2025年甘肃省平凉一中高考数学冲刺压轴试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年甘肃省平凉一中高考数学冲刺压轴试卷（二）一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z1=1+i，z2=2+i，则z=A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且P(M)=13，P(N)=12，P(M|N)=1A.13 B.16 C.343.若0<c<1<b<a，则(

)A.bc>ac B.ca>4.中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为(

)A.150 B.180 C.240 D.3005.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积(球冠面积)S=2πRH，其中R是球的半径，H是球缺的高.若球缺的底面面积为3π，高H=3，球半径R<3，则该球缺曲面部分的面积为(

)A.18π B.12π C.63π6.设D是边长为3的等边△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△PA.[3,15] B.[32,152]7.已知函数f(x)=tanπx+ln2x1−x，若f(12025)+f(A.4 B.2 C.1 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则(

)价格(千元)(0,5](5,10](10,15](15,20](20,25]频数1506001805020A.估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5

B.估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45

C.估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过8

D.估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过129.已知函数f(x)=cosx+12cos2x，则A.f(x)的最大值为32 B.2π为f(x)的一个周期

C.x=π2为曲线y=f(x)的一条对称轴 D.f(x)10.已知双曲线x2−y2=n(n∈N∗)，直线l与双曲线右支交于点B，C(B在x轴上方，C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A，D(A在xA.直线l的倾斜角范围为(π4,3π4)

B.|AC|=|BD|

C.△AOD面积的最小值为1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x−2y−4=0上的抛物线的标准方程为______．12.已知函数f(x)=ex+kx2在(0,+∞)13.已知α∈(0,π2),sin(2α+β)=3sinβ四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题12分)

已知数列{an}的各项都不为0，其前n项和为Sn，q为不等于0的常数，且Sn=qSn−1+a1(n≥2)．

(1)证明：{a15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=4.点E在侧棱PC上(端点除外)，平面ABE交PD于点F．

(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；

(2)若PF=3FD，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．16.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，点E，F在边BC上(E,F不与B，C重合，且E在B，F之间)，且∠EAF=π4，∠EAB=θ．

(1)若BE=2，求EF的值；

(2)试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出17.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点恰好是一个直角三角形的三个顶点，直线l：y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线m//OT，m与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P．

①求△ABT面积的最大值；

18.(本小题12分)

若函数f(x)，g(x)的图象与直线x=m分别交于A，B两点，与直线x=n分别交于C，D两点(m<n)，且直线AC，BD的斜率互为相反数，则称f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”．

(1)(2)f(x)=eax，g(x)=ax2，若存在实数mn>0，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，且|AB|=|CD|参考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.C

8.ABC

9.AB

10.ABD

11.y2=16x或12.−e13.214.15.(1)证明：因为AB//CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，

所以AB//平面PCD，

又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，

所以AB//EF，

因为EF<CD=AB，所以四边形ABEF为梯形，

因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF，

所以四边形ABEF为直角梯形．

(2)解：(法一)以A为原点，向量AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，

所以AB=(4,0,0),AP=(0,0,4),PD=(0,4,−4),PC=(4,4,−4)，

因为PF=3FD，

所以AF=AP+PF=AP+34PD=(0,0,4)+(0,3,−3)=(0,3,1)，

设m=(x,y,z)为平面ABEF的法向量，则m⋅AB=0,m⋅AF=0,即4x=0,3y+z=0,

取y=1，则z=−3，所以m=(0,1,−3)，

设直线PC与平面ABEF所成角为θ，则sinθ=|cos<m，PC>|=|m⋅PC||m|⋅|PC|=4+1210×43=23015，

所以直线PC与平面ABEF所成角的正弦值为23015．

(法二)因为AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面PAD，

作PM⊥AF，垂足为M，

因为平面ABEF∩平面PAD=AF，PM⊂平面PAD，

所以PM⊥平面ABEF，

连接EM，则∠PEM为直线PC与平面ABEF所成的角，

在Rt△PAD中，因为PA=AD=4，所以16.17.18.证明：(1)设A(m,f(m))，C(n,f(n)).由f(x)单调递增，则f(n)>f(m)．

则kAC=f(n)−f(m)n−m>0．

同理可得，kBD>0．

所以直线AC，BD的斜率均为正数，不可能互为相反数．

即不存在实数m，n，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”．

解：(2)情况一：当a=0时，f(x)=1，g(x)=0，若|m−n|=1，则存在实数mn>0，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，且|AB|=|CD|；

情况二：当a≠0时，

因为f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，所以有f(n)+g(n)=f(m)+g(m)．

因为|AB|=|CD|，所以有f(n)−g(n)=f(m)−g(m)或f(n)−g(n)=−f(m)+g(m)．

①联立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)−g(n)=f(m)−g(m)，可得f(m)=f(n)g(m)=g(n)，所以a=0，

则有f(x)=1，g(x)=0，此时有kAC=kBD=0，满足题意；

②联立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)−g(n)=−f(m)+g(m)，可得f(m)=g(n)g(m)=f(n)．

因为mn>0，所以方程组eam=an2ean=am2，则a>0．

当m，n>0时，

因为eax，ax2均为[0,+∞)上的单调递增函数，由(1)知不存在实数m，n，

使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，所以m<n<0，

则由eam=an2ean=am2，可得n=−eam2an=lna+2ln(−m)a，可得lna+2ln(−m)=−aeam2，

所以lna+2ln(−m)+aeam2=0，

同理可得lna+2ln(−n)+aean2=0．

则lna+2ln(−x)+aeax2=0在(−∞,0)上存在两个不同的实数根．(∗)

记ℎ(x)=lna+2ln(−x)+aeax2(x<0)，则ℎ′(x)=2x+aaeax22=aaxeax2+42x．

记p(x)