高中数学人教A版必修第二册课后练习、章末检测卷

第六章平面向量及其应用

高中数学人教A版必修第二册课后练习工平面向量的概念

题组1：夯实基础

1.有下列物理量：①质量;②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有

方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.

答案:C

2.在同一平面上，把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点

所构成的图形是（）

A.一条线段B.一条直线

C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆

解析：由于向量的起点确定，而向量所在直线平行于同一直线，所以随着向量模的变化，向量的终点构

成的是一条直线.

答案：B

3.如图所示，在正三角形ABC中，P,Q,R分别是AB,BC,A7的中点，则与向量而相等的向量是

A.而与丽

B.而与就

C.五电次

D.同与丽

解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此4R与RC都是和PQ相等的向量.

答案：之

4.若|荏|=|而|且瓦？=而，则四边形ABCD的形状为（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：由瓦？=杳知，AB=CD且AB〃CD,即四边形ABC。为平行四边形.又因为|正|=|而|,所以四

边形ABCD为菱形.

答案：C

5.（多选题）设点。是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是（）

A.XO=OCB.BOWDB

C.荏与方共线D.AO=BO

1

解析：如图，：石与元方向相同,长度相等，.：选项A正确；

:句5与丽的方向相反，

.,.B0||DB,选项B正确；

'."AB//CD,.：荏与方共线，

.：选项C正确；

:血与耳5方向不同，

.：A0*BO,.：选项D错误.

答案:ABC

6.如图，四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立

的是（）

A.\AB\=\EF\

B.荏与丽共线

C.丽与丽共线

D.尻与前共线

解析：依题意知，直线BD与EH不一定平行，因此而不一定与前共线，C项错误.

答案：C

7.如图，在△ABC中，NACB的平分线CD交AB于点D.若正的模为2,丽的模为3,同的模为1,

则丽的模为,

解析：如图，延长CD,过点A作BC的平行线交C。的延长线于点E.

因为ZACD=ZBCD=ZAED,

所以I尤I=I荏I.

因为△ADES^BDC,

以，"I而I_I^EI_I^CI

\DB\|BC||BC|

故I而l=|.

E

2

答案：I

8.如图所示，4x3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,

试问：

（1）与荏相等的向量共有几个？

（2）与荏平行且模为近的向量共有几个？

（3）与荏方向相同且模为3注的向量共有几个？

解（1）与向量同相等的向量共有5个（不包括前本身）.

（2）与向量荏平行且模为企的向量共有24个.

（3）与向量荏方向相同且模为3夜的向量共有2个.

题组2:难点突破

1.已知a为单位向量，下列说法正确的是（）

A.a的长度为一个单位长度

B.a与0不平行

C.单位向量都相等

D.a与0不是平行向量

解析：：•已知a为单位向量，.：a的长度为一个单位长度，故A正确；

.'.a与0平行，故B错误；

由于单位向量的方向是任意的，故C错误；零向量与任何向量都是平行向量，故D错误.

答案:A

2.（多选题）如图，在菱形ABCO中，ZMB=120°,则以下说法正确的是（）

B.与血的模相等的向量有9个（不包括四本身）

C.而的模为画模的百倍

D.诙与万?不共线

解析：A项，由相等向量的定义知，与方相等的向量只有沆，故A正确；B项，因为AB=BC=CD=DA=AC,

所以与同的模相等的向量除荏外有9个，故B正确；C项，在RtZ\A。。中，ZDAO=60°,则DO=yM,

所以30=\月。4,故C正确；D项，因为四边形ABC。是菱形，所以而与万彳共线，故D错误.

答案：ABC

3.给出下列四个条件：①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a〃b成

立的条件是.（填序号）

解析：若2=）3,则a与b大小相等且方向相同，所以a〃b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等，而方

向不确定，因此不一定有a〃b;方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a

〃b;零向量与任意向量平行，所以若|a|=0或|b|=0,则a〃B.

答案：①③④

3

4.如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:

①荏，AB,AD,CD,CB,屁都是单位向量；

②南||DE,DE||DC）

③与亚相等的向量有3个（不包括更本身）；

④与荏共线的向量有3个（不包括版本身）；

⑤与向量比大小相等、方向相反的向量为加，CD,BA.

