高中数学全一册学案（含解析）新人教A版必修5

1.1.1正弦定理

［提出问题］

如图，在中，4=30°,斜边c=2.

问题1：求△力%的其他边和角.

提示：6=60°,Z7—90°,a—l,b--\［3.

问题2：试计算一三,一'一^f勺值，三者有何关系？

sinAsinDsin0

b_#

提示:E=2,三者的值相等.

7iTA=2,sinBsin600

问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？

提示：是.如图，:sinA=-

cf

.a

••,c.

sinA

bb

VsinB=i

csinB

a______b______c__

VsinC=l,

sinAsinBsinC

问题4：在钝角中，6=C=30°,b=木,试求其他边和角.

提示：如图，为直角三角形，f=30°,AC=4

A

3

则AD—之，

BC=3•AB=WZBAC=120°.

问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？

提示：满足.

问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？

提示：成立.

［导入新知］

1.正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即一

sin--sinB-sinC

2.解三角形

一般地，把三角形的三个角4B,。和它们的对边9b,£叫做三角形的元素，已知三

角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.

［化解疑难］

对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.

(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，

它描述了三角形中边与角的一种数量关系.

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.

锁定考向，考题千变不离其宗

已知两角及一边解三角形

［例1］在玄中，已知a=8,6=60°,C=75°,求4b,

［解］1=180°—(8+0=180°-(60°+75°)=45°.

baasinB8Xsin6004r-

由

sinBsinAi得仁不k-=4祸

8X

a_____£asinC8><sin75°4―=4(m+l).

由

sinAsinsinAsin45°

2

."=45°,6=4弧c=4(/+l).

［类题通法］

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；

(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边.

注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特

殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°),再根据上述思路求解.

［活学活用］

在△/6C中，已知c=10,1=45°,430°,解这个三角形.

解：..3=45°,C=30°,

，6=180°—(4+0=105°.

acsin/lOXsin450广

由a=sinC=sin30°-=10^2-

sinAsin

b,csinBlOXsin105°i.0

由

sinBsinb=sinC=-sin30°=20sin75,

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

_4+加

一4

:.b=20X木:乖=54+5乖.

...8=105°,3=1072，b=5木+5乖.

题型二,已知两边及一边的对角解三角形

［例2］根据下列条件解三角形.

(。△胸中，已知6=#,6=60°,c=l；

(2)Z\/比1中，已知c=/，4=45°,a=2.

［解］(1)由正弦定理知

csinB1Xsin600

sinc=~b故430°或C=150°.

\'A+B+C=180°,

.,-<7=150°不符合题意，舍去.

/.J=90°,a=«百+1=2.

故d=2,4=90°,6^30°.

csin4加sin45°术

⑵由正弦定理得sinC=

a22.

故C=60°或r=120°.

csinBmsin75°

当C=60°时，8=75。,b=-=/+l.

sinCsin60°

当，=由时，Q5,，=号限第*

故6=4+l,415°,C=60°或6=/一1,6=15°,

0=120°.

［类题通法］

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判

断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦

值可求两个角，要分类讨论.

［活学活用］

在△/8C中，若c=#,C=—>a=2,求4B,b.

J

e-ac/口.asinCyJ2

解：由—":)得sinA==0.

sinAsin0c2

冗3n

，/=彳或

又,：c>a,

：.OAf

_,JT

*,*只目旨取力=7，

JIJi5n

判断三角形的形状

［例3］在△力回中，sin'J=sin6+sinC,且sind=2sinBcosC,试判断

的形状.

［解］由正弦定理，得sinsinB='^sin(A为△］比外接圆半径)

Vsin34=sir?6+sin，C,

即才=〃+c2,故力=90。.

/.C=90°—B,cosC=sinB.

A2sinBcosO=2sin‘J3=sinA=1.

..R_亚

.♦.6=45°或6=135°（4+6=225°>180°,故舍去）.

.•.△4%是等腰直角三角形.

［类题通法］

1.判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，

从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大

小，从而作出准确判断.

2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三

角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区

别.

［活学活用］

在中，若。=acosC,试判断该三角形的形状.

qb

解：Vb=acosC,—--=27?,（彳为外接圆半径）

sinAsinB

sinB=sinA•cosC.

B—n一（4+0,

Asin（力+0=sinA•cosC.

BPsin/cosC+cos力sin6^=sinA•cosC,

/.cos/sinC=0,

VJ,Ce（0,Ji）,AcosJ=0,

n

为直角三角形.

修补短板，拉分题一分不丢

1.警惕三角形中大边对大角

［典例］在△4K1中，己知a=24，b=2,4=60°,则6=.

［解析］由正弦定理，得sinB—bX^—2,X—V0°<J?<180°,'.B

a2弋32

=30°,或Q150°...”Va,根据三角形中大边对大角可知&V4.•.6=150°不符合条件，

应舍去，.•.6=30°.

［答案］30°

［易错防范］

1

由•后得

S

-

n

1

.

出错

而易

，从

2地

<@=

。=2

而忽视

°,

或150

6=30°

2

舍.

的取

论角

”讨

和定理

内角

和“

角”

对大

“大边

根据

，要

值后

正弦

角的

求出

2.在

破障］

［成功

,求

,/=30°

=2小

,a

6=6

，且

的边

对应

C所

4B,

是角

分别

b,c

，a,

%中

在

值.

ac的

k

3

得

=而下

理导

弦定

由正

解：

n30°

6si

sinA

八b

尸

=

B~~

sin

2,

2小

a

4

知花＞

,6＞a

a=2而

6,

件6=

由条

.

120°

或

=60°

.*.8

.

=90°

-60°

-30°

0°

-6=18

一/

=180°

，＜7

时

8=60°

①当

，

=4（

,c

6=6

2小,

a=

°,

，C=90

7C中

ZX4

在Rt

=24.

4X4/

ac=2

,

=30°

-120°

-30°

°

=180

4-6

0°—

。=18

时，

0°

Q12

②当

.

5=12

*2，

=24

..j

=24

a=c

贝IJ有

=C,

：.A

屈

|01庖

成钢

百炼方

练，

自主演

练］

即时演

［随堂

）

=（

,则〃

=3通

,BC