2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷二（新高考八省）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且垂直于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．2．如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（

）A． B． C． D．3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（

）A． B． C． D．或4．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（

）A．4 B． C．4或 D．25．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．66．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．97．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形8．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（

）A．999 B．1000 C．1001 D．1002二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（

）A．直线过定点B．若，则C．若两条平行直线与间的距离为，则D．点到直线距离的最大值为10．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（

）A．当时，B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得平面D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为11．已知数列满足，则（

）A．数列为等差数列B．C．D．数列的前2n项和为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知空间向量且与互相平行，则实数的值．13．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为．14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，bn为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与；(2)定义新数列满足，，求前20项的和．16．（15分）已知圆．(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．17．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面(1)证明：平面(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.18．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，求直线的方程；(3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.19．（17分）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”.(1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”;(2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”;(3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值.2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且垂直于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】若直线与垂直，则其斜率为，又该直线过，根据点斜式有，整理得.故选：C2．如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，

连接，所以，因为，所以，所以，故选：B.3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（

）A． B． C． D．或【答案】B【详解】直线是双曲线的一条渐近线，则有，得，故的离心率为.故选：B.4．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（

）A．4 B． C．4或 D．2【答案】A【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得，由等差数列的性质可得，因为2，，，，8成等比数列，所以，解得，又，所以，所以，所以.故选：A.5．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．6【答案】B【详解】，所以点到直线的距离为，所以当时，距离有最小值为.故选：B6．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【详解】∵方程表示圆，∴，即．圆，圆，两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：．若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上，∵圆的圆心为，∴，即，∴，∴当时，取最小值9．故选：D．7．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形【答案】C【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误；对于B，抛物线方程为：，与交于两点，直线方程代入抛物线方程可得，，所以，所以，故B不正确；对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，故C正确；对于D，由B得，，解得或，不妨设，则，所以，，所以不是等腰三角形，故D错误；故选：C8．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（

）A．999 B．1000 C．1001 D．1002【答案】C【详解】∵为正项数列的前项积，，∴当时，，时，，又，∴，即，∴是首项为3，公差为2的等差数列，且.由，得若，则，∴所以，正整数的最小值为1001.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（

）A．直线过定点B．若，则C．若两条平行直线与间的距离为，则D．点到直线距离的最大值为【答案】ABD【详解】由，令，所以直线过定点，故A对；若，所以，故B对；若，则，即，此时，即，，因为直线与间的距离为，所以或15，故C错；由C知，直线过定点，要使点到直线距离最大，则，则点到直线距离的最大值为，故D对；故选：ABD10．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（

）A．当时，B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得平面D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为【答案】AC【详解】对于选项A，当时，，如图所示，

根据平面向量基本定理，此时P在线段上，由于在正方体中，平面，平面，所以，选项A正确；对于选项B，当时，，如图所示，

由平面向量基本定理，此时P在线段上，由图可知，三棱锥当以平面为底面时为定值，但因为顶点P在线段上运动，所以P到底面的高不确定，故三棱锥的体积不是定值，选项B错误；对于选项C，当时，如图所示，

此时，由平面向量基本定理，取AB与中点M，N，则P在线段MN上运动，由图可知，过B点且与平面平行的平面为平面，平面，所以此时平面，又P是MN与交点，即当且仅当P是MN中点时，有平面，故选项C正确；对于选项D，如图所示，

以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，因为，则有，又，所以，所以.于是，，所以的夹角为时有，，解得或，即或都可以使得的夹角为，选项D错误.故选：AC.11．已知数列满足，则（

）A．数列为等差数列B．C．D．数列的前2n项和为【答案】ACD【详解】A选项，①，当时，，当时，②，式子①-②得，故，其中满足，综上，，，所以，，故，数列为等差数列，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，当时，，，C正确；D选项，，数列的前2n项和，D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知空间向量且与互相平行，则实数的值．【答案】2【详解】由条件可知，因为与互相平行，所以，解之得.故答案为：213．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为．【答案】【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由在椭圆上，得，解得，，则椭圆的焦点，，因此，当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点，所以的最大值为.故答案为：14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为．

【答案】【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，则①，②，由①-②得：，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，bn为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与；(2)定义新数列满足，，求前20项的和．【详解】（1）设数列的公差为，数列bn的公比为，则由可得，，（2分）解得：（4分）故（6分）（2）由（1）得，，，（8分）则（13分）16．（15分）已知圆．(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．【详解】（1）圆C的标准方程为:,点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，（2分）①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离直线与圆C相切（4分）(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即（5分）圆心C到直线的距离,由题意,解得,（7分）此时,即,终上所述,直线的方程为x=−1或（8分）（2）设因为为DE的中点,所以,（10分）点E在圆C上,即，即，（13分）所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,（14分）的轨迹的长度为（15分）17．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面(1)证明：平面(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由.【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以（1分）又因为平面ABCD，平面ABCD，所以（2分）因为，且，平面，所以平面（3分）（2）因为平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，（4分）以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，（6分）设平面的法向量为，则，解得，令，则，故（7分）设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为（9分）（3）若存在点P满足题意，则可设点，其中，则，（10分）设平面的法向量为，则，令，则，故（12分）易得平面的一个法向量为，所以，解得或舍去)，（14分）故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为（15分）18．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.

(1)求椭圆的方程；(2)若，求直线的方程；(3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【详解】（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得，（2分）解得，则，（4分）故椭圆的方程为（5分）（2）解：设直线的方程为，，.由消去，整理得（7分）由，得，（8分）则，（9分），（10分）解得或（11分）当时，直线的方程为，此时直线过点；（12分）当时，直线的方程为，满足题目条件所以直线的方程为（13分）（3）证明：因为直线，均不与轴垂直，所以直线：不经过点和，则且，（14分）由（2）可知，，，为定值（17分）19．（17分）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”.(1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”;(2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”;(3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值.【详解】（1）因为，设公差为d，所以，令，则，这时，（2分）即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，.所以，数列是“H数列”（4分）（2）因为数列的前n项和，当n=1时，，所以，（5分）当n2时，，所以，（6分）所以是以1为首项，2为公比的等比数列（7分）所以，（8分）假设数列是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得，当m=1时，有，则n=1；（9分）当m2时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解（11分）所以对任意正整数n，不存在正整数m，使得，所以数列不是“H数列”（12分）（3）依题意，，，（13分）若是“H数列”，则对任意的，都存在使得，即，所以，（15分）又因为，，所以对任意的，，且d<0，则（17分）2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBBABDCC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）设数列的公差为，数列bn的公比为，则由可得，，（2分）解得：（4分）故（6分）（2）由（1）得，，，（2分）则（13分）16．（15分）【详解】（1）圆C的标准方程为:,点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，（2分）①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离直线与圆C相切（4分）(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即（5分）圆心C到直线的距离,由题意,解得,（7分）此时,即,终上所述,直线的方程为x=−1或（8分）（2）设因为为DE的中点,所以,（10分）点E在圆C上,即，即，（13分）所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,（14分）的轨迹的长度为（15分）17．（15分）【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以（1分）又因为平面ABCD，平面ABCD，所以（2分）因为，且，平面，所以平面（3分）（2）因为平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，（4分）以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，（