七年级数学下册章节重点梳理 第7章 一元一次不等式与不等式组【4大考点10大题型】（沪科版2025）

第7章一元一次不等式与不等式组【4大考点10大题型】【沪科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考点1不等式及不等式的基本性质】 1【题型1不等式的概念及意义】 2【题型2利用不等式的性质判断式子的正负】 2【考点2一元一次不等式】 3【题型3不等式与方程组综合求参数的取值范围】 3【题型4一元一次不等式的整数解问题】 3【题型5根据含参数不等式解集的情况求参数】 4【考点3一元一次不等式组】 4【题型6由不等式组的解集求参数】 4【题型7由不等式组的整数解求字母的取值范围】 5【题型8不等式组与方程的综合】 5【考点4不等式（组）的实际应用】 6【题型9利用一元一次不等式解决实际问题】 6【题型10利用一元一次不等式组解决实际问题】 7【考点1不等式及不等式的基本性质】1.不等式及其解集①不等式：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式.②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，都叫做不等式的解③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.④解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.2.不等式的性质不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc.不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc.3.不等式解集的数轴表示为了更清楚、直观地表示出不等式的解集，我们常常利用数轴，在数轴上把解集表示出来，需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心圆点”，不包括端点用“空心圆圈”.4.运用不等式的性质比较大小①作商比较法②求倒数法【题型1不等式的概念及意义】【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是()A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人【变式1-1】（23-24七年级·河北邯郸·期中）式子①x-y=2，②x≤y，③x+y，④x2-3y，⑤x≥0，⑥12x≠3中，属于不等式的有(

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（23-24七年级·安徽宿州·期末）列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天的气温t(℃)的变化范围是．【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为．【题型2利用不等式的性质判断式子的正负】【例2】（23-24七年级·安徽·开学考试）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论A．a−b=3c−b B．C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则2【变式2-1】（23-24七年级·四川眉山·期中）下列说法中正确的是（

）A．若−3x=5，则x=−35 B．若ac=bcC．若a<b，则−3a<−3b D．若m+c2【变式2-2】（23-24七年级·河南漯河·期中）下列四个不等式：（1）ac>bc；（2）−ma<−mb；（3）ac2>bc2；（4）−aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是．【考点2一元一次不等式】1.一元一次不等式概念含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.2.解一元一次不等式的步骤①去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；②去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；③移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；④合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；⑤化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.【题型3不等式与方程组综合求参数的取值范围】【例3】（23-24七年级·江苏扬州·期末）若x=4是关于x的方程kx+b=0(k≠0,b>0)的解，则关于x的不等式k(x−3)+2b>0的解集是（

）A．x>11 B．x<11 C．x>7 D．x<7【变式3-1】（23-24七年级·全国·期中）关于x的方程5k−4x=9+2x的解为非负数，则k的取值范围是．【变式3-2】（23-24七年级·北京·期中）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=7−mx−y=4m−1的解满足x+y≤0，求m【变式3-3】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于x的方程3−kx2＝3+k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有kA．−910 B．−98 C．【题型4一元一次不等式的整数解问题】【例4】（23-24七年级·江苏南通·期中）若关于x的不等式x−m>1的最小整数解是2，则实数m的值可能是（

）A．−1 B．−12 C．0 【变式4-1】（23-24七年级·贵州黔西·期末）若不等式3(x+1)−2⩽4(x−3)+1的最小整数解是方程12x−m=5的解，则m的值为（A．1 B．−11 C．32 D．【变式4-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式a−4x≤0有且只有3个负整数解，则a的取值范围是．【变式4-3】（23-24七年级·全国·单元测试）若不等式3x−m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．【题型5根据含参数不等式解集的情况求参数】【例5】（23-24七年级·广西贵港·阶段练习）关于x的不等式2x−a≤−1的解集如图所示，则a的取值是（

