专题71空间几何体的表面积与体积【真题模拟题】【解析】

【专题7.1几何体的表面积与体积】总览题型总览题型梳理一．考情分析考点要求考题统计考情分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4.理解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式，能运用公式计算一些简单组合体的表面积和体积。5.会利用割补法、等体积法等数学方法求一些不规则几何体的体积。6.能根据几何体的三视图或直观图，求几何体的表面积或体积，以及解决与之相关的一些实际问题。7.能运用空间几何体的表面积与体积公式，结合相关几何知识，解决一些与最值、范围有关的问题。2024年 新课标Ⅰ卷：未明确单独考查该知识点，可能融合在其他立体几何综合题中。 甲卷：理科第14题，5分。 天津卷：第9题，5分。2023年 新课标Ⅰ卷：第12题，5分；第14题，5分，共10分。 乙卷：理科第8题，5分。 甲卷：文科第10题，5分。 天津卷：第8题，5分。1.考查题型与分值：题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中有所涉及。选择题、填空题一般每题分值为5分，在新高考中，若考查两个小题，占比分值约为10分；若考查一个小题和一个解答题，占比分值约为18分22分。2.命题热点：空间几何体的结构特征、表面积和体积的计算是命题热点，主要考查柱、锥、台、球及简单组合体的相关计算。3.能力要求：要求考生具备较强的空间想象能力、计算能力，能用转化与化归的思想解题，通过对空间几何体的表面积与体积的计算，考查直观想象能力与数学运算能力。4.综合考查：常与空间点、线、面的位置关系等知识综合考查，在解答题中，可能会先证明线面关系、面面关系，再涉及几何体表面积或体积的计算。5.难度分析：选择题、填空题难度中等，若出现在解答题中，通常属于中等偏上难度二：知识讲解与题型分类【题型一：圆锥的表面积与体积】【知识讲解】圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做圆锥侧面的母线。圆锥的表面积计算公式：。其中是底面半径，是母线长。公式推导：圆锥的表面积由侧面积和底面积组成。圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。根据扇形面积公式（这里为弧长，为半径），可得圆锥侧面积为。圆锥的底面积为，所以圆锥的表面积。圆锥的体积计算公式：，其中是底面半径，是圆锥的高。公式推导：可以通过实验法或积分法来推导圆锥体积公式。实验法通常是用等底等高的圆柱和圆锥容器，将圆锥容器装满水倒入圆柱容器中，会发现三次刚好倒满，所以圆锥体积是等底等高圆柱体积的，而圆柱体积，故圆锥体积。圆锥相关元素的关系圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，满足勾股定理。通过这个关系，已知其中两个量，就可以求出第三个量，进而计算圆锥的表面积和体积。例题精选例题精选【例题1】（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由轴截面可得底面半径及母线长，再由表面积公式即可求解；【详解】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的表面积.故选：D.【例题2】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解.【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为，，，.故选：B.【例题3】（2025·山西临汾·二模）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥的侧面积公式和圆的面积公式列出关系式，得到与的关系即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，由圆锥的侧面积公式可得，解得，因为，所以.故选：C.相似练习相似练习【相似题1】（2025·河北·三模）已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的轴截面面积结合三角形的面积公式及圆锥侧面积公式即可求解.【详解】轴截面不是最大面积，轴截面顶角为钝角，设母线长为，即，所以该圆锥的侧面积.故选：A.【相似题2】（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，作出组合体的轴截面，求出圆柱的底面圆半径和高，计算表面积作答.【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图，矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上，依题意，截面是边长为4的正三角形，所以，因为是PO中点，则，，圆锥母线，圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积，剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后，圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等，所以剩余几何体的表面积是.故选：D.【相似题3】（2025·北京·模拟预测）已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积，体积.【答案】【分析】根据题意求出圆锥的底面圆半径和母线，然后根据公式即可求解.【详解】