其中正确的是.（填序号）

解析：①由两菱形的边长都为1,故①正确；②正确；③与前相等的向量是前，DC,故③错误；④与濯

共线的向量是丽，~BD,而，故④正确；⑤正确.

答案：①②④⑤

5.己知在四边形ABCD中，AB=DC,&\AB\=\AC\,tanD=>/3,判断四边形ABC。的形状.

解了在四边形ABCD中，AB=DC,

.".ABGDC,

.：四边形ABCD是平行四边形.

「tanD=V3,NB=/D=60°.

又I荏|=|尼I，/△ABC是等边三角形.

.：AB=BC,故四边形ABCD是菱形.

6.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形

的顶点，月」前|步.

（1）画出所有的向量AC;

（2）求|近|的最大值譬小值.

解（1）画出所有的向量就如图所示.

（2）由（1）所画的图知，

①当点C位于点C1或。2时，I近I取得最小值1仔+22=底

②当点C位于点C5或。6时，|前I取得最大值J42+52=同.

I玩I的最大值为屈，最小值为近.

4

高中数学人教A版必修第二册课后练习2向量的加法运算

题组1：夯实基础

1.在四边形ABCO中，AB+AD=AC,则四边形ABC。是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四边形

解析：由平行四边形法则可得，四边形4BCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.

答案：D

2.在边长为1的正方形ABCD中，|同+屁+而|等于（）

A.0B.1C.V2D.3

解析：|卷+前+而|=|而+而|=|而1=1.

答案：B

3.（多选题）已知向量2〃1>,且aW-b,则向量a+b的方向可能（）

A.与向量a的方向相同

B.与向量a的方向相反

C.与向量b的方向相同

D.与向量b的方向相反

解析：：'a〃b,且aW-b,.：a与b共线，它们的和的方向可能与a同向或反向，与b同向或反向.

答案：ABCD

4.如图，在正六边形ABCDEF中，瓦5+丽+而等于（）

「R

A.0

B.'BE

C.AD

D.CF

解析：VCD^AF,

/.BA+CD+FB=BA+AF+FB=O.

答案：A

5.向量（可+M5）+（而+前）+丽化简后等于（）

A.ACB.PA

C.PCD.PM

解析：（PA+MA）+（AO+AC）+0M=PA+AO+OM+MA+AC=PO+OM+lilA+AC=PM+AM+

AC=PA+AC=PC.

答案：C

5

6.如图，在平行四边形ABC。中，写出下列各式的结果:

(1)AB+AD=;

(2)AC+CD+W=;

(3)AB+AD+CD=;

(4)AC+BA+DA=.

解析：(1)由平行四边形法则可知，AB+AD=AC.

(2)AC+CD+'Dd=AD+^d=Ad.

(3)AB+AD+CD=AC+'CD=AD.

(4)AC+BA+^A=BA+AC+^A=BC+DA=O.

答案：(1)前(2)与(3)AD(4)0

7.如图所示，若P为△ABC的外心，且可+而=无，则NACB=

解析：因为P为△ABC的外心，所以PA=FB=PC,因为可+方=正，由向量加法的平行四边形法则可

得四边形PACB是菱形，且/PAC=60°,所以NACB=120°.

答案:120°

8.是否存在a,b,使|a+b|=|aI=Ib|?请回出图形说明.

解存在，如图，04=a,OB=b,

OA=OB=OC,ZAOB=120°,ZAOC=ZCOB=60°.

9.一艘船在水中航行，如果此船先向南偏西30°方向行驶2km,然后又向西行驶2km,你知道此船

在整个过程中的位移吗？

解如图，用正表示船的第一次位移，用而表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知而=前

+CD,

所以而可表示两次位移的和位移.由题意知，在RtZ\ABC中，ZBAC=30°,

则BC多C=l,AB=V3.

在等腰三角形HCD中，AC=CD=2,

所以/D=NDAC=^ZACB=30°,

所以/BHD=60°,AD=2AB=26所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为28

6

km.

题组2:难点突破

1.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（）

A.AB+BC=CAB.AB+AC=^C

C.AC+BA^ADD.AC+AD=DC

解析：因为四边形HBC。是菱形，所以尼+瓦？=元=而，故C项正确.

