2025版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角蝗制及任意角的三角函数学案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第一节随意角、弧度制及随意角的三角函数2024考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。(2)角α的弧度数假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的肯定值是|α|＝eq\f(l,r)。(3)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°。(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2。3．随意角的三角函数(1)定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)。(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角肯定是第一象限角。(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上随意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)。一、走进教材1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。答案－eq\f(5π,4)二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。解析由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，所以2cosθ－sinθ＝2×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(11,5)。答案eq\f(11,5)3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度。答案eq\f(π,3)二、走近高考4．(2024·北京高考)在平面直角坐标系中，eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up17(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up17(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up17(︵))是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是()A．eq\o\ac(AB,\s\up17(︵)) B．eq\o\ac(CD,\s\up17(︵))C．eq\o\ac(EF,\s\up17(︵)) D．eq\o\ac(GH,\s\up17(︵))解析设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得eq\f(y,x)<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是eq\o\ac(EF,\s\up17(︵))。故选C。答案C三、走出误区微提示：①终边相同的角理解出错；②三角函数符号记忆不准；③求三角函数值不考虑终边所在象限。5．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确。故选C。答案C6．若sinα<0，且tanα>0，则α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角。故选C。答案C7．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________。解析如图，由题意知，角α的终边在其次象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－x,x)＝－1。答案－1考点一象限角及终边相同的角的表示【例1】(1)设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)(2024·福州模拟)与－2010°终边相同的最小正角是________。解析(1)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，故eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，eq\f(π,2)＋2nπ<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,4)＋2nπ(n∈Z)，eq\f(θ,2)是其次象限角；当k＝2n＋1时，eq\f(3π,2)＋2nπ<eq\f(θ,2)<eq\f(7π,4)＋2nπ(n∈Z)，eq\f(θ,2)是第四象限角，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，即coseq\f(θ,2)<0，因此eq\f(θ,2)是其次象限角。(2)因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°。答案(1)B(2)150°1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的全部角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角。2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后依据k的可能取值探讨确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置。【变式训练】(1)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________。解析(1)由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，明显有M⊆N。故选B。解析：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N。故选B。(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，所以，所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<α<\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z))))。答案(1)B(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<α<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))考点二弧度制及其应用【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l。若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的面积。解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10，所以S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)。【互动探究】(1)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。(2)若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)·l·R－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)·eq\f(10π,3)·10－eq\f(1,2)·102·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)(2)由已知得，l＋2R＝20。所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad。应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要留意角的单位必需是弧度。2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决。3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形。【变式训练】若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________。解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为eq\r(2)r，所以其圆心角的弧度数是eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2)。答案eq\r(2)考点三三角函数的定义及应用微点小专题方向1：三角函数的定义【例3】(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A．eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(3,5)eq\r(5)(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________。解析(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5)eq\r(5)。故选D。(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，所以cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)。所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))。γ＝eq\f(13,2)，所以sinα＝－eq\f(12,13)。所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3)。答案(1)D(2)－eq\f(2,3)三角函数定义主要应用于两方面1．已知角的终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离，然后用三角函数定义求解三角函数值。特殊地，若角α的终边落在某条直线上，一般要分类探讨。2．已知角α的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题。方向2：三角函数值的符号【例4】(1)使lg(sinθ·cosθ)＋eq\r(－cosθ)有意义的θ为()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)若角α的终边落在直线y＝－x上，则eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________。解析(1)由题意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ为第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ为其次、三象限角或θ在x轴的非正半轴上，所以可知θ为第三象限角。故选C。(2)因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于其次或第四象限。当角α的终边位于其次象限时，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,－cosα)＋eq\f(sinα,cosα)＝0；当角α的终边位于第四象限时，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(－sinα,cosα)＝0。所以eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0。答案(1)C(2)0要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再依据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号。假如角不能确定所在象限，那就要进行分类探讨求解。方向3：三角函数线的应用【例5】函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定义域为________________。解析要使原函数有意义，必需有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))。答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所须要的三角函数线，然后求解。【题点对应练】1．(方向1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－3解析因为P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，所以tanα＝－2。所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(－2＋1,1－－2×1)＝－eq\f(1,3)。故选C。答案C2．(方向2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析由题意知tanα<0，cosα<0，依据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在其次象限。故选B。答案B3．(方向3)若－eq\f(3π,4)<α<－eq\f(π,2)，从单位圆中的三角函数线视察sinα，cosα，tanα的大小是()A．sinα<tanα<cosα B．cosα<sinα<tanαC．sinα<cosα<tanα D．tanα<sinα<cosα解析如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，视察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα。故选C。答案Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))1．(协作例1运用)如图所示，写出终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合(用弧度制表示)。解在0～2π范围内，终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角有两个，分别是eq\f(π,3)和eq\f(4,3)π，即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π。因此，全部与eq\f(π,3