如图，为等腰直角三角形，且，所以底面圆半径，母线长，所以侧面积，体积.故答案为：；.【相似题4】（2425高二下·上海·阶段练习）将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为．【答案】【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】因为将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：.所以圆锥的侧面积为：.故答案为：【题型二：圆柱的表面积与体积】【知识讲解】圆柱的定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，该边无论旋转到什么位置，都叫做圆柱侧面的母线。圆柱的表面积计算公式：。这里为底面半径，为圆柱的高。公式推导：圆柱的表面积由两个底面圆的面积和侧面面积组成。底面圆的面积根据圆的面积公式，所以两个底面圆面积为。圆柱侧面展开图是一个矩形，矩形的一边长等于圆柱底面圆的周长，另一边长为圆柱的高，根据矩形面积公式，所以侧面积为。那么圆柱的表面积。圆柱的体积计算公式：，其中是底面半径，是圆柱的高。公式推导：我们可把圆柱看作是由无数个底面圆叠加而成。底面积为，叠加的高度为，根据柱体体积通用公式（是底面积，是高），所以圆柱体积。圆柱各元素关系圆柱的高与母线长相等，且母线垂直于底面。知道圆柱的高和底面半径，就能利用上述公式计算其表面积和体积。需要注意的是，圆柱的高、底面半径与母线长并不都相等，只有高和母线长相等。圆柱外接球半径的计算公式如下：当圆柱底面半径为，高为时，。此公式的推导是基于圆柱外接球的性质，即外接球的球心到圆柱上下底面圆心的距离相等且为，球心到底面圆周上任意一点的距离为外接球半径，根据勾股定理可得上述公式。圆柱外接球的表面积公式为，体积公式为，将前面所求的代入这两个公式，就可以计算出圆柱外接球的表面积和体积。例题精选例题精选【例题1】（2025·福建泉州·一模）已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可.【详解】设圆柱的母线长为，则，解得.故选：B.【例题2】（2425高二下·河南·阶段练习）已知某圆柱的表面积为，则该圆柱的体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由已知可得到圆柱的体积关于的函数关系式，再利用导数研究函数的单调性进而求得的最大值.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意得，，所以，所以，所以圆柱的体积为.设，则，令，解得（负值舍去），所以在上单调递增，在上单调递减，因此当时，圆柱的体积取最大值，且.故选：C.【例题3】（2425高三上·云南昆明·期末）四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意圆柱的底面半径为正三角形的外接圆半径，高为四面体的高，进而可得.【详解】正三角形的外接圆半径为，四面体的高，所以圆柱的外接球的半径，即该球的表面积，故选：A相似练习相似练习【相似题1】（2023·江苏·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.【详解】圆锥的高为，如图，由和相似，可得，所以，所以,则圆柱侧面积，圆锥侧面积，所以.故选：D．【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）已知某圆柱的高和底面直径均为4，某圆锥与该圆柱的底面积和侧面积相等，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆锥的侧面积等于圆柱的侧面积建立等式求得圆锥的母线长，从而求得圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求得圆锥的体积.【详解】依题意，圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为4，则圆锥的侧面积等于圆柱的侧面积等于．设圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，且，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：A．【相似题3】（2425高三上·辽宁·期末）已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为.【答案】/【分析】利用给定条件建立方程求解参数，再利用圆锥体积公式求解即可.【详解】设圆柱与圆锥的底面半径均为，由题意得圆柱与圆锥的高均为2，则圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则，化简得，解得，且设圆锥体积为，故.故答案为：【相似题4】（2425高三上·山东·阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用圆柱、圆锥表面积公式计算得解.【详解】依题意，圆柱的底面圆半径为，母线长为，表面积，圆锥底面圆半径为，母线长为，表面积，由，得，所以.故答案为：【相似题5】（2425高三上·北京·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为.【答案】【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以，即，故，故圆锥的体积为.故答案为：.【题型三：圆台的表面积与体积】【知识讲解】圆台的定义用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台也可以看作是由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转而成的旋转体。圆台的表面积计算公式：，其中为上底面半径，为下底面半径，为母线长。公式推导：圆台的表面积等于上底面面积、下底面面积与侧面积之和。上底面面积为，下底面面积为。圆台的侧面展开图是一个扇环，扇环的面积可以通过大扇形面积减去小扇形面积得到。设扇环的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，则。根据扇形面积公式（为扇形半径），以及弧长公式（为弧长），可得圆台侧面积为。所以圆台的表面积。圆台的体积计算公式：，其中为圆台的高，为上底面半径，为下底面半径。公式推导：圆台的体积可以通过大圆锥体积减去小圆锥体积得到。设大圆锥的高为，小圆锥的高为，则。根据圆锥体积公式，可得圆台体积为。由相似三角形的性质可知，即，又因为，所以，。将和代入体积公式并化简，可得。设圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，圆台外接球半径为。首先求圆台上下底面所在圆面的圆心，到圆台轴截面与上下底面交点的距离，，由相似三角形可得，。然后根据勾股定理可得外接球半径公式：。圆台外接球的表面积公式为，体积公式为，将前面所求的代入这两个公式，就可以计算出圆台外接球的表面积和体积。