广东省香山中学、高要一中、广信中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题 含解析

学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科一、单选题1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.【详解】由题意得，，所以．故选：B2.已知，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用二倍角余弦公式计算即可.【详解】因为，则.故选：B.3.把函数图象上所有点（）可得到函数的图象.A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.【详解】因为，第1页/共14页所以把函数图象上的所有点向右平移可得到函数的图象.故选：D.4.在中，，，则的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．【详解】解：中，，，即，化简得，解得或，故选：B．5.已知，，，则向量在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量在方向上的投影向量为.故选：B6.已知向量.若，则（）A.3B.4C.5D.【答案】C【解析】第2页/共14页【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求.【详解】因，则，因，，则，得故选：C7.如图，在四边形中，，，设，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以.故选：C.8.在△ABCABC所对边分别为abcB）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.第3页/共14页【详解】解：∵，∴，即，令，，，显然，∵，∴，解得，∴，B＝．故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键二、多选题9.已知，则下列各式正确的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由同角的三角函数，平方关系，二倍角的余弦公式求解即可.【详解】对于A，，又，所以，所以，故A错误；对于B，；故B正确；对于C，，故C正确；第4页/共14页对于D，，故D错误.故选：BC10.已知向量满足，，且，则（）A.B.C.与的夹角为D.与的夹角为【答案】AC【解析】【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD．【详解】对于A，因为，，且，所以，则，则，故A正确；对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确D错误．故选：AC．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有两个B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若为锐角三角形，则【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案.【详解】对于A：若，，，由余弦定理得，故符合条件的有且仅有一个，故A错误；第5页/共14页对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则，由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确；对于C：若，由正弦定理得，由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确；对于D：若为锐角三角形，则，所以，因为在上单调递增，所以，故D正确．故选：BCD．三、填空题12.设，是不共线的两个平面向量，已知，，，三点共线，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】由平面向量共线定理可得，进而可得结果.【详解】\三点共线，则所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.13.已知是边长为2的正三角形，，分别为边，___________．【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果.第6页/共14页【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：易知，则，由可得，解得；可得.故答案为：14.在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到及，再根据得到，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值.【详解】已知，由正弦定理可得，又，可求得，，利用余弦定理，可得，第7页/共14页所以，又三角形面积，又，所以，故，当且仅当时等号成立，所以的内切圆半径r的最大值为故答案：四、解答题15.已知点.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可.【小问1详解】由题知，.若，则，解得，故实数的值为.【小问2详解】第8页/共14页若，则，整理得，解得或.16.在中，角、、的对边分别为、、，，.（1）若，求；（2）若的面积，求，.【答案】（1）（2），【解析】（2）先结合三角形面积公式求，再利用余弦定理求.【小问1详解】由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，【小问2详解】由三角形面积公式可得的面积，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.17.已知函数.第9页/共14页（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】1）利用整体代换法计算即可求解；（2）根据三角函数图象的伸缩平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质计算即可求解.【小问1详解】，令，则，的单增区间为.【小问2详解】的图象向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来，得图象，即，当，则，第10页/共14页当即时，单调递增，当即时，单调递减，又，在的值域为.18.已知函数的图象如图所示.（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值；（3）求这个函数的单调增区间和对称中心.【答案】（1），其振幅是2，初相是（2）时，函数取得最大值为0；时，函数取得最小值为-2（3）单调递增区间为，对称中心为【解析】1）根据图像写出，由周期求出，再由点确定的值．（2）根据确定的取值范围，再由的单调求出最值第11页/共14页（3）用整体代入法结合函数可求函数的单调增区间和对称中心.【小问1详解】由图象知，函数的最大值为，最小值为，∴，又∵，∴，，∴.∴函数的解析式为.∵函数的图象经过点，∴，∴，又∵，∴.故函数的解析式为，其振幅是，初相是.【小问2详解】由（1）得，令，则.∵，∴.于是，当，即时，函数取得最大值0；当，即时，函数取得最小值为.【小问3详解】令，，解得,所以函数的单调增区间.令,，解得，故函数的对称中心为，.第12页/共14页19.设函数．（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；（2的对边分别为周长的取值范围．【答案】（1）当时，函数取到最小值为（2）【解析】1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果.（2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围.【小问1详解】