高考数学复习第七章解析几何第7讲抛物线配套理

第7讲抛物线1/27考纲要求考点分布考情风向标1.了解抛物线定义、几何图形和标准方程，知道它们简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解数形结合思想.3.了解抛物线简单应用新课标Ⅰ第8题以求三角形面积为背景，考查抛物线定义及几何性质；新课标Ⅰ第10题考查抛物线定义；新课标Ⅰ第5题以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线几何性质；新课标Ⅰ第20题考查抛物线几何意义及直线与抛物线位置关系，四川考查抛物线焦点；新课标Ⅰ考查直线与抛物线位置关系；新课标Ⅱ考查抛物线定义1.本节复习时，应紧紧围绕抛物线定义、熟练掌握抛物线标准方程、几何图形、简单几何性质及其应用.要善于利用抛物线定义将抛物线上点到准线距离和到焦点距离进行转化.2.因为高考对抛物线这一知识点要求属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为背景试题中渗透考查了数学主要思想，且高考考查基于“多思少算”考虑，所以以抛物线为背景解答题在高考中显著增多，所以我们应重视这一知识点复习2/27

1.抛物线定义

平面上到定点距离与到定直线l(定点不在直线l上)距离相等点轨迹叫做抛物线，定点为抛物线焦点，定直线为抛物线________.准线3/272.抛物线标准方程、类型及其几何性质(p>0)4/27标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1(续表)5/27)C1.已知抛物线C：y＝x2，则(A.它焦点坐标为(504,0)B.它焦点坐标为(0,504) 1C.它准线方程是y＝－

8064D.它准线方程是y＝－5046/27)D2.(年四川)抛物线

y2＝4x焦点坐标是(A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0) D.(1,0)解析：由题意，y2＝4x焦点坐标为(1,0).故选D.3.若抛物线y2＝4x上点M到焦点距离为6，则点M5横坐标是________.

解析：xM＋1＝6⇒xM＝5.7/274.(年陕西)若抛物线

y2＝2px(p>0)准线经过双曲线x2－y2＝1一个焦点，则p＝_______.8/27考点1抛物线标准方程例1：(1)已知抛物线焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点距离为5，则抛物线标准方程为()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝4xD.y2＝－4x

解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点为P(－3，m)，显然开口向左，设y2＝－2px(p>0)，由点P(－3，m)到焦点距

p＝4，故标准方程为y2＝－8x.

答案：B9/27(2)(年新课标Ⅰ)以抛物线C

顶点为圆心圆交C于A.2B.4C.6D.810/27图D46答案：B

【方法与技巧】第(1)题利用抛物线定义直接得出p值能够降低运算；第(2)题主要考查抛物线性质及运算，注意解析几何问题中最轻易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算准确性与技巧性.11/27【互动探究】1.(年新课标Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x焦点为F，A(x0，A.1B.2C.4D.8A

解析：依据抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等

12/27考点2抛物线几何性质

例2：(1)已知点P是抛物线y2＝2x上一个动点，则点P到点(0,2)距离与点P到该抛物线准线距离之和最小值为()

解析：由抛物线定义知，点P到该抛物线准线距离等于点P到其焦点距离，所以点P到点(0,2)距离与点P到该抛物线准线距离之和即为点P到点(0,2)距离与点P到该抛物线焦点F距离之和.显然，当P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值为答案：A13/27

(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2

＝4x上一动点P到直线l1和直线l2

距离之和最小值是()A.2B.3C.11 5D.3716

解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x准线.由抛物线定义知，点P到l2距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到该抛物线焦点F(1，0)和直线l1距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0距离，即dmin＝|4－0＋6| 5＝2.故选A.答案：A14/27在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝

(3)(年新课标Ⅱ)已知

F

是抛物线

C：y2＝8x

焦点，M是C上一点，FM延长线交y轴于点N.若M为FN中点，则|FN|＝____________.

解析：如图D47，不妨设点M

位于第一象限，设抛物线准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A，由抛物线解析式可得准线方程为x＝－2，则|AN|＝2，|FF′|＝4.

|AN|＋|FF′| 2＝3.由抛物线定义有|MF|＝|MB|＝3，结合题意，有|MN|＝|MF|＝3.线段FN长度|FN|＝|FM|＋|MN|＝3＋3＝6.15/27图D47答案：6

【规律方法】求两个距离和最小值，当两条线段拉直(三点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线定义，即点P到该抛物线准线距离等于点P到其焦点距离，进行转换再求解.16/27【互动探究】2.(年浙江)若抛物线

y2＝4x上点

M

到焦点距离为910，则M到y轴距离是_______.

解析：xM＋1＝10⇒xM＝9.17/27考点3直线与抛物线位置关系

x2

4A与B横坐标之和为4. (1)求直线AB斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB方程.例3：(年新课标Ⅰ)设

A，B为曲线

C：y＝

上两点，18/2719/27

【规律方法】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线位置关系，直线与圆锥曲线位置关系是一个很宽泛考试内容，主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中证实问题通常有以下几类：证实点共线或直线过定点、证实垂直、证实定值问题.其中考查较多圆锥曲线是椭圆与抛物线，处理这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想应用.20/27【互动探究】

3.(年新课标Ⅰ)已知

F为抛物线C：y2＝4x焦点，过F作两条相互垂直直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2

与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|最小值为()A.16B.14C.12D.10

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线l1方程为y＝k(x－1)，21/27答案：A22/27

思想与方法 ⊙利用运动改变思想探求抛物线中不变问题 例题：AB为过抛物线焦点动弦，点P为AB中点，A，B，P在准线l射影分别是A1，B1，P1.有以下结论：①FA1⊥FB1；②AP1⊥BP1；③BP1⊥FB1；④AP1⊥FA1.其中正确有()A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：①如图7-7-1(1)，|AA1|＝|AF|，∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥F1F，∠AA1F＝∠A1FF1，则∠AFA1＝∠A1FF1.

同理∠BFB1＝∠B1FF1，则∠A1FB1＝90°，故FA1⊥FB1.23/27|AA1|＋|BB1|②如图7-7-1(2)，|PP1|＝2＝|AF|＋|BF| 2＝|AB| 2，即△AP1B为直角三角形，故AP1⊥BP1.

③如图7­7­1(3)，|BB1|＝|BF|，即△BB1F为等腰三角形，|PP1|＝|PB|，∠PP1B＝∠PBP1.又BB1∥P1P，∠PP1B＝∠B1BP1，则∠PBP1＝∠B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1⊥FB1.④如图7­7­1(4)，同③有