选择性第七章随机变量及其分布列-第六讲超几何分布（原卷版）

选择性必修第三册第七章随机变量及其分布第六讲超几何分布问题情境：问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.思考1：采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？思考2：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么二、知识构建知识点一超几何分布1.超几何分布一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．2.对超几何分布的理解在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为地抽取.知识点二超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).三、类型归纳类型一超几何分布的理解类型二超几何分布的概率类型三超几何分布的均值与方差类型四二项分布与超几何分布综合应用类型五数学情境中的超几何分布类型应用类型一对超几何分布的理解【例1】（多选）（2425高二·全国·课后作业）下列随机变量中，服从超几何分布的有(

)A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X【跟踪训练11】（2425高二·全国·课后作业）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为【跟踪训练12】（2425高二下·全国·课堂例题）下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列；(2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列；(3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列；(4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列；(5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列．类型二超几何分布的概率【例2】（2324高二下·江苏南京·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（

）A． B． C． D．【跟踪训练21】（2024高二·黑龙江哈尔滨·期末）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练22】（2425高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（

）A． B． C． D．【跟踪训练23】（2425高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（

）A． B． C． D．【跟踪训练24】（2324高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（

）A． B． C． D．【跟踪训练25】（2324高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为．【跟踪训练26】（辽宁省沈阳市级重点高中联合体20232024学年高二学期期中数学试题）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（

）A． B． C． D．【例3】（2324高二·湖南·课后作业）从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．【跟踪训练31】（2324高二·全国·课后作业）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．【跟踪训练32】（2425高二下·全国·课后作业）新高考制度的“3+1+2”中的“1”是指从物理和历史两门科目选择一门．若某班级一组有8名女生，其中有2名选择物理，6名选择历史，现从这8名女生中任选3人，求3人中选择物理科目人数的分布列．类型三超几何分布均值与方差【例4】（2223高二下·辽宁·期中）学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（

）A． B． C． D．1【跟踪训练41】（2324高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则．【跟踪训练42】（2324高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为，数学期望．【跟踪训练43】（2425高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为.【跟踪训练44】（2024高二·江苏连云港月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【例5】（2324高二下·江苏盐城·期中）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数的分布列；(2)求的期望和方差．【跟踪训练51】（2324高二·江苏·课后作业）已知15件同类型的零件中有2件是不合格品，从中任取3件，用随机变量X表示取出的3件中的不合格品的件数．求：(1)X的概率分布；(2)X的均值．【跟踪训练52】（2425高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.【跟踪训练53】（2324高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求：(1)抽到他能答对题目数的分布列；(2)求的期望和方差.【跟踪训练54】（2425高二下·宁夏银川·阶段练习）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台．(1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率；(2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差．类型四二项分布与超几何分布综合应用【例6】（2324高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.(1)若不放回摸球，求的分布列；(2)若有放回摸球，求的分布列和均值.【跟踪训练61】（2324高二下·山东淄博·期末）在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数.(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和；(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和；【跟踪训练62】（2425高二·全国·课堂例题）为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率；(2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列；(3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由．【跟踪训练63】（2324高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求：(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．类型五数学情境中的超几何分布【例7】（2324高二下·陕西西安·期末）当前，以为代表的（利用技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱，我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为，求的分布列与期望．【跟踪训练71】（2324高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020假设用频率估计概率.(1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．【跟踪训练72】（2324高二下·天津·阶段练习）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望．(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；素养提升1.（多选）（2024高二·河南南阳·期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（

）A．服从二项分布 B．的值最小为1C． D．2.（多选）（2425高二下·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（

）A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布C．若表示取出白球的个数，则D．若表示取出黑球的个数，则3.（2324高二下·湖南·期末）3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：项目常德高腔常德丝弦桃源刺绣安乡木雕澧水船工号子志愿者人数3060504020若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