2025长沙中考第一次模拟考试数学试卷

2025长沙中考第一次模拟考试数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中是无理数的是（）A．π2 B．0 C．2272．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（）A．710×103 B．71×106 C．4．下列运算结果正确的是（

）A．4xy-3xy=1 B．-C．(-5)2=-5 5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（

）A．乙班视力值的众数是4.7B．甲、乙两班视力值的平均数相等C．甲、乙两班视力值的中位数相等D．视力值的波动程度甲班大于乙班6．如图，将一块有30°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的长方形纸带边上．另一个顶点A在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角板斜边AB的长为（

）A．4cm B．42cm C．47．在平面直角坐标系中，已知点Mm,3m-8，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（

A．±2 B．±4 C．-2或-4 D．2或48．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是（

）A．a(1+x)2=3aC．a1+2x1+3x=3a9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为y=kx+bk≠0，则下列结论中错误的是（

A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=-10．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，则菱形ABCD的边长为（）A．183 B．163 C．18第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解4x212．已知一元二次方程x2-5x+a=0的一个根是3，则13．在平面直角坐标系中，双曲线y=kx同时经过点Aa,2，B4,a+1，则14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径OQ=25cm，用长为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盘转动过程中，则点P到A15．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若CD=5，AB=12，则△ABD16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22-12，7=三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17．（6分）计算：-118．（6分）先化简，再求值：x2-4x+4x+1÷319．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度MN，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为α=60°和β=37°，测得无人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度MN为多少米？（参考数据：tan37°≈0.75，3≈1.7320．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，H为EC中点，(1)求证：AH⊥BC；(2)若∠B=36°，求∠BAC的度数．21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息解决下列问题：(1)初三（1）班参加这次调查的学生有人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为°；(2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图；(3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的1423．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE=BF．(1)求证：矩形ABCD是正方形；(2)连接BE、EF，若DF2=AF⋅AD24．（10分）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA=3425．（10分）若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx(1)判断y=2x-1与y=3(2)已知：整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=2024x存在“共享函数”y=(m+t)x(3)若一次函数y=x+m和反比例函数y=m2+13x在自变量参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678910AACBDBDDCC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．412．613．-214．60cm/60厘米15．3016．2701三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17．【详解】解：-=4+1-4×3=2．（6分）18．解：x＝x-2＝x-2＝x-2＝2-x2+x，∵x+1≠0，2+x2-x∴x≠-1，x≠±2，∴当x=0时，原式=2-0或当x=1时，原式=2-12+119．【详解】解：∵PA∥∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，（2分）在Rt△PMQ∵∠PQN=90°，∴tan∠PMQ=∴QM=PQtan在Rt△PQN中，∵tan∴QN=PQ∴MN=QN-QM=320-138.4≈182（米）．答：这条河的宽度MN=182米．（6分）20．【详解】（1）如图，连接AE，∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，∴AE=BE∵BE=AC∴AE=AC，∵H为EC中点，∴AH⊥BC；（4分）（2）∵AE=BE，∠B=36°∴∠EAB=∠B=36°∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°∵AE=AC∴∠C=∠AEC=72°∴∠BAC=180°-∠C-∠B=72°．（8分）21．【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人），扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×1640＝144°故答案为：40、144；（2分）（2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），补全条形图如下：；（4分）（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为812＝2322．【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个x+5元，依题意得200x=解得x=20．

经检验，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．（4分）（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型100-a个，∴w=35-25a+∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴当a=20时，wmax=2×20+800=840即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．（8分）23．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，（1分）∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，（2分）在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°BF=AE∴△ABF≌△DAEAAS∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；（4分）（2）证明：如图，由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，（5分）∵正方形ABCD，∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥∴DF=CE，（6分）∵DF∴DFBC=∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF=∠CEB，（8分）∵AB∥∴∠ABE=∠CEB，∴∠ABE=∠DEF．（9分）24．【详解】（1）由题意知，BC=BM，∵∠ABC=66°，∴∠BMC=∠BCM=57°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM=∠ACB-∠BCM=90°-57°=33°；（3分）（2）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AC为过C点的切线，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CE；（6分）（3）连接CD，由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°-∠B，∴tan∠DCB=∴设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，∵tan∠A=∴AD=16x3，∴AB=BD+AD=25x∴AM=AB-BC=10∴S△ACMS△ADE∴S△ADE:25．（10分）若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx(1)判断y=2x-1与y=3(2)已知：整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=2024x存在“共享函数”y=(m+t)x(3)若一次函数y=x+m和反比例函数y=m2+13x在自变量【答案】(1)点P的坐标为：(32，2)或(2)m=2(3)y=x2+mx-(【分析】（1）联立y=2x-1与y=3x并整理得：（2）由题意得1+n=m+t2m+2=10m-t，解得m=n+39t=8n+69，而t<n<8m，故6<n<24，则9<n+3<27，故（3）①当m+6≤-12m时，即m≤-4，x=m+6，函数取得最小值，即(m+6)2+m(m+6)-m2-13=3，即可求解；②当③当m≥0时，函数在x=m处，取得最小值，即可求解．【详解】（1）解：（1）y=2x-1与y=3联立y=2x-1与y=32x解得：x=32或故点P的坐标为：(32，2)或(-1,-3)（2）解：一次函