分，第19题15分，共5小题77分）15.设实数满足.（1）求；（2）求；（3）求展开式中含项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知等式，运用赋值法进行求解即可；（2）根据已知等式，结合（1）的结论，运用赋值法进行求解即可；（3）根据二项式的通项公式进行求解即可.【小问1详解】在中，令，得【小问2详解】在中，令，得【小问3详解】二项式的通项公式为，因此展开式中含项的系数为：.16.现有4名男生和3名女生，（1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？（2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？（3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数.【答案】（1）1440（2）1440（3）25【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解；（2）利用插空法，结合排列组合知识求解；（3）利用间接法求解．【小问1详解】由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种.【小问2详解】由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种.【小问3详解】由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种.17.甲､乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（有一方先胜四局即获胜，比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率都是，且各局比赛的结果相互独立.（1）求比赛结束时恰好打了4局的概率；（2）若已知前4局中甲已胜了3局，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）分甲获胜、乙获胜两种情况，由互斥事件的概率加法公式可得答案；（2）求出的所有可能取值及相应概率，根据期望公式计算的答案.【小问1详解】第一种情况：比赛结束时恰好打了4局且甲获胜，则概率为；第二种情况：比赛结束时恰好打了4局且乙获胜，则概率为.所以比赛结束时恰好打了4局的概率为；【小问2详解】依题意得的所有可能取值为，，的分布列为123.18.通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．（1）求该学生为肥胖学生的概率；（2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过全概率公式求解即可得；（2）通过条件概率公式求解即可得．【小问1详解】记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”，“学生为初中生”，“学生为高中生”．则，且，，两两互斥，由题意得，，，，，，则，即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025．【小问2详解】“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，则，所以，即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24.19.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的数学期望和方差．【答案】（1）6（2）分布列见解析（3），【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图计算即可得；（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列即可得；（3）先分析Y服从二项分布，再利用二项分布期望与方程得公式求解即可得．