）A．0 B．−3 C．−2 D．−1【变式5-1】（23-24七年级·福建福州·期中）若不等式m−2025x>m−2025的解集为x<1，则m的取值范围是【变式5-2】（23-24七年级·北京·期中）若关于x的不等式x−2m>0的每一个解都能使x−6+m>0成立，则m的取值范围是．【变式5-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m=．【考点3一元一次不等式组】1.一元一次不等式组把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.2.确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种①数轴法：利用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解.②口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”.这种方法容易理解，便于记忆，使用十分方便.【题型6由不等式组的解集求参数】【例6】（23-24七年级·上海嘉定·期中）若不等式组x>m+3x<4m−3无解，则m的取值范围是【变式6-1】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）若关于x的不等式组x−a>42x−b<5的解集是0<x<2，那么a−b的值为【变式6-2】（23-24七年级·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组x−m2<1x−4≤3x−2有解，则实数A．m>−1 B．m≥−1 C．m<−1 D．m≤−1【变式6-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）若关于x的不等式组x>2n+1x>n+2的解集为x>−1，则n的值为【题型7由不等式组的整数解求字母的取值范围】【例7】（2024·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式7-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）关于x的不等式组9x−a≥08x−b<0的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围，b的取值范围是【变式7-2】（23-24七年级·陕西西安·期末）若关于x的不等式x−a+1≥03−2x>0有且仅有3个整数解，则实数a【变式7-3】（23-24七年级·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组3x+2<4x+m43x−1≤13x+3【题型8不等式组与方程的综合】【例8】（23-24七年级·湖北恩施·期末）如果关于y的方程a−1−y3=y−2有非负整数解，且关于x的不等式组4x−a≥0A．−5 B．−8 C．−9 D．【变式8-1】（23-24七年级·重庆铜梁·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组2x−13≤x+2x≥m的解集为x≥−7；且关于y的方程2y−8=m−y【变式8-2】（23-24七年级·全国·期末）若数a使关于x的方程ax+12=−2x3−1有非负数解，且关于yA．−27 B．−20 C．−15 D．−5【变式8-3】（23-24七年级·重庆万州·期末）若关于x的不等式组2x−1>7x−a≤0无解，且关于x的方程ax=3x+2的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（

A．12 B．7 C．5 D．3【考点4不等式（组）的实际应用】列一元一次不等式（组）解应用题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解不等式（组）→检验→答（关键是找不等关系）【题型9利用一元一次不等式解决实际问题】【例9】（23-24七年级·全国·期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是1500元/台，B型号家用净水器进价是3500元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36万元．(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于8.8万元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价−进价）【变式9-1】（23-24七年级·陕西汉中·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？【变式9-2】（23-24七年级·全国·期末）课间活动时，小英、小丽和小华在操场上一起玩投沙包游戏，沙包投到A区域所得分值与投到B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．(1)请求出小华的四次总分；(2)如果小明在看完她们三个的投掷后也加入了这个游戏，并且最终赢得了胜利，请你说出小明投沙包的结果和所得分数．【变式9-3】（23-24七年级·全国·期末）我市某水果生产基地，用30名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果400千克；加工罐头的工人每人可加工300千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有x名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利4000元；加工成罐头出售每吨获利10000元．(1)①加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克；（用含x的式子表示）②采摘水果的工人至少多少人？(2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示：销售方式直接出售加工成罐头销售利润（元/千克）410要使直接出售所获利润不超过总利润的25%【题型10利用一元一次不等式组解决实际问题】【例10】（23-24七年级·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．名称A种头盔B种头盔批发价（元/个）6040零售价（元/个）8050(1)该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个；(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．【变式10-1】（23-24七年级·重庆·期末）又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元．(1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？(2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打a+4折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利0.4a元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值．【变式10-2】（23-24七年级·重庆·开学考试）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：甲乙进价（元/部）43003600售价（元/部）48004200(1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的23【变式10-3】（23-24七年级·云南红河·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地下和地上两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米，物业经理经过市场调研发现如下信息：地下充电桩数量/个地上充电桩数量/个总金额/万元211120.8根据以上信息，解答下列问题：(1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？(2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩，则共有几种建造方案？并列出所有方案；(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的前提下，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过a平方米，且地下充电桩的数量大于2个，请求出满足条件的a的取值范围．

