高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质练习含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析：对于A，x应满意x≤2000，故A错；对于B，x，y应满意x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．答案：C2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B或A＞B D．A＞B解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2≥0，所以A≥B.答案：B3．已知0<a<1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，则()A．x>y>z B．z>y>xC．z>x>y D．y>x>z解析：由题意得x＝logaeq\r(6)，y＝logaeq\r(5)，z＝logaeq\r(7)，而0<a<1，所以函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以y>x>z.答案：D4．若a>b>1，0<c<1，则()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc解析：用特别值法，令a＝3，b＝2，c＝eq\f(1,2)得3eq\s\up6(\f(1,2))>2eq\s\up6(\f(1,2))，选项A错误，3×2eq\s\up6(\f(1,2))>2×3eq\s\up6(\f(1,2))，选项B错误，3log2eq\f(1,2)<2log3eq\s\up6(\f(1,2))，选项C正确，log3eq\f(1,2)>log2eq\f(1,2)，选项D错误，故选C.答案：C5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室()A．甲 B．乙C．同时到达 D．无法推断解析：设路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1＝eq\f(\f(1,2)s,v1)＋eq\f(\f(1,2)s,v2)，乙用时t2＝eq\f(2s,v1＋v2)，t1－t2＝eq\f(s,2v1)＋eq\f(s,2v2)－eq\f(2s,v1＋v2)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v1＋v2,2v1v2)－\f(2,v1＋v2)))＝eq\f(（v1＋v2）2－4v1v2,2v1v2（v1＋v2）)·s＝eq\f(（v1－v2）2·s,2v1v2（v1＋v2）)>0，所以甲用时多．答案：B二、填空题6．给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题序号是________．解析：①当c2＝0时不成立．②肯定成立．③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(b2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)b2))>0成立．④当b<0时，不肯定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.答案：②③7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．解析：因为z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，所以3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，所以z的取值范围是[3，8]．答案：[3，8]8．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．假如每辆车坐30人，则最终一辆车不空也不满，则题目中所包含的不等关系为________．解析：设租车x辆，依据题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30（x－1）＜213，,30x＞213.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30（x－1）＜213,30x＞213))三、解答题9．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．因为x≤1，所以x－1≤0，又3x2＋1＞0，所以(x－1)(3x2＋1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因为－1＜a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以a2＞b2＞0.因为a＜b＜0，所以a·eq\f(1,ab)＜b·eq\f(1,ab)＜0，即0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，所以a2＞b2＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).10．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．解：f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logxeq\f(3x,4)，(1)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,\f(3x,4)>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1，,0<\f(3x,4)<1，))即1<x<eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)<0，所以f(x)<g(x)；(2)当eq\f(3x,4)＝1，即x＝eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；(3)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<\f(3x,4)<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1，,\f(3x,4)>1))，即0<x<1，或x>eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)>0，即f(x)>g(x)．综上所述，当1<x<eq\f(4,3)时，f(x)<g(x)；当x＝eq\f(4,3)时，f(x)＝g(x)；当0<x<1，或x>eq\f(4,3)时，f(x)>g(x)．B级实力提升1．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中全部的正确结论的序号是 ()A．①B．①③C．②③D．①②③解析：由a＞b＞1，得0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，又c＜0，所以eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)，①正确；幂函数y＝xc(c＜0)在(0，＋∞)上是减函数，所以ac＜bc，②正确；因为a－c＞b－c＞0，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，③正确．故①②③正确．答案：D2．已知－1＜a＜1，则eq\f(1,a＋1)与1－a的大小关系为________．解析：因为－1＜a＜1，所以1＋a＞0，1－a＞0，即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)，因为0＜1－a2≤1.所以eq\f(1,1－a2)≥1，所以eq\f(1,a＋1)≥1－a.答案：eq\f(1,a＋1)≥1－a3．已知a＞0，b＞0，且m，n∈N*，1≤m≤n，比较an＋bn与an－mbm＋ambn－m的大小．解：an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)＝an－m(am－bm)＋bn－m(bm－am)＝(am－bm)(an－m－bn－m)．因为a＞0，b