河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，解得，所以，所以.故选：D2.已知向量，且，则的值为（）A.4 B. C.4或 D.2【答案】C【解析】，，两边平方后化简可得或.故选：C3.设为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C.12 D.14【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：A4.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指数函数的单调性可知：，又，所以，故选：B5.函数有且只有三个零点，则的取值可以是（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】令得，当时，，则，令，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以函数在处取得极大值，且，当时，；当时，，则，则时，，为减函数，当时，；综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时.所以的取值可以是.故选：D6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由题：，设，由抛物线定义知：，又为的重心，所以，所以，故选：B.7.已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，所以，所以.设外接圆半径为，则.又平面，且，设三棱锥的外接球半径为，则.所以三棱锥的外接球表面积为：.故选：D8.在中，，为边的中点，且，则的最大值为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】因为为中点，所以，两边平方可得，已知，，则，所以，即，设，，则，令，则，代入可得：，将其看作关于的一元二次方程，因为存在，所以判别式，即，，，，解得，故的最大值为.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.设是随机变量，若，则B.已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6C.二项式展开式中的常数项为D.设是随机变量，若，则【答案】AC【解析】A选项：若，则，A选项正确；B选项：1，2，3，5，6，6，7，9，这组数据已按从小到大排好序，共有8个数据，上四分位数是第百分位数，因为，结果是整数，所以百分位数是这组数据中第6个和第7个数的平均数，为，B选项错误；C选项：二项式的通项为，令，解得，展开式的第四项为常数项，为，C选项正确；D选项：若，则，所以中，，则，D选项错误.故选：.10.已知函数，则（）A.函数最小正周期为B.函数关于点中心对称C.函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称D.函数在上不单调，则的取值范围为【答案】ACD【解析】函数，对于A选项：∵，∴，A选项正确；对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确；对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确；对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确.故选：ACD.11.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（）A.实数为0 B.为定值C. D.【答案】ABD【解析】因为，所以.因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以方程有两个解：故A正确；其中一个根为0，即，另一根：.所以，又方程有3个不等实根，它们分别为，，2.所以.由为定值，故B正确.又.由.当时，，此时，所以只有两个根，与有3个不等实根矛盾，所以.因为，因为，所以，无法确定，故C错误；因为，因为，所以，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共计15分.12.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______．【答案】【解析】由题：，又是第二象限角，所以，所以，故答案为：.13.已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】如图，设为与渐近线的交点，由题意：，，所以Q是线段的中点，所以.又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，所以，所以，所以，所以离心率故答案为：214.现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______．【答案】①.②.【解析】设第个处理器发射的类信号数量记作，则，由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为，即当时，，当时，，则，故当时，，可得，又，所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，当时，上式不成立，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在四棱锥中，底面菱形，．（1）若，证明：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的大小为，求的值．（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，又因为，所以，因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：过作于点，连接，由（1）可知，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，在中，可得，所以，在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以.16.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性．解：（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）函数定义域为，求导得，当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；当时，由，得或；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.17.为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为，被障碍物阻挡的概率为．每成功通过一个区域得6分，每被障碍物阻挡一次扣3分，每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束．（1）若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；（2）记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望.解：（1）在过第4个区域后终止任务且人工智能机器人完成任务，所以机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，故事件概率为.（2）由题意，总得分X的可能值为，前3次都成功通过，此时，则；前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，此时，则；前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，此时，则；前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡，此时，则；前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡，此时，则；前3次都被阻挡，此时，则；所以分布列如下，1815123则.18.已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围；（3）过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值．（1）解：由题得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为；当外切矩形四边所在切线斜率都存在时，则可设切线，联立，则，由题可设切线，同理可得，切线和距离为；由题可设切线，联立，则，由题可设切线，同理可得，切线和距离为；所以由对称性可得矩形面积为，令，当且仅当即等号成立时，所以，则，综上，矩形面积的取值范围为.（3）证明：设切线，联立，则，此时，所以斜率，同理可得，所以为定值.19.数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的