第7章一元一次不等式与不等式组【4大考点10大题型】【沪科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考点1不等式及不等式的基本性质】 1【题型1不等式的概念及意义】 2【题型2利用不等式的性质判断式子的正负】 3【考点2一元一次不等式】 6【题型3不等式与方程组综合求参数的取值范围】 6【题型4一元一次不等式的整数解问题】 8【题型5根据含参数不等式解集的情况求参数】 10【考点3一元一次不等式组】 12【题型6由不等式组的解集求参数】 12【题型7由不等式组的整数解求字母的取值范围】 14【题型8不等式组与方程的综合】 16【考点4不等式（组）的实际应用】 20【题型9利用一元一次不等式解决实际问题】 20【题型10利用一元一次不等式组解决实际问题】 23【考点1不等式及不等式的基本性质】1.不等式及其解集①不等式：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式.②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，都叫做不等式的解③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.④解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.2.不等式的性质不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc.不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc.3.不等式解集的数轴表示为了更清楚、直观地表示出不等式的解集，我们常常利用数轴，在数轴上把解集表示出来，需要注意的地方是，大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心圆点”，不包括端点用“空心圆圈”.4.运用不等式的性质比较大小①作商比较法②求倒数法【题型1不等式的概念及意义】【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是()A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人【答案】A【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，故选A．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、≥、＜、≤、≠．【变式1-1】（23-24七年级·河北邯郸·期中）式子①x-y=2，②x≤y，③x+y，④x2-3y，⑤x≥0，⑥12x≠3中，属于不等式的有(

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据不等式的定义：表示不等关系的式子叫做不等式，可直接选出答案．【详解】属于不等式的有：②⑤⑥．共3个故选：B【点睛】此题主要考查了不等式的定义,解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．【变式1-2】（23-24七年级·安徽宿州·期末）列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是33℃，最低气温是25℃，则当天的气温t(℃)的变化范围是．【答案】25≤t≤33．【分析】根据题意、不等式的定义解答．【详解】解：由题意得，当天的气温t（℃）的变化范围是25≤t≤33，故答案为25≤t≤33．【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式．【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为．【答案】x【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可．【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为：x故答案为：x【题型2利用不等式的性质判断式子的正负】【例2】（23-24七年级·安徽·开学考试）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论A．a−b=3c−b B．C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则2【答案】D【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，通过等式的性质得a−b=3c−b和a−c=2c−b，可判断A和B；由题目条件判断b<c，a>c，可判断C；结合B和A得到c−a=2b−c，2b−a=6【详解】解：∵a+2b=3c，∴a+2b−3b=3c−3b，即a−b=3c−b，故选项A∵a+2b=3c，∴a+2b−2b+c即a−c=2c−b，故选项B若a>b，∵a+2b=3c，∴a−a+2b即−2b>b−3c，∴−3b>−3c，∴b<c，∵a>b，∴2a>2b，∵3c=a+2b，∴2a−3c>2b−a+2b整理得a>c，∴a>c>b，故选项C正确，不符合题意；由B知，a−c=2c−b∴c−a=2b−c若a>c，则c−a<0，∴b−c<0，由A知，a−b=3c−b∴b−a=3b−c∴2b−a∴2b−a∴2b−a<c−a，故故选：D．【变式2-1】（23-24七年级·四川眉山·期中）下列说法中正确的是（

）A．若−3x=5，则x=−35 B．若ac=bcC．若a<b，则−3a<−3b D．若m+c2【答案】D【分析】本题主要考查了等式的基本性质，不等式的性质，熟练掌握等式的基本性质和不等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质和不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：A、若−3x=5，则x=−5B、当c=0时，等号两边同时除以c无意义，故该选项错误，不符合题意；C、若a<b，则−3a>−3b，故该选项错误，不符合题意；D、若m+c2>n+故选：D．【变式2-2】（23-24七年级·河南漯河·期中）下列四个不等式：（1）ac>bc；（2）−ma<−mb；（3）ac2>bc2；（4）−aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】（1）ac>bc，所以c≠0，但c大于0还是小于0，不能确定，即不能确定c为正数，故不能得出a>b，故错误；（2）因为−ma<−mb，所以m≠0，但m大于0还是小于0，不能确定，即不能确定出−m为负数，故不能得出a>b，故错误；（3）因为ac2>bc2，所以c（4）−ac2≤−bc2综上可得（3）正确，故选：A．【变式2-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是．【答案】R【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．【详解】由图1可知：S>P，由图2可知：R+P>Q+S，∴R−Q>S−P>0，R−S>Q−P∴R>Q，由图3可知：R+Q=S+P，∴R−S=P−Q，∴P−Q>Q−P，∴P−Q>0∴R−S>0∴R>S，所以R最重，故答案为：R．【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．【考点2一元一次不等式】1.一元一次不等式概念含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.2.解一元一次不等式的步骤①去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；②去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；③移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；④合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；⑤化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.【题型3不等式与方程组综合求参数的取值范围】【例3】（23-24七年级·江苏扬州·期末）若x=4是关于x的方程kx+b=0(k≠0,b>0)的解，则关于x的不等式k(x−3)+2b>0的解集是（