答案：C

2.（多选题）设a=（荏+而）+（前+万^）,b是任一非零向量，则在下列选项中正确的有（）

A.a//bB.a+b=a

C.a+b=bD.|a+b|<|a|+|b|

解析：：&=（万+近）+（而+而）=前+刀=0,

又b为任一非零向量，；4C正确.

答案：AC

3.如图，已知电线A。与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|FM=24N.绳B。与墙壁垂直，所受

拉力|F2l=12N,则Fi与F2的合力大小为，方向为

解析：以。月，OB为邻边作平行四边彩BOAC,则FI+F2=F,

即瓦?+而=OC,

»]ZOAC=60°,

I市1=24,|前|=|而|=12,.：ZACO=90°,.：\OC\=12y/3.

.：Fi与F2的合力大小为12旧N,方向为竖直向上.

答案：12V3N竖直向上

4.如图所示，已知在矩形ABCD中，|而|=4四,设荏=a,BC=b,~BD=C.WJ|a+b+c|=

解析：a+b+c=AB+BC+BD=AC+JD.

如图，延长BC至E,使CE=BC,连接DE,

；CE=BC=AD,.".CEAAD,

7

.：四边形aCED是平行四边形，

/.AC=DE,.,.AC+BD=DE+~BD=BE,

.*|a+b+c|=\BE\=2|BC\=2|AD\=8V3.

答案：8百

5.如图，在△ABC中，。为重心，D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，化简下列三式:

(DBC+CE+EA;

(2)0E+AB+EA;

(3)荏+厚+方.

解(1质+元+丽=BEA-EA=BA.

(2)0E+AB+^A=OE+lA+AB=OA+AB=~0B.

(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC^AD+DC=AC.

6.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地，然后又从B地按南偏东55°

的方向飞行600km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据：sin37°^0.6).

解设费，前分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行

600km,则飞机飞行的路程指的是|荏|+|前两次位移的和指的是荏+阮=而.依题意，有|荏|

+屈I=800+600=1400(km),NABC=35°+55°=90°.在RtZ\ABC中,I码=J|AB|2+|fiC|2=

V8002+6002=1000(km),其中/BAC=«37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行

的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向约为北偏东72°.

7.在四边形ABC。中，对角线AC与BD交于点。且|屈|=|而|=1,OA+OC=OB+OD=0,cosZ

.求|反+阮|与|而+尻|.

解：福+沆=赤+而=0,r.0A='cd,OB=DO.

.：四边形月BC。是平行四边形.

又|而|=|而1=1,知四边形4BCD为菱形.

又COSNDAB=,ZDABe(0,n),

.：/DAB=60°,/△ABD为正三角形.

.：IDC~}~BC|=|AB+4D|=|AC\=2IAO|=V3,|CD+BC|=|BD\=|AB\=1.

高中数学人教A版必修第二册课后练习3向量的减法运算

8

题组1:夯实基础

1.若。，E,F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()

A.~EF=OF+OEB.IF=0F-0E

C.EF=~OF+OED.EF=~OF-OE

解析：根据向量减法运算，可知B正确.

答案：B

2.如图，已知六边形ABCDEF是一个正六边形，。是它的中心，其中位i=a,OB=b,OC=c,则前=

A.a+b

B.b-a

C.c-b

D.b-c

解析：EF=CB=0B-OC=b~C.

答案：D

3.(多选题)下列能化简为所的是()

A.QC-QP+CQB.AB+(PA+BQ)

C.(AB+PC)+(BA-QC)D.PA+AB-BQ

解析：D项中，PA+AB-BQ='PB-BQ^=PQ.

答案：ABC

4.在矩形ABCD中，|荏I=2,|FCI=4,则I而+石？一尻|=.

解析：在矩形ABC。中，CB+CA-DC=CB+CA+CD=2CA,所以|方+石？一虎|=2|苏f|=4遍.

答案:4V5

5.如图，已知。为平行四边形ABC。内一点，OA=a,OB=b,OC=c,则砺=.

解析：由已知得同=配，则而=瓦?+而=0X+近=%?+方一丽=a+c—B.

答案：a+c-b

6.如图，已知正方形ABC。的边长等于1,AB=a,BC=b,AC=c,试作向量：

BbC

(1)a-b;

(2)a—b+C.

解(1)在正方形ABC。中，&一匕=布一玩=荏一而=丽.连接8。，箭头指向B,即可作出a—B.