例题精选例题精选【例题1】（2425高三下·重庆·阶段练习）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台表面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，则圆台表面积.故选：B【例题2】（2425高三下·重庆渝中·阶段练习）已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积.【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心，如图，设圆台上底半径为，则下底半径为，，而等腰梯形的高，因此，解得，所以该圆台的表面积为.故选：D【例题3】（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可.【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，设圆台的上下底面半径分别为，则，所以，所以，所以圆台的高为故选：相似练习相似练习【相似题1】（2025·广东广州·一模）已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积.【详解】作出示意图如图所示：设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，所以，所以，因为球的表面积为，所以，解得，所以，所以，所以圆台的侧面积为.故选：B.【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似可得原圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】由已知，设原圆锥的高为，则，所以，因为，，所以．故选：A．【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知圆台的高为，且同时过上、下底面直径纵截面的等腰梯形的周长为10，面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设上底长和下底长，根据面积和周长列出方程组即可.【详解】设等腰梯形的上底长为，下底长为，则腰长为，故可得①，②.由②有，代入①，解得，故，.则圆台的体积为.故选：C.【相似题4】（2025·宁夏银川·一模）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为.【答案】【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积.【详解】如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为，因为圆台上下底面面积之比为，所以，得，所以圆台的侧面积为，得，因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以，，得，所以，，，得，所以该球的表面积为.故答案为：.【题型四：棱锥的表面积与体积】【知识讲解】一、棱锥的定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。根据底面多边形的边数，棱锥分为三棱锥、四棱锥等，其中三棱锥又被称为四面体。二、棱锥的表面积计算公式：棱锥的表面积。其中是底面多边形的面积，是各个侧面三角形面积之和。若底面是正边形，边长为，边心距（正多边形的中心到边的距离）为，则底面面积（对于常见的正三角形，；对于正方形，等）。设棱锥的侧棱长为，对于正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥），侧面三角形的高（斜高）为，则一个侧面三角形的面积为，个侧面面积。公式推导：表面积就是组成棱锥的各个面的面积总和。底面多边形根据其形状利用相应的多边形面积公式计算。对于侧面，因为每个侧面都是三角形，根据三角形面积公式，在正棱锥中，底面边长为三角形的底，斜高为三角形的高，将各个侧面三角形面积相加就得到侧面积，再加上底面积就得到棱锥的表面积。例如，正三棱锥底面是正三角形，边长为，其面积，若侧棱长为，斜高，三个侧面面积，则正三棱锥表面积。三、棱锥的体积计算公式：，其中是棱锥的底面面积，是棱锥的高（顶点到底面的距离）。公式推导：实验法：准备一个等底等高的三棱柱和三棱锥。将三棱锥装满沙子，倒入三棱柱中，会发现三次刚好能将三棱柱装满。这表明三棱锥体积是等底等高三棱柱体积的。而三棱柱体积，所以三棱锥体积。对于任意棱锥，都可以通过分割成多个三棱锥，利用三棱锥体积公式推导出其体积公式同样为。四、棱锥各元素关系在正棱锥中，设底面正多边形中心为，顶点为，底面正多边形边长为，边心距为，侧棱长为，斜高为，高为。顶点在底面的射影为，则有（由直角三角形$POB$，为底面正多边形边的中点，根据勾股定理得到），同时在侧面三角形中，。通过这些关系，已知部分元素，可以求出其他元素，进而计算棱锥的表面积和体积。正四棱锥设正四棱锥底面边长为，高为，其外接球半径的公式为：。推导过程如下：正四棱锥底面是正方形，其中心到底面顶点的距离为。设球心为，则，根据勾股定理可得，经过化简整理即可得到上述公式。正三棱锥设正三棱锥底面边长为，高为，其外接球半径的公式为：。推导过程如下：正三棱锥底面是正三角形，其中心到底面顶点的距离为。设球心为，则，根据勾股定理可得，化简后可得到该公式。【例题精选】【例题1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果.【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：取线段的中点，连接，则，因为正三棱锥的侧面积为，则，可得，所以，，，设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，，设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为，则，由勾股定理可得，即，解得，因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.【例题2】（2425高三下·河南新乡·阶段练习）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设顶点在底面的射影点为，延长交于点，则为的中点，连接，根据题意求出、的长，可求出的长，再利用锥体的体积公式可求得该正三棱锥的体积.【详解】在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心，延长交于点，则为的中点，连接，因为正的边长为，为的中点，则，因为，则，则，，由题意可知，正三棱锥的侧面积为，则，即，故，因为为正的中心，则，因为平面，平面，则，所以，，因此，该三棱锥的体积为.故选：D.【例题3】（2425高三上·宁夏银川·阶段练习）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（