）A．x>11 B．x<11 C．x>7 D．x<7【答案】B【分析】将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．【详解】解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解，∴4k+b=0，即b=-4k＞0，∴k＜0，∵k（x-3）+2b＞0，∴kx-3k-8k＞0，∴kx＞11k，∴x＜11，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·全国·期中）关于x的方程5k−4x=9+2x的解为非负数，则k的取值范围是．【答案】k≥【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键．解方程5k−4x=9+2x得出x=5k−9【详解】解：5k−4x=9+2x解得x=∵关于x的方程5k−4x=9+2x的解为非负数，∴5k−9解得k≥9故答案为：k≥【变式3-2】（23-24七年级·北京·期中）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=7−mx−y=4m−1的解满足x+y≤0，求m【答案】3【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的整数解，先求出方程组的解，根据解的情况列出不等式，求解即可．【详解】解：解2x+y=7−mx−y=4m−1，得：x=m+2∵x+y≤0，∴m+2+3−3m≤0，∴m≥5∴m的最小整数解为：3．【变式3-3】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于x的方程3−kx2＝3+k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有kA．−910 B．−98 C．【答案】B【分析】先求出方程的解，再根据方程的解满足−3＜x＜3，可得k的取值范围，求出k的值，进而得结论．【详解】解：由3−kx2＝3＋k，得3−kx＝6＋2k所以kx＝−3−2k．当k＝0时，该等式不成立；当k≠0时，x＝−3−2kk∵关于x的方程3−kx2＝3＋k的解为非负整数且满足|x∴x的值是0，1，2，当x＝0时，−3k−2＝0，此时k＝−3当x＝1时，−3k−2＝1，此时k当x＝2时，−3k−2＝2，此时k＝−3∴（−32）×（−1）×（−34）＝故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是根据不等式的解集确定k的值．【题型4一元一次不等式的整数解问题】【例4】（23-24七年级·江苏南通·期中）若关于x的不等式x−m>1的最小整数解是2，则实数m的值可能是（

）A．−1 B．−12 C．0 【答案】C【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出x>m+1，根据不等式x−m>1的最小整数解是2即可确定m的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．【详解】解：∵x−m>1，解得：x>m+1，∵关于x的不等式x−m>1的最小整数解是2，∴1≤m+1<2，∴0≤m<1，∴实数m的值可能是0．故选：C．【变式4-1】（23-24七年级·贵州黔西·期末）若不等式3(x+1)−2⩽4(x−3)+1的最小整数解是方程12x−m=5的解，则m的值为（A．1 B．−11 C．32 D．【答案】A【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．【详解】解：3(x+1)−2⩽4(x−3)+1，3x+3−2⩽4x−12+1，3x−4x⩽−12+1−3+2，−x⩽−12，x⩾12，∴该不等式的最小整数解为12，∴把x=12代入方程12126−m=5，m=1，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式a−4x≤0有且只有3个负整数解，则a的取值范围是．【答案】−16<a≤−12【分析】根据关于x的一元一次不等式不等式a−4x≤0的3个负整数解只能是−3、−2、−1，求出a的取值范围即可．此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．【详解】解：a−4x≤0，−4x≤−a，x≥a∵不等式有3个负整数解，∴−4<a∴−16<a≤−12，故答案为：−16<a≤−12．【变式4-3】（23-24七年级·全国·单元测试）若不等式3x−m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．【答案】9≤m<12/12>m≥9【分析】本题考查了不等式的解法和一元一次不等式整数解的应用．先解不等式得到x≤m3，再根据正整数解的情况得到3≤m【详解】解：解不等式3x−m≤0得x≤m∵正整数解是1，2，3，∴m的取值范围是3≤m即9≤m<12．故答案为：9≤m<12【题型5根据含参数不等式解集的情况求参数】【例5】（23-24七年级·广西贵港·阶段练习）关于x的不等式2x−a≤−1的解集如图所示，则a的取值是（