9

(2)过B作BF〃月C,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边彩,

.\a+c=AB+AC^AF.

在△ADF中，DF=AF-AD=a-\-c—b=a--b+c,

.：而即为所求.

题组2:难点突破

1.(多选题)下列四式中能化简为而的是()

A.(AB+CD)-CB

B.(AD+l^B)+(BC+CM)

C.(MB+AD)-BM

D.(OC-OA)+~CD

解析：对于A,(AB+CD)~CB=AB+BC+CD=AC+'CD=AD;

对于B,(AD+~MB)+(BC+CM)=AD+~MB+^C+CM=^40+AfC+CM=而+0=而；

对于C,(而+而)一丽=丽+而+而=2而+而，所以C不能化简为而；

,->-->-->-->-->-->-->.-->-->

对于D,(OC-OA)+CD=OC-OA+CD=AC+CD=AD.

答案:ABD

2.平面上有三点A,B,C,设111=荏+就，n=AB-BC,若m,n的长度恰好相等，则有()

A.A,B,C三点必在同一条直线上

B.ZVlBC必为等腰三角形，且/8为顶角

C./XABC必为直角三角形，且NB=90°

D.△ABC必为等腰直角三角形

解析：如图，因为m,n的长度相等，

所以|松+瓦=|四一说|,

即|宿=|而|,

所以ABCD是矩形，故△ABC是直角三角形，且NB=90°.

答案：C

3.已知A,B,C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若瓦?+而=玩+万，则下列结论

正确的是()

A.点P在△ABC内部B.点P在△ABC外部

C.点P在直线AB上D.点P在直线AC上

解析：VPA+PB=PC+AB,

.：PB-PC=AB-PA,

.：CB=AB+AP,CB-AB=AP,即涌=族.

故点P在边AC所在的直线上.

10

答案：D

4.如图，在正六边形ABCDEF中，与市-沆+而相等的向量有.（填序号）

①帚②而;③丽④屁一方+而；+次；一而；荏.

解析：因为四边形ACDF是平行四边形，

所以褊一沆+而=犷+而=而，DE-FE+'CD=CD+DE+EF=CF,CE+BC=BC+CE=

~BE,不一方=）了.因为四边形月BDE是平行四边形，所以荏+荏=而.

综上知与瓦？一加+而相等的向量是①④.

答案：①④

5.如图，在四边形ABC。中，AC=AB+AD,对角线AC与B。交于点。，设褊=a,OB=b,用a和b

表示刀和荷.

解：泥=屈+而，

.：四边形ABCD是平行四边形，

.:点。是DB的中点，也是AC的中点,

.'.AB=0B-OA=b—a,

AD=OD-OA=~OB-0A=-b—A.

6.已知点B是平行四边形ACDE内一点，且荏=a,而为，AE=c,试用a,b,c表示向量方，BC,

屁，而及丽.

解「四边形ACDE为平行四边形，

.".CD=AE=c;

BC=AC—AB=b—a;

BE=AE-AB=c-a;

CE=AE—AC=c—b;

BD=BC+CO=b—a+c.

7.已知。为四边形ABC。所在平面外一点，且向量65,OB,0C,而满足等式51+沉=而+说.作

图并观察四边形A8CD的形状，并证明.

解通过作图（如图）可以发现四边形月BCD为平行四边形.

证明如下：

VOA+OC=OB+OD,

11

/.OA-OB=OD-OC,

.,.BA=CD,

.".ABUDC,

.：四边形ABC。为平行四边形.

8.如图，在。月BCD中，AB=a,AD=B.

(1)用a,b表示AC,DB;

(2)当a,b满足什么条件时，a+b与a-b所在直线互相垂直？

(3)当a,b满足什么条件时，Ia+b|=|a-bI?

(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗？为什么？

角翠(1)4C=AB+24D=a+b,DB=AB-AD=a—B.

(2)由(1)次。，a+b=4C,a-b=DB.

:'a+b与a—b所在直线互相垂直，.'.AC1.BD.

又四边形4BCD为平行四边形，

.：四边形ABCD为菱形，即a,b应满足|a|=|b|.

(3)|a+b|=|a—b|)即14cl=|D8|.

:'矩形的两条对角线相等，

.:当a与b所在直线互相垂直，

即ADJ_AB时，满足|a+b|=|a—b].

