小升初奥数第5讲数论综合

第九讲：小升初专项复习（七）——数论综合一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。二、知识与方法归纳数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力，数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”．因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了．任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作．”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“哥德巴赫猜想”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究．小学数学竞赛和小升初择校考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆同余、中国剩余定理等．三、经典例题例1.某自然数除2840，余数是32，这个自然数最小是多少？例2.有四个小朋友，年龄逐个增加一岁，4个人年龄的乘积是3024，问其中年龄最大的一个是几岁？例3.要使4个数的乘积135×975×342×（）的结果最后5位数字全是0，（）内的数最小应是多少？例4.一本陈年老账上记着：88只桶，共□67.9□元。这里□处字迹不清。请把□处数字补上，并求桶的单价。例5.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个七位数最大是多少？例6.一个正整数与1080的乘积是一个完全平方数，求的最小值与这个完全平方数。例7.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.例8.○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.例9.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例10.求360的约数个数，并求出360的所有约数的和。例11.用一个自然数去除300、262、205，得到的余数相同，且不为零。求这个数是多少。例12.满足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小自然数是多少？※例13.商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。问：商店剩下的一箱货物重多少千克？四、重点练习1、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是多少？2、从运动场一端到另一端全长96米，每隔4米插一面红旗，现在要改成每隔6米插一面红旗.问有多少面红旗不必拔出来？3、一次会餐共有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了91瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？4、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。5、1×2×3×4×……×99×100的乘积末尾有多少个零？五、家庭交流内容例1解答提示:这个自然数能整除（2840-32）的约数，那么这个自然数一定是（2840-32）的约数，且必须大于余数32。专家点评:本题解题关键是先转化为整除，再根据“除数一定要比余数大”这一条件来筛选。例2解答提示:遇到几个数的积，首先考虑分解质因数。专家点评:先分解质因数，再搭配成四个连续自然数。例3解答提示:将135,975,342先分解质因数，再配成质因数2与5各5个即可。专家点评:积末尾0的个数由所有因数中所含质因数2与5的对数决定。例4解答提示:将88分解成“8×11”，再分别满足被8整除和被11整除即可。专家点评:本题关键是理解“若b能整除a,c能整除a，且b、c互质，则bc能整除a”，再利用数的整除性来解题。例5解答提示:考虑数的整除性或利用最小公倍数解答。专家点评:本题可分别考虑被5、4、3整除来解答，也可利用被3,4,5的最小公倍数整除进行估值调整。例6解答提示:将3780先分解质因数，再将所有质因数都配成偶数个，然后就可平分成2份组成平均数。专家点评:根据完全平方数的特点进行解答。例7解答提示:理解两数与它们的最大公因数、最小公倍数的关系。专家点评:运用ab=[a,b]×(a,b)来解答本题较为简单。例8解答提示:先将209先分解质因数，再进行奇偶分析，分拆成三个质数，使○×（□+△）=209。专家点评:本题关键是利用分解质因数与奇偶分析来解答。例9解答提示:要三根铁丝将截成相等的小段，并使每小段最长，就是求120,180,300的最大公因数。专家点评:理解最大公因数的概念。例10解答提示:通过分解质因数来解答。专家点评:利用分解质因数，牢记公式。例11解答提示:利用同余的性质解答。专家点评:理解“如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除”与公因数的意义。例12解答提示:因为6-1=5,7-2=5，所以这个数比6,7的公倍数少5，抓住这一点枚举就能很快解答。专家点评:抓住本类题中的“同余或同补”情况，可以更好的对题目进行解答。※例13解答提示:显然，两个客人取走的5箱重量是3的倍数，那么，最后剩下的一箱被3除的余数与六箱货物总和被3除的余数相同，抓住这一特点即可解答。专家点评:利用同余知识解题。第九讲经典例题答案例1、36例2、9例3、400例4、667.92,7.59例5、2012940例6、30,32400