）A．0 B．−3 C．−2 D．−1【答案】D【分析】本题主要考查了一元一次不等式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数字可知该不等式的解集为x≤−1，解不等式2x−a≤−1，得x≤a−12，易得【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为x≤−1，解不等式2x−a≤−1，得x≤a−1则有a−12解得a=−1，∴a的值是−1．故选：D．【变式5-1】（23-24七年级·福建福州·期中）若不等式m−2025x>m−2025的解集为x<1，则m的取值范围是【答案】m<2025/2025>m【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质3求解即可，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【详解】解：关于x的不等式m−2025x>m−2025的解集为x<1∴m−2025<0，∴m<2025，故答案为：m<2025．【变式5-2】（23-24七年级·北京·期中）若关于x的不等式x−2m>0的每一个解都能使x−6+m>0成立，则m的取值范围是．【答案】m≥2【分析】本题考查求不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵x−2m>0，∴x>2m，∵x−6+m>0，∴x>6−m，∵不等式x−2m>0的每一个解都能使x−6+m>0成立，∴6−m≤2m，∴m≥2；故答案为：m≥2．【变式5-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m=．【答案】−2【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．【详解】解∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m．∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3．∵关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．【考点3一元一次不等式组】1.一元一次不等式组把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.2.确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种①数轴法：利用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解.②口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”.这种方法容易理解，便于记忆，使用十分方便.【题型6由不等式组的解集求参数】【例6】（23-24七年级·上海嘉定·期中）若不等式组x>m+3x<4m−3无解，则m的取值范围是【答案】m≤2【分析】根据不等式组无实数解，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出m+3≥4m−3，求解即可．【详解】解：∵不等式组x>m+3x<4m−3∴m+3≥4m−3，解得：m≤2，故答案为：m≤2．【点睛】本题主要考查了写出不等式组的解集，解一元一次不等式，解题的关键是掌握写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．【变式6-1】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）若关于x的不等式组x−a>42x−b<5的解集是0<x<2，那么a−b的值为【答案】−3【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围是解答此题的关键．先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围，再与已知不等式组的解集为0<x<2相比较，求出a、b的值，代入代数式a−b进行计算即可．【详解】解：x−a>4解不等式①得：x>4+a，解不等式②得：x<5+b∴不等式组的解集为：4+a<x<5+b∵不等式组x−a>42x−b<5的解集是0<x<2∴4+a=0，5+b2解得：a=−4，b=−1，∴a−b=−4−−1故答案为：−3．【变式6-2】（23-24七年级·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组x−m2<1x−4≤3x−2有解，则实数A．m>−1 B．m≥−1 C．m<−1 D．m≤−1【答案】A【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于m的不等式，即可．【详解】解：x−m2解不等式①得：x<m+2，解不等式②得：x≥1，∴原不等式组的解集为1≤x<m+2，∵原不等式组有解，∴1<m+2，∴实数m的取值范围是m>−1．故选：A【变式6-3】（23-24七年级·山东菏泽·期中）若关于x的不等式组x>2n+1x>n+2的解集为x>−1，则n的值为【答案】−3【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分当2n+1=n+2时，当2n+1>n+2，即n>1时，当2n+1<n+2，即n<1时，三种情况根据不等式组的解集可知2n+1和n+2中较大的数的值为−1进行求解即可．【详解】解：当2n+1=n+2时，则n=1，此时2n+1=n+2=3，∴不等式组的解集为x>3，不符合题意；当2n+1>n+2，即n>1时，∵不等式组的解集为x>−1，∴2n+1=−1，∴n=−1（舍去）；当2n+1<n+2，即n<1时，∵不等式组的解集为x>−1，∴n+2=−1，∴n=−3；综上所述，n=−3，故答案为：−3．