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多元复合函数的求导法则

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设z

f(u,v,w),u

j(t),v

y(t),w

w(t),则

下页>>>

定理1

如果函数u

(t)及v

(t)都在点t可导

函数z

f(u

v)在对应点(u,v)具有连续偏导数

则复合函数z

f[

(t)

(t)]在点t可导

且有定理1的推广中间变量为一元函数的情形

设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则

定理2

如果函数u

(x

y)

v

(x

y)都在点(x

y)具有对x及y的偏导数

函数z

f(u

v)在对应点(u

v)具有连续偏导数

则复合函数z

f[

(x

y)

(x

y)]在点(x

y)的两个偏导数存在

且有中间变量为多元函数的情形定理1的推广

设z

f(u

v

w)

u

(x

y)

v

(x

y)

w

(x

y)

则下页

设z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

则

例1

解

exy[y

sin(x

y)

cos(x

y)]

eusin

v

1

eucos

v

y

eusin

v

exy[x

sin(x

y)

cos(x

y)]

1

eucos

v

x

设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则下页

设z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

则

设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则讨论

提示

下页下页

设z

f(u

x

y)

且u

(x

y)

则

例2

解

etcos

t

etsin

t

cos

t

v

cos

t+u

et

(sint)下页

解

et(cos

t

sint)

cos

t.引入记号

提示

提示

解

令u

x

y

z,v

xyz,则w

f(u,v).下页

例4

设w

f(x

y

z,xyz),f具有二阶连续偏导数,

应用复合函数求导法则

得

例5

设u

f(x

y)具有连续的偏导数

把转换成极坐标系中的形式

两式平方后相加

得

解u

f(x

y)

f(

cos

sin

)

F(

)

下页

设z

f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分全微分形式不变性

如果z

f(u,v)具有连续偏导数,而u

j(x,y),v

y(x,y)也具有连续偏导数,则下页由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.下页

设z

f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分全微分形式不变性

如果z

f(u,v)具有连续偏导数,而u

j(x,y),v

y(x,y)也具有连续偏导数,则

例6

设z

eusinv,u

xy,v

x

y,利用全微分形式不变性求全微分.

解

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dx

(yeusinv

eucosv)dx

(xeusinv

eucosv)dy

eusinv

eusin

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