2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷一（新高考八省）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册（全部）选择性必修第二册4.1-5.2。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列直线中，倾斜角最大的是（

）A． B．C． D．2．在正项等比数列{an}中，，，数列满足，则数列的前6项和是（

）A．0 B．2 C．3 D．53．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（

）A． B．C． D．4．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（

）cmA．30 B．20 C． D．5．已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．是递减数列C．一定有最大值 D．一定有最小值7．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为A． B． C． D．8．定义在0,+∞上的可导函数满足，且，则的解集为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（

）A．若两圆有3条公切线，则B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则C．若两圆公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则10．设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（）A． B．以线段为直径的圆必与准线相切C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值11．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（

）A．平面ABH B．平面C．直线EF与所成的角为30° D．三棱锥的体积最大值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知等差数列的前n项和为，已知，则公差．13．平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为．14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程．16．（15分）已知四棱柱的所有棱长都为2，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.17．（15分）已知(1)求并写出的表达式；(2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值.18．（17分）已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，．(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点．2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+选择性必修第二册4.1-5.2。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列直线中，倾斜角最大的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，显然直线的倾斜角最大.故选：C2．在正项等比数列{an}中，，，数列满足，则数列的前6项和是（

）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】C【详解】解：设正项等比数列{an}因为，，所以公比不为1，所以，解得，所以，所以，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以数列的前6项和为，故选：C3．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】点M在线段OA上，且，又，∵N为BC的中点，.故选：D.4．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（

）cmA．30 B．20 C． D．【答案】A【详解】由题设，大小椭圆的离心率相同，又，∴大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等，设大椭圆的短轴长为2b，则有，∴，即大椭圆短轴长为30cm.故选：A．5．已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，令，得，设，，得，当时，，函数在区间单调递增，当时，，函数在区间单调递减，当时，的最大值为，并且时，gx<0，时，gx如图，画出函数的图象，因为函数只有一个极值点，即与y=gx只有一个交点，且，所以.故选：A6．已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．是递减数列C．一定有最大值 D．一定有最小值【答案】D【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误；对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误；对于D，当时，；当时，，若为奇数，；若为偶数，，而，因此当时，对任意整数，，D正确.7．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为A． B． C． D．【答案】A【详解】设直线的方程为代入抛物线消去，整理得：，则，所以，圆，圆心为，半径为，因为直线过圆心，所以，因为，所以.故选：A.8．定义在0,+∞上的可导函数满足，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则由，即所以当x∈0,+∞时，可知函数在x∈0,+∞单调递减又若，则则的解集为故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（

）A．若两圆有3条公切线，则B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则C．若两圆公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则【答案】ABD【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径，设圆为圆，圆的圆心为，半径，.A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切，所以，A选项正确；B选项，由两式相减并化简得，则，此时，满足两圆相交，B选项正确；C选项，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以，即，则解得或，C选项错误.D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，根据圆的几何性质可知，所以，D选项正确.故选：ABD.

10．设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（）A． B．以线段为直径的圆必与准线相切C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值【答案】AD【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得，所以抛物线的焦点为且，所以A正确；对于B中，如图，当线段过焦点时，过作，取的中点作，可得，此时以线段为直径的圆与准线相切，因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误.对于C中，设，由抛物线得的定义得，所以，当直线过原点时，设，则，此时，可得，当直线为时，可得，不妨设，可得，所以AB的长不是定值，所以C错误；对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确.故选：AD.11．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（

）

A．平面ABH B．平面C．直线EF与所成的角为30° D．三棱锥的体积最大值为【答案】BCD【详解】

因为为正方体，所以，则，，，四点共面，即在平面ABH上，故A错；连接BD，AC，，，，在正方体中，，面ABCD，平面，∴，∵，AC，⊂面，∴BD⊥面，又⊂面，∴，又∵，面，平面，∴．∵，，⊂面，∴⊥面，∵平面，∴，又，，，BD⊂面，∴面，故B正确；取AD中点I，连接FI，EF，EI，，在中，∵F，I分别为，DA的中点，∴，又，∴，∴EF与所成角为∠IFE，在中，，，，∴，∴EF与所成的角为30°，故C正确；当G位于点时，三棱锥的体积最大，故，故D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知等差数列的前n项和为，已知，则公差．【答案】3【详解】解：依题意，得，而，得，故答案为：313．平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为．【答案】【详解】解：依题意类比可得空间中一点到平面的距离.故答案为：14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为．【答案】【详解】如下图，垂直一条渐近线，则，过作，故，又，∴，，又在△中，故，，由双曲线定义知：，则，∴.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程．【详解】（1）设圆C的标准方程为（2分）圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，，解方程组得；（5分）所以圆C的标准方程为（6分）（2）设直线的方程为：，圆心到直线l的距离，（8分）所以，解得或，（12分）所以直线l的方程为或（13分）16．（15分）已知四棱柱的所有棱长都为2，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【详解】（1）证明：设与的交点为，连接，因为，，，所以，所以，（4分）又因为是的中点，所以，另由且，所以平面，（6分）而平面，所以平面平面（7分）（2）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系，（8分）依题意，得，，，，，所以，，，（10分）设平面的法向量为，所以，令，则，即，所以，即直线与平面所成的角的正弦值为（15分）17．（15分）已知(1)求并写出的表达式；(2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值.【详解】（1）由，求导可得，（2分）由，解得，则（5分）（2），求导可得，（8分）由得，故在0,1处的切线斜率，所以在0,1处的切线方程为，化简可得，（12分）令，解得，将其代入切线方程可得，代入得，所以得，解得（15分）18．（17分）已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【详解】（1）证明：..（4分）所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以（7分）（2）因为，所以，（9分），，作差可得，所以（17分）19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，．(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点．【详解】（1）由题意知，（2分）由，（4分），椭圆方程为；（5分）（2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且）则解得，不符合题设；（9分）从而可设直线PQ的方程设为，，则有（12分）由，（舍）或，（15分）当且仅当时，，，∴PQ直线恒过定点（17分）2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷01参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CCDAADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDADBCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．313．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15