2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷（苏教版）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（

）A． B．6 C．3 D．2．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．5．若直线与曲线相切，则（

）A．2 B．e C． D．6．下列说法正确的个数是（

）①动点满足，则P的轨迹是椭圆②动点满足，则P的轨迹是双曲线③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知且，且，且，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（

）A． B．C． D．10．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（

）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B．存在点，使得的长度为4C．椭圆上存在4个不同的点，使得D．内切圆半径的最大值为11．已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（

）A．1 B． C．3 D．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是.13．已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是.14．设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.(1)求圆C的方程：(2)若直线与圆的交点为两点，求.16．（15分）已知函数，.(1)若，求函数的极值；(2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围.17．（15分）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为.(1)求的标准方程；(2)若，求点的坐标；(3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值.18．（17分）已知函数．(1)求的极值；(2)设是函数的导函数，若对任意的，都有，且．①求函数的解析式；②若函数满足，且存在，使得，求证：．19．（17分）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”；(1)若为“3关联数列”，求；(2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有；(3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由．2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（苏教版2019）参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BABACACD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACACDAB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）因为，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的方程为，即，与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；（7分）（2）由（1）知，圆心到直线的距离为圆的半径.（13分）16．（15分）【解析】（1）由，可得，令，解得或，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，（5分）当时，，在上单调递增，所以，；（7分）（2）由，可得，因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，（9分）当时，由，可得，当，由，可得，所以，（13分）又在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为.（15分）17．（15分）【解析】（1）设，则，且，由题意可知：，解得，所以椭圆的标准方程.（3分）（2）由（1）可知：，且，由余弦定理可得，即，解得，（5分）设，由的面积可得，即，解得，（7分）且，则，可得，所以点的坐标为.（8分）（3）因为直线过定点，且点在椭圆C内，则直线与椭圆C必相交，设，联立方程，消去x可得，（11分）则，可得，（13分）则的面积为，解得（负值舍去），所以的值为.（15分）18．（17分）【解析】（1）由函数的定义域为，且，令，可得或，当时，单调递增；当时，单调递减；（3分）当x∈0,+∞时，所以的极大值为，极小值为．（5分）（2）①令，则，所以为常数，所以，可得，解得，所以故.（8分）②由题意知，即，（9分）令，则，又由，且，可得，所以，所以，则，（13分）令，可得，则在上单调递增，且，所以当时，，所以，即，（16分）故.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列，则而且，解得.（3分）（2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列，则而且，解得，根据等差、等比数列的通项公式可得：，所以数列前十项列举为：，则数列前十项列举为：所以数列前十项列举为：通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有，（6分）证明：当时，由数列列举可得，当时，，所以，令，则，即，∴当，即时，取得最小值，∴当时，.所以仍然满足，综上可得：对任意正整数n，都有；（9分）（3）由数列为“r关联数列”，且，则有且，解得，所以数列的通项公式为，而当时，，（11分）当时，，所以，当时，由二次函数对称性计算可得：当时，是一个递增数列，所以要使得，，则有，即满足，（13分）变形得：，当，；当，；当，；（15分）而当时，，而当时，，所以，不可能满足，综合上述使得的k、m为，，，.（17分）2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【解析】由题意可知，，故选：B2．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】由于，，所以，两式相除得，解得或，因为，所以.故选：A.3．已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】运用两点间的斜率公式，，，过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示，直线斜率的取值范围是.故选：B.4．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆：与圆：有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，则，解得：，故选：A.5．若直线与曲线相切，则（

）A．2 B．e C． D．【答案】C【解析】设切点为，则对求导有，故在处切线的斜率为，则由在直线上可得，解得，故.故选：C6．下列说法正确的个数是（

）①动点满足，则P的轨迹是椭圆②动点满足，则P的轨迹是双曲线③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①，表示点与点的距离和为，而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误.②，表示点与点的距离和为，而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误.③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1，当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线；当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确.④，动点满足，则或，表示的是直线在圆外和圆上的部分；表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.所以正确的有0个.故选：A7．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，，且，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以双曲线的离心率为.故选：C.8．已知且，且，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，设，且，变形可得，即，且，变形可得，即，且，变形可得，即，，其导数，在区间上，，则为减函数，在区间上，，则为增函数，其草图如图：则有，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，由，可得，所以，A正确;对于B，由，得，B错误;对于C，由，得的公差为，C正确;对于D，的值不确定，D错误.故选：AC.10．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（

）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B．存在点，使得的长度为4C．椭圆上存在4个不同的点，使得D．内切圆半径的最大值为【答案】ACD【解析】对A，由题意，则，故，解得，故椭圆，则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确；对B，根据椭圆性质可得，即，故，即不存在点，使得的长度为4，故B错误；对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点，易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确；对D，的周长为，设的内切圆半径为，则，故当最大时最大，此时为上下顶点，，则，解得，故D正确.故选：ACD11．已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【解析】由题意可得，则.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，故.故选：AB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是.【答案】【解析】因为圆，即，所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.故答案为：.13．已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意，对于，上存在点关于轴对称的点在上，所以，存在点在上，故，即在上有解，令且，则，所以时，即在上递减，值域为，时，即在上递增，值域为，所以，即.故答案为：14．设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是.【答案】【解析】由题可得，如图，不妨设在轴右侧，将方程与抛物线方程联立：，得，设，在轴同侧，不妨设则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得：，即，由抛物线定义可得，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.(1)求圆C的方程：(2)若直线与圆的交点为两点，求.【解析】（1）因为，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的方程为，即，与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；（7分）（2）由（1）知，圆心到直线的距离为圆的半径.（13分）16．（15分）已知函数，.(1)若，求函数的极值；(2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围.【解析】（1）由，可得，令，解得或，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，（5分）当时，，在上单调递增，所以，；（7分）（2）由，可得，因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，（9分）当时，由，可得，当，由，可得，所以，（13分）又在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为.（15分）17．（15分）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为.(1)求的标准方程；(2)若，求点的坐标；(3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值.【解析】（1）设，则，且，由题意可知：，解得，所以椭圆的标准方程.（3分）（2）由（1）可知：，且，由余弦定理可得，即，解得，（5分）设，由的面积可得，即，解得，（7分）且，则，可得，所以点的坐标为.（8分）（3）因为直线过定点，且点在椭圆C内，则直线与椭圆C必相交，设，联立方程，消去x可得，（11分）则，可得，（13分）则的面积为，解得（负值舍去），所以的值为.（15分）18．（17分）已知函数．(1)求的极值；(2)设是函数的导函数，若对任意的，都有，且．①求函数的解析式；②若函数满足，且存在，使得，求证：．【解析】（1）由函数的定义域为，且，令，可得或，当时，单调递增；当时，单调递减；（3分）当x∈0,+∞时，所以的极大值为，极小值为．（5分）（2）①令，则，所以为常数，所以，可得，解得，所以故.（8分）②由题意知，即，（9分）令，则，又由