谈谈小升初数学试题难点

谈谈小升初数学试题难点（一）

——行程压轴题之比例法

（作者：招仲佳老师）

真正拉分的题目，首先是行程问题，这时近几年最常见的压轴题；其次是一些课外知识点，这部分题目对于没有接触过小奥的学生可能会感到比较棘手；最后是一些几何题，因为几何是大部分小学生的弱项。

个人认为，行程问题的重要性不亚于一篇作文。虽然作文每年必考，行程问题就未必，但从现有的资料来看：

20XX年民校联考的压轴题考的是多次相遇与追及（20分），同一年应元二中入学考试的附加题第1题考了环形跑道的多次相遇问题（15分）；

20XX年小联盟倒数第三题出了一道接送问题，同一年，南沙广外的最后一题是一道结合比例法与方程法的相遇问题，六中课改班有一道与CC班例题类似的火车过桥问题；

2012大小联盟考试的最后一道题目均为行程问题（各10分），而且当中都涉及到分数及比例的内容。

可见，行程问题在小升初压轴题中出现的频率相当高，难度与希望杯、华杯、华附一试相当，如果要在数学考试中立于不败之地，这一关非过不可。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------小推荐：

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例1：早上8点钟，爸爸、妈妈和大明三个人从家里出发去某校参加招生咨询会。因为只有一辆自行车，所以妈妈先步行，爸爸则用自行车载小明到学校，然后再回来接妈妈，已知大明家离学校5公里，自行车的速度是每小时15公里，妈妈步行的速度是每小时5公里，问：妈妈什么时候到达学校?(20XX年小联盟)

分析：对于这道题，大部分同学会分三段来计算：第一步，算出爸爸到学校放下大明所需要的时间，以及妈妈走到的地方;第二步，算出爸爸回头与妈妈合走余下路程所需要的时间及两人相遇地点;最后，算出妈妈坐自行车走完剩下路程所需的时间，然后把三段时间相加。这种方法首先是行得通的，但是比较麻烦，而且这道题涉及分数计算容易出错。

较为快捷的方法是：直接考虑爸爸与妈妈相遇时合走两个全程，时间=5×2÷(5+15)=0.5(小时)，这时妈妈走到5×0.5=2.5(千米)即中点处，剩下2.5千米改为坐自行车，算出余下时间。

当然，解决行程问题最快的方法莫过于用比例法：题目中妈妈与爸爸的速度比为1:3，相遇时妈妈走的路程AC与爸爸走的路程(AB+BC)之比也是1:3，易知C点是AB的中点，妈妈走前一半路程用30分钟，走余下一半路程时速度提高至原来3倍，时间就变成10分钟，总时间40分钟。(用这种方法解题，基本上口算也能得出答案)

总结：解决复杂行程问题的首选方法绝对不是列方程。很多同学解题的时候往往列出大堆方程最后解不出来，这不是因为他们欠缺解方程的能力(如果是这样反而更好办)，深层的原因在于：题目中有些已知条件是隐晦的，也就是所谓的突破口，需要学生去发掘，如果你发掘不出来就会设出过多的未知数，对解题毫无作用，所以列出方程也不会得到很多过程分。

事实上，我还没有见过哪一年的行程压轴题非用方程不可，反而是比例法更加简易和快捷。

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例2：小张从甲地到乙地，如果速度降低10%，那么将延迟1小时到达;如果先走180千米，再把速度提高20%，那么将提早1小时到达.求甲乙两地的距离。(20XX年六中课改班)

解答：如果速度降低，那么原速与下降后的速度比为，原来时间与后来时间的比为，相差1小时，所以用原速走完全程需要小时;同理可得，如果以原速先走千米，再用原速走完余下的那段路程需要小时，所以原速走千米需要(小时)，甲乙两地的距离为(千米)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例3：一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?(中大附中模拟试题)

(不难发现，两道题的解题思路是一致的，不作赘述。)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

比例法在处理分数计算上也有它的独到优势：

例4：(华附入学测试题)客车与货车分别从、两地同时相对开出，已知客车与货车的速度比为4:5，两车在途中相遇后，继续往前行驶，此时货车提速20%，客车的速度不变.再过4小时后，货车到达A地，而客车离B地还有112千米，则A、B两地的距离是多少?

上述方法叫做调整比例法，学校里基本不会讲到。这种方法的好处在于可以把复杂的分数计算变为简单的整数计算，把计算出错的可能性降到最低，尤其适合广大小学生使用。不难发现，在每一年的小升初考试中总有一两道比例、分数应用题可以使用调整比例法秒杀。

再来看看20XX年大小联盟的最后一道附加题，无独有偶，都是行程问题!在大多数的行程问题当中，习惯于运用路程比、时间比、速度比这三个量之间的关系来解决题目的关键问题!-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例5：(20XX年大联盟附加题)客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时，客车行了全程的3/5，货车行了全程的80%。

(1)全程是多少千米?

(2)货车行完全程需要多少个小时?(每小题7分，共14分)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例6：(20XX年小联盟附加题)一条直角三角形跑道，B是直角。边长比是AB:BC:AC=3:4:5的A至B是上坡。B至C是下坡，a，b两人从A点出发，a顺时针，b逆时针，两人上坡速度是4千米/h，下坡速度是6千米/h，平地速度是5千米/h，2.5小时后在D点相遇。问：

(1)b到C后，a是上坡还是下坡?若那时a