(4)不可能.因为0ABCO的两条对角线不可能平行，所以a+b与a—b不可能为共线向量，更不可

能为相等向量.

高中数学人教A版必修第二册课后练习4向量的数乘运算

题组1：夯实基础

1.(多选题)下面四种说法，其中正确的是()

A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a—b)=ma—nib

B.对于实数m,n和向量a,恒有(m—n)a=ma—na

C.对于实数m和向量a,b,若ma=?nb,则a=b

D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n

解析：由数乘向量运算律，得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=/nb,未必一定有a=b,错误.对于

D,若a=0,由ma=na,未必一定有错误.

答案：AB

2.在△ABC中，M是的中点.若荏=a,FC=b,则而?=()

A.1(a+b)B.j(a—b)

C.|a+bD.a+|b

解析：在△ABC中，M是BC的中点，又布=a,j9C=b,

所以前=荏+前=通+^证=+*故选D.

答案：D

12

3.己知向量48=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,贝!J()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线

解析：：'向量BD=BC+CD=2a+4b,AB=a-t-2b,

/.BD=2AB,

即AB,。三点共线.

答案:A

4.已知在中，向量加=文(卷+就)UGR),则点P的轨迹经过△ABC的()

A.垂心B.内心C.外心D.重心

解析：设。为BC中点，»]AB+AC=2AD,

.,.AP=2XAD,即点P在中线A。所在直线上，可知点P轨迹必过△ABC的重心.

答案：D

5.若荏=5e,CD=-7e,EL\AD\=\BC\,则四边形ABC。的形状是.

解析：由已知得

因此而II而，且|荏|W|而|,所以四边形HBCO是梯形.

又因为I而|=|近I,

所以四边形ABCD是等腰梯形.

答案：等腰梯形

6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量(a+加)与(b—3a)共线，则4的值为

解析：由向量共线可得a+Ab=k(b—3a),

即a+Ab=kb—3ka,.：(l+3k)a=(k—A)B.

...(l+3k=0,i

•a,b不共线，解存入=--.

U-A=0,3

套案.—L

a耒.3

7.如图，在△ABC中，D,F分别是BC,AC的中点，AE《AD,AB=a,AC=B.

A

(1)用a,b分别表示向量AE,BF;

(2)求证：B,E,F三点共线.

(1)解：筋=*而+宿曰(a+b),

/•AE=|/D=1(a+b).

rAF=1^4C=1b,ZFF=AF-AB=~a+^B.

⑵证明：由(1)知前=-a+；b,雇=84+荏=—a+,(a+b)=—|a+为=|(—a+gb),

13

」展与前共线.

又BE,BF有公共点B,・：B,E,F三点共线.

8・(1)已知a=3i+2j,b=2i—j,求(gq—h)—(a—，+(2b—a);

⑵已知向量a,b,且5*+2y=a,3x—y=b,求x,y.

ft?(1)原式=1a—b—a+gb+2b—a=(g—1—l)a+(—1+|+2^b=—|B+|B.

:'a=3i+2j,b=2i—j,・：原式=—1(3i+2j)+：(2i—j)=(15+y^i+(-y—j=—|i-・

(2)将3x—y=b两边同乘2,得6x~~2y=2B.

与5x+2y=a相加，得llx=a+2b,

・12n

••x=TTa+TTB-

.：y=3x-b=3(^a+^b)-b=^a-^B.

题组2:难点突破

1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足丙+而+元=0,若实数/满足超+m=痂，

则A的值为（）

3

A.2B.-C.3D.6

解析：AB+AC^PB-PA+PC-PA=PB+PC-2PA.

又对+而+丽=0,即而+同=-尹］，

AAB+AC=-3PA=XAP=~XPA,.：A=3.

答案：C

2.（多选题）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：

''三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中，。，H,G分别

是外心、垂心和重心，。为BC边的中点，下列四个选项中正确的是（）

A.GH=2OGB.G^4+GB+GC=0

C.AH=2ODD.SAABG=SABCG=SAACG

解析：在△ABC中，。，H,G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示.