【题型7由不等式组的整数解求字母的取值范围】【例7】（2024·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．【详解】解：x−a<0①解①得x<a，解②得x>−3则不等式组的解集是−3∵解集中至少有5个整数解∴整数解为：-1,0,1,2,3．∴a＞整数a的最小值是4．故选C．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．【变式7-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）关于x的不等式组9x−a≥08x−b<0的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围，b的取值范围是【答案】9<a≤18，32<b≤40【分析】先求得每个不等式的解集，再根据题意得到关于a的不等式，然后求解即可．【详解】解：解不等式组得x≥a∵不等式组的整数解仅有2，3，4，∴1<a9≤2解得9<a≤18，32<b≤40，故答案为：9<a≤18，32<b≤40．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，理解题意，正确得出关于a、b的不等式是解答的关键，注意边界值的取舍．【变式7-2】（23-24七年级·陕西西安·期末）若关于x的不等式x−a+1≥03−2x>0有且仅有3个整数解，则实数a【答案】−1<a≤0【分析】解一元一次不等式组得a−1≤x<32，由不等式组有且只有3个整数解，可得实数【详解】解：由x−a+1≥03−2x>0，得x≥a−1即解得a−1≤x<3∵不等式组x−a+1≥03−2x>0∴−2<a−1≤−1，即−1<a≤0，故答案为：−1<a≤0【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数．解题的关键在于正确的运算．【变式7-3】（23-24七年级·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组3x+2<4x+m43x−1≤13x+3【答案】1或4/4或1【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出3x+2<4x+m43x−1≤13x+3的解集为【详解】解：∵3x+2<4x+m∴x>2−m即2−m<x≤4∵关于x的不等式组3x+2<4x+m4∴x=4，3则2−m=1或者2−m=−2∴m=1或m=4故答案为：1或4【题型8不等式组与方程的综合】【例8】（23-24七年级·湖北恩施·期末）如果关于y的方程a−1−y3=y−2有非负整数解，且关于x的不等式组4x−a≥0A．−5 B．−8 C．−9 D．【答案】B【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解方程得出y=a+52，根据关于y的方程a−1−y3=y−2有非负整数解，得出a≥−5【详解】解：a−1−y解得：y=a+5∵关于y的方程a−1−y∴y=a+5解得：a≥−5，且a+524x−a≥0−∵不等式组4x−a≥0−∴a<−2，∴−5≤a<−2，且a+52∴a=−5，−3，于是符合条件的所有整数a的值之和为：−5−3=−8，故选：B．【变式8-1】（23-24七年级·重庆铜梁·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组2x−13≤x+2x≥m的解集为x≥−7；且关于y的方程2y−8=m−y【答案】−30【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x≥−7得到m的取值范围；解关于y的方程2y−8=m−y，根据有正整数解，得到【详解】解不等式2x−13≤x+2，得：∵关于x的一元一次不等式组2x−13≤x+2∴m≤−7，方程2y−8=m−y解得：y=m+16∵关于y的方程2y−8∴y=m+16解得m≥−13，综上所述，−13≤m≤−7由y=m+163有正整数解可得m=−13或−10或∴所有满足条件的m的整数值之和是−13+−10故答案为：−30．【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握一元一次方程方程的解法、一元一次不等式组的解法，对一元一次方程方程有正整数解的运用是解题的关键．【变式8-2】（23-24七年级·全国·期末）若数a使关于x的方程ax+12=−2x3−1有非负数解，且关于yA．−27 B．−20 C．−15 D．−5【答案】A【分析】表示出关于x的方程的解，由方程有非负数解确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值相加即可．【详解】解：ax+12去分母，得3ax+1去括号，得3ax+3=−4x−6，当3a+4≠0时，解得x=−9∵数a使关于x的方程解：ax+12∴3a+4<0，∴a<−4∵y−12由①得：y<4，由②得：y>解得a−14由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，∴−2≤a−1解得−7≤a<1，∴−7≤a<−4则满足题意a的值有−7，−6，−5，−4，−3，−2，则符合条件的所有整数a的和是−7+(−6)+(—5)+(−4)+−3故选：A．【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练的利用方程的解的含义与不等式组的整数解的个数求解参数的范围是解本题的关键．【变式8-3】（23-24七年级·重庆万州·期末）若关于x的不等式组2x−1>7x−a≤0无解，且关于x的方程ax=3x+2的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（

