湖南省衡阳市四校2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

湖南省衡阳市四校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列计算结果为的是（

）A． B． C． D．3．抛物线的顶点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（

）A． B．C． D．5．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（

）A． B． C． D．6．如图，，，，，的周长为，则的周长为（

）A．20 B．25 C．35 D．307．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，，，则的长为（

）A． B． C． D．9．生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（

）A． B． C． D．10．如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是．12．如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则．13．若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则．14．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为15．已知的值是10，则代数式的值是．16．如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则．三、解答题17．计算：．18．解方程：．19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)若两个实数根和满足，求k的整数值．20．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．(1)本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人．(2)请将以上两个统计图补充完整．(3)甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．21．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点．(1)以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为；(2)将向上平移个单位长度得到，请画出．22．如图，在中，，D为边上的一点，，．(1)求的长．(2)若，求的值．23．某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元．(1)当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？(2)当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？24．如图，在梯形中，是梯形对角线，．

(1)求证：；(2)以为一边作交边于点，求证：．25．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．(1)直接写出点，，的坐标；(2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标；(3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．《湖南省衡阳市四校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案1．D解：选项A：，故不符合题意，选项B：，故不符合题意，选项C：，故不符合题意，选项D：是最简二次根式，符合题意，故选：D2．CA、原式，不符合题意；B、原式，不符合题意；C、原式，符合题意；D、原式，不符合题意．故选：C．3．B解：抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点坐标在第二象限，故答案为：B．4．A解：根据题意得：，故选：A．5．A解：∵一元二次方程，∴，故选：A．6．B解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵的周长为，即，设的周长为，∴，∴，故选：B．7．A解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是．故选：A．8．B解：，，．，．故选：B．9．B解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，点落在白色区域的频率稳定在左右，估计此二维码中白色区域的面积为．故选：B．10．B解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴是直线，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，∴，故①正确，符合题意；∵，∴，∴，故②不正确，不符合题意；∵当时，，即，故③正确，符合题意；∵点与点B关于对称轴直线对称，∴，∴当时，或，故④正确，符合题意．所以正确的有①③④共3个．故选：B．11．且解：代数式在实数范围内有意义，且，解得：且，故答案为：且．12．解：，，，，，解得：，故答案为：．13．解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，∴，即，，∴．故答案为：14．解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得，故，故，故答案为：．15．/2.5解：根据题意得：，∴，∴,故答案为：.16．16解：如图：连接，设，则，∵，∴，∴，即，则，∵和等高，∴，即，解得：，∵点A在反比例函数的图象上，∴，∵函数图象在第一象限，∴．故答案为：16．17．解：．18．，解：，或，，．19．(1)(2)整数k的值为或0（1）解：，，由已知得，所以；（2）由根与系数得关系可知，，因为，所以，解得，由（1）知，所以，，所以，整数k的值为或0．20．(1)50，300(2)见解析(3)（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人），故答案为：50，300．（2）解：喜欢篮球的学生人数人（人），喜欢绘画的学生所占百分比为，喜欢舞蹈的学生所占百分比为．则补全两个统计图如下：（3）解：由题意，画树状图如下：由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为，答：两人恰好选择同一类的概率为．21．(1)见解析；(2)见解析．（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，∴即为所求；（2）解：如图所示，∴即为所求．22．(1)(2)（1）解：在中，，，．（2）解：，，．．23．(1)当销售单价定为60元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元(2)当销售单价为70元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大（1）解：设销售单价为元，由题意得，解得，，∵该商品的销售单价不能高于元，∴，答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元；（2）设每月获得的利润为元，由题意得：∵，∴当时，随的增大而增大∵，∴当时，，答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大．24．(1)见解析(2)见解析（1），，，，，，；（2）作交边于点，

由（1）得，，又，，，，又，．25．(1)，，(2)(3)（1）解：在中，令得，令