对于B,根据三角形的重心性质得方+而+无=0,选项B正确；

对于A,C,'."AH//OD,•:△AHGS/XDOG,

・.•G--H--——A"H"=.A..G...../3_

OGODDG

.；GH=20G,AH=2OD,选项A,C正确；

对于D,过点G作GEJ_BC,垂足为E,.'./^DEG^/\DNA,则普=盥=；,「△BGC的面积为SA

/l/V£z/lJ

1111

BGC=^XBCXGE=^xBCXAN=^S&ABC；

14

同理，S&AGC=S△AGBqS4ABC，选项D正确.

答案：ABCD

3.在平行四边形ABCD中，~DE=^EC,JF=FC,若照=浓+〃而，其中九〃《R,贝lj4+〃二

解析：由平面向量的加法运算，有无=荏+而.

因为尼=入族+〃存=入（AD+DE）+〃（AB+~BF）=X（AD+力荏）+〃（荏+而）

♦+〃）荏+0+9而.

所以四+而=（生+〃）存+（A+?而，

即（1屈=（吗-1）标.

VAB,而不共线，

答案：I

4.己知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6AM-AB-2AC=0,且S&ABC=^ABM,则实数A的值

是.

解析：记2前=前.

VAN-AB+2AN~2AC=0,

.'.BN=2NC,SAABC=^SAABN•

••SAABC=3S^ABMf从而有A=3.

答案：3

5.已知在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点（靠近点B）,设荏=a,

^40=B.

（1）用向量a与b表示向量0?;

⑵若云=|就判断C,D,E是否共线，并说明理由.

解(1)：•同=a,AO=b,点A是BC的中点，.:尼=—A.

；.0C=0A+AC=-a—B.

(2)C,D,E不共线.理由如下，假设存在实数;l,使方=19.

".'CE=C0+0E=a+b+^(—b)=a+1b)

15

CD=CB+BD=CB+^BO=CB+^（BA+AO）

=2a+g（-a+b）=|a+|b.

仅4=1,

.：a+|b=A（|a+ib）,.："；此方程组无解，.：不存在实数人满足星疣

；.C,D,E三点不共线.

6.在△ABC中，点P是AB上一点，且而=|8?+：而，。是BC的中点，月。与CP的交点为M,且

CM=tCP,求t的值.

解VCP=1CA+^CB,

.".3CP=2CA+CB,即2浮一2刀=方-配

A

/.2AP=PB,即P为AB的一个三等分点（靠近点A）,如图所示.

7月，M,。三点共线，

.:设成=乂而+(l-x)C;4=|CB+(x-l)^C,

又方=四一蕊.：CM=|AB+g-i)JC.

又CP=4P-4c=,AB-AC,SLCM=tCPf

.：那+修T)太飞无砌.

X_t

(:…解得污.

7.如图，F为线段BC的中点，CE=2EF,DF'AF,设前=a,AB=b,试用a,b表示荏，AD,BD.

解因为CB=b—a,CE=^CF=^CB=1(b—a),

所以荏=AC+CE=1a+1B.

因为AF=g(a+b),所以4D=最49=/(a+b),

所以BD=AD-AB=-(a+b)—b=-a--B.

16

高中数学人教A版必修第二册课后练习5向量的数量积

题组1：夯实基础

1.若p与q是相反向量，且Ip|=3,则p，q等于()

A.9B.0C.-3D.—9

解析：由已知得pq=3xcos180°=—9.

答案：D

2.己知|a|=4,|b|=3,(2a—3b)•(2a+b)=61,则|a+b|=()

A.V13B.V26C.13D.21

解析：由(2a—3b),(2a+b)=61,

得41al2—4ab—3|b|2=61.

将|a|=4,|bI=3代入上式，求得a・b=16.

Ia+b12=(a+b)2=|a12+2ab+|b|2=13,

所以|a+b|=V13.

答案：A

3.在平行四边形ABC。中，AD=1,ZBAD=60°,E为C。的中点.若丽•旅=则AB的长为()

i3

A.-B.1C.-D.2

解析：设AB的长为a,因为而=前，

所以荷•丽=近•丽=近•（近+次）=1尻卜+阮•元=1+1费-cos120°=",解得a=2.

答案:D

4.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且（a—b）_Lb,则a与b的夹角为（）

,IT一爪-2n一5TT

A.-B.-C.-D・—

6336

解析：因为（a—b）_Lb,所以（a—b）,b=ab—b2=0,

所以a-b=b2.设a与b的夹角为0,

所以a与b的夹角为，故选B.