A．12 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围．根据不等式组无解，求出a的取值范围，再根据方程的解为整数，确定整数a的值，进而求和即可．【详解】解：解2x−1>7x−a≤0，得：x>4∵不等式组无解，∴a≤4；∵ax=3x+2，∴x=2∵方程的解为整数，∴2∴a=2,1,4,∴满足条件的所有整数a的和为1+2+4=7．故选B．【考点4不等式（组）的实际应用】列一元一次不等式（组）解应用题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解不等式（组）→检验→答（关键是找不等关系）【题型9利用一元一次不等式解决实际问题】【例9】（23-24七年级·全国·期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是1500元/台，B型号家用净水器进价是3500元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36万元．(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于8.8万元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价−进价）【答案】(1)A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台；(2)每台A型号家用净水器的售价至少是1900元．【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去360000元．”列出方程组解答即可；（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于88000元，列出不等式解答即可；本题考查了一元一次不等式的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解题的关键．【详解】（1）解：设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，由题意得，x+y=1601500x+3500y=360000解得x=100y=60答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台；（2）解：设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，由题意得100a+60×2a≥88000，解得a≥400，1500+400=1900元，答：每台A型号家用净水器的售价至少是1900元．【变式9-1】（23-24七年级·陕西汉中·期末）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？【答案】商店老板每辆最多可以降价160元【分析】设商店老板每辆可以降价x元，根据利润=售价−进价结合利润不低于进价的40%，即可得出关于x本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【详解】解：设商店老板每辆可以降价x元，依题意，得：720−x−400≥400×40%解得：x≤160，∴商店老板每辆最多可以降价160元答：商店老板每辆最多可以降价160元．【变式9-2】（23-24七年级·全国·期末）课间活动时，小英、小丽和小华在操场上一起玩投沙包游戏，沙包投到A区域所得分值与投到B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．(1)请求出小华的四次总分；(2)如果小明在看完她们三个的投掷后也加入了这个游戏，并且最终赢得了胜利，请你说出小明投沙包的结果和所得分数．【答案】(1)30分(2)落在A区4次；36分【分析】（1）设沙包落在A区域得x分，落在B区域得y分，根据小英、小丽获得的总分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(x+3y)中即可求出小华的四次总分；（2）设小明投的沙包落在A区域m次，则落在B区域(4−m)次，根据小明的四次总分最高，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m，(4−m)均为非负整数，即可确定m的值，再将其代入9m中即可求出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【详解】（1）解：设沙包落在A区域得x分，落在B区域得y分，依题意得：3x+y=342x+2y=32解得：x=9y=7∴x+3y=9+3×7=30（分）．答：小华的四次总分为30分．（2）解：设小明投的沙包落在A区域m次，则落在B区域(4−m)次，依题意得：9m+7(4−m)>34，解得：m>3．又∵m，(4−m)均为非负整数，∴m=4，∴9m=36（分）．答：小明投的沙包落在A区域4次，所得分数为36分．【变式9-3】（23-24七年级·全国·期末）我市某水果生产基地，用30名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果400千克；加工罐头的工人每人可加工300千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有x名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利4000元；加工成罐头出售每吨获利10000元．(1)①加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克；（用含x的式子表示）②采摘水果的工人至少多少人？(2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示：销售方式直接出售加工成罐头销售利润（元/千克）410要使直接出售所获利润不超过总利润的25%【答案】(1)①30−x，9000−300x；②13人；(2)11名工人进行水果采摘，19名工人加工罐头；最大利润为74600元．【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．（1）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解；（2）根据题意，列出不等式即可求解；【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为30−x人，可以加工罐头300×30−x故答案为：30−x，9000−300x；②由题意可得，9000−300x≤400x，解得x≥126∵x为整数，∴采摘水果的工人至少13人；（2）解：由题意得，4×400x≤4×400x+10×解得x≤117要使直接出售所获利润不超过总利润的25%，应该有11名工人进行水果采摘，30−11=19所获最大利润为4×400×11+10×300×19=17600+57000=74600元．【题型10利用一元一次不等式组解决实际问题】【例10】（23-24七年级·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．名称A种头盔B种头盔批发价（元/个）6040零售价（元/个）8050(1)该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个；(2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个(2)该商店第二次有3种批发方案【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了180−32m个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：x+y=12060x+40y=5600解得：x=40y=80答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；（2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了7200−60m40=180−m≤76(80−60)m+(50−40)解得：72≤m≤76，又∵m，180−3∴m可以为72，74，76，∴该商店第二次有3种批发方案．【变式10-1】（23-24七年级·重庆·期末）又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出