）A．20 B．16 C．24 D．6【答案】C【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可.【详解】由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4，则棱锥的高，斜高为，侧面积为．故选：C.相似练习相似练习【相似题1】（陕西省西安市部分学校2025届高三下学期3月模考数学试题）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为.【答案】60【分析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积.【详解】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为，由题意可得，所以斜高，所以该四棱锥的侧面积为.故答案为：60.【相似题2】（2425高二下·河南信阳·开学考试）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为.【答案】【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积.【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，由题设，球体半径，则，所以，，，中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为.故答案为：【相似题3】（2425高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为．【答案】18【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积.【详解】如图，正三棱锥中，，过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心，为的一条中线，则，，故，由勾股定理得，故，同理可知，则此三棱锥的侧面积为.

故答案为：18【相似题4】（2425高二上·上海·阶段练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.【答案】表面积为，体积为．【分析】由圆柱与圆锥的侧面积公式、体积公式计算．【详解】由题意，，，该旋转体是共底面的圆锥与圆柱组合体，表面积为，体积为．所以旋转体表面积为，体积为．【题型五：棱柱的表面积与体积】【知识讲解】表面积：，其中是底面多边形的面积，是各个侧面三角形面积之和。对于正棱锥，若底面周长为，斜高为，则。体积：，其中是棱锥的底面积，是棱锥的高。直棱柱外接球半径公式对于直棱柱，设底面多边形的外接圆半径为，直棱柱的高为，其外接球半径的公式为。特殊直棱柱外接球半径公式应用正三棱柱：设底面正三角形边长为，棱柱高为。因为底面正三角形外接圆半径，所以外接球半径。正四棱柱：设底面正方形边长为，棱柱高为。由于底面正方形外接圆半径，则外接球半径。长方体：长方体可看作特殊的直棱柱，设长方体的长、宽、高分别为、、。此时底面长方形的外接圆直径就是长方体的面对角线，根据勾股定理可得底面外接圆半径，那么外接球半径。这也可以直接根据长方体的体对角线就是外接球的直径推导得出。正方体：正方体是特殊的长方体，设正方体棱长为，则其外接球半径。这是因为正方体的体对角线长为，而体对角线长就是外接球直径，所以半径为。【例题精选】【例题1】（2425高三上·河北沧州·阶段练习）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】

如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，设底边边长，高，则，又正四棱柱的侧面积，正四棱锥的侧面积，则，解得，所以正四棱锥体积，故选：B.【例题2】（2425高二下·云南玉溪·开学考试）已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解.【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2，由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：，则正三棱柱的外接球的半径为，∴球的体积为，又正三棱柱的体积为，∴.故选：A.【例题3】（2425高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（