答案：B

5.（多选题）已知a,b,c是三个非零向量，则下列命题中是真命题的有（）

A.|ab|=|a||b|»a//b

B.a,b反向=ab=一|a||b|

C.a±b<=>|a+b|=|a—b|

D.|a|=|b|»|ac|=|bc|

解析：A.Va.b=|a||b|cos9（。为a与b的夹角），

.:由|ab|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos01=1,

,：。=0或m,：a〃b且以上各步均可逆.故命题A是真命题.

B.若a,b反向，则a,b的夹角为IT,Za-b=|aI•|bIcosTT=—|a||b|且以上各步均可逆.故

命题B是真命题.

C.当a_Lb时，将向量a,b的起点移至同一点，则以向量a,b为邻边作平行四边形，则该平行

17

四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a+b|=|a—b|.反过来，若Ia+b|=Ia-b|,则以

a,b为邻边的四边形为矩形，所以有a_LB.故命题C是真命题.

D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a-c|W|b-c|,反过来由

|a，c|=|b，c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题.

答案：ABC

6.己知a,b为共线的两个向量，且|a|=l,|b|=2,则|2a—b|=.

解析:|2a—b|=4a2—4ab+b2=8-4ab.

又a,b为共线的两个向量，设a,b的夹角为。，

则。=0°或180°,当。=0°时，ab=2;

当9=180°B寸，a玉=-2.故|2a—b|=0或4.

答案：0或4

7.如图所示，在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=1,则丽・品的值是

解析：（方法一）正•元=|荏||阮|cos（180°-NB）=~|荏||而|cosNB=一|南||比|^||=一

I而|2=一1.

（方法二）|瓦？|=1,即雨为单位向量，AB-'BC=-BA-BC=-\BA\\BC\COSZABC,

而\BC\cosZABC=\'BA\,

所以荏-BC=一|瓦512=-1.

答案:一1

8.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证：（a—b）J_C.

证明：（a—b）c=ac—bc

=1a||c|cos120°—|b|Ic|cos120

=1xlx(——1xix(—2)=0,

故(a—b)J_C.

9.已知向量a,b满足|a|K0|b|=l.

（1）若a,b的夹角8为会求Ia+bI;

（2）若（a—b），b,求a与b的夹角仇

解(1)由已知，得a,b=|aI|b|cos^=y/2xlx^-=i,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+Ib|2+2ab=2

+1+2=5,所以|a+b|=V5.

(2)因为(a-b)_Lb,所以(a-b)-b=0.

所以a・b—b2=0,即a・b=b2=l,

64、/gab1V2

所以cos0=——r-=-==—,

a\bV22

又6£[0,n],所以63，即a与b的夹角为%

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题组2:难点突破

1.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a~-b|的最大值为()

A.1B.2C.3D.5

222

解析：：，|a|=2,Ib|=1,•*|a—bI(a~b)=Ja~2a-b-l-b=^5—2abf

又a・b£[-2,2],Z|a-b|G[1,3],

.：|a—b|的最大值为3.

答案：C

2.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列四个选项，其中正确的有()

A.ac-bc=(a-b)c

B.(bc)-(ca)b不与c垂直

C.|a|~|b|<|a-b|

D.(3a+2b)•(3a—2b)=9|a|2-4|b|2

解析：根据向量数量积的分配律知，A正确；

因为[(b・c)a—(c・a)b]

=(b-c)•(ac)—(c-a)-(b-c)=0,

所以(bc)a—(ca)b与c垂直，B错误；

因为a,b不共线，所以|a|,|bbIa-b|组成三角形三边，所以|a|一b|成立，C正

确；

根据向量数量积的分配律以及性质知，D正确.

答案:ACD

3.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+Ab与;la+b的夹角为锐角的人的取值范围是

解析：由a+Ab与aa+b的夹角为锐角，得(a+Ab),(/a+b)〉0,即入a?+(入?+i)a力+油2〉0,

从而入2+4入+1〉0,解得入v—2―v”或入〉一2+V3.

当入=1时，a+Ab与4a+b同向，故人的取值范围是(一8,—2—V3)U(—2+V3,1)U(1,+

8).

答案:(—8,—2—V3)U(—2+V3,1)U(1,+°0)

4.如图，在四边形ABCD中，AB=a,