）A．2 B． C．6 D．【答案】D【分析】根据柱体的体积公式，即可求解.【详解】因为直三棱柱，所以直三棱柱的体积为.故选：D.相似练习相似练习【相似题1】（2425高三下·广东广州·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解.【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设的面积为，则，水的体积，当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为，则有，得，即当底面水平放置时，水面高为9．故选：C．【相似题2】（2425高三上·浙江·期末）已知正三棱柱的侧面积与以的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为.【答案】/【分析】根据两个几何体的侧面积相等列方程，得到等量关系式，进而求得体积比.【详解】设的边长为，外接圆半径为，，圆柱的高为，由正弦定理得，则，正三棱柱的侧面积，圆柱的侧面积，则，解得，则，，.【相似题3】（2425高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴，以所在直线为轴，建立空间直角标系，则，则，因为异面直线与所成角的余弦值为，故，由于，即，解得，故该正三棱柱的体积为，故答案为：【题型六：棱台的表面积与体积】【知识讲解】棱台的定义1.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。棱台的表面积1.棱台的表面积等于各个面的面积之和，即。2.上、下底面的面积：如果棱台的上底面和下底面是相似多边形，设上底面面积为，下底面面积为，上、下底面的相似比为（上底面边长与下底面相应边长的比），则。对于常见的正棱台（由正棱锥截得的棱台），上、下底面是正多边形，可根据正多边形面积公式计算面积。例如，正边形面积公式为（为边长）。3.侧面面积：棱台的侧面是梯形。对于正棱台，设侧面梯形的高为（也称为斜高），上底面周长为，下底面周长为，则侧面积。棱台的体积1.棱台的体积公式为，其中为棱台的高，为上底面面积，为下底面面积。2.这个公式可以通过将棱台补成棱锥，利用棱锥的体积公式推导得出。设大棱锥的高为，小棱锥（被截去的部分）的高为，则。大棱锥体积，小棱锥体积，棱台体积，经过一系列推导可得上述体积公式。设正棱台上下底面均为正边形，上下底面外接圆半径分别为、，棱台的高为，球心到上下底面的距离分别为、，外接球半径为。根据几何关系，有，，且。对于正边形，其外接圆半径与边长有特定的关系，如正三角形，正方形等。通过已知的上下底面边长可求出、。然后利用上述关系联立方程求解。例如，由和可得： 将代入可得： 这是正棱台外接球半径的一个表达式，实际问题中可根据具体数据代入计算。对于非正棱台，一般需要通过更复杂的几何分析或借助空间向量等方法来确定外接球的相关参数【例题精选】【例题1】（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可.【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，且，故，即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，故第二个正四棱台的体积为.故选：C.【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知几何体是三棱台，利用割补法结合台体的体积公式运算求解.【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为，所以．因为，分别是棱，的中点，则，．又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台，则．所以分割之后较大部分的体积为，所以较小部分与较大部分的体积之比为．故选：C．【例题3】（2025·河南·一模）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】根据棱台的体积公式即可求解.【详解】.故选：B.相似练习相似练习【相似题1】（2425高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式计算得解.【详解】正三棱台的上底面积，下底面积，所以此三棱台的体积.故选：B【相似题2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.【详解】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为，所以，该三棱台的体积为，整理可得，因为，解得，如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、，由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上，正的外接圆半径为，正的外接圆半径为，设，若球心在线段上，则，设球的半径为，则，即，解得，不合乎题意；所以，球心在射线上，则，，即，解得.所以，，故该正三棱台的外接球表面积为.故选：D.【相似题3】（2025·宁夏石嘴山·一模）正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正四棱台的体积公式求出正四棱台的高，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】设正四棱台的高为,已知体积、下底面积、上底面积,代入正四棱台体积公式,可得，解得高，取AB的中点,连接OF,取AD的中点,连接OE，如图，以所在的直线分别作轴，建立空间直角坐标系，而，，则顶点,，顶点，直线的方向向量为,，直线的方向向量为，，则，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为:.故选：C.【相似题4】（2425高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为．【答案】/【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积.【详解】如图所示，由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形，取上底下底的中心平面，过作，垂足为，，且，，，所以，所以，故答案为：【相似题5】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为．【答案】/【分析】将其补成正三棱锥，利用相似比可得，则正三棱锥为正方体的一角，再将三棱锥的体积转化为求正方体的体积，求出两个正三棱锥体积再作差即可.【详解】补成正三棱锥，因，，则为三棱锥侧棱的中点，又，则，则由勾股定理可知两两垂直，故该图形为正方体的一角，所以，同理，得，所以正三棱台的体积．

故答案为：课后针对训练【高考真题感悟】课后针对训练一、单选题1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2003·全国·高考真题）如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（

）A． B． C． D．5．（2003·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．8．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．11．（2022·天津·高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（

）A． B． C．27 D．12．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．13．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．14．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．315．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B．1 C．2 D．316．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．二、多选题17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（

）A． B．C． D．18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体三、填空题20．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．21．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为．23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．24．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．参考答案题号12345678910答案DCACBBBBCC题号111213141516171819答案CBCABCCDACABD1．D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.2．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．3．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

4．C【分析】设圆台的母线为，高为，由题可得，然后根据圆台的侧面积公式即得.【详解】设圆台的上下底面半径分别为，圆台的母线为，高为，由题可知，即，所以圆台的侧面积与轴截面面积的比为.故选：C.5．B【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.【详解】根据题意，作图如下：易知△，故可得，即，故可得，故圆锥的内接圆柱的全面积为：.故选：.6．B【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B7．B【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.8．B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.9．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是10．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.11．C【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成.记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为，则，.所以.故选：C.12．B【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.又因为平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因为，所以，所以，在中，因为，所以，所以.故选：B13．C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，则，又，，所以，则，又，，所以，则，在中，，则由余弦定理可得，故，则，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，在中，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.14．A【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取中点，连接，如图，

是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A15．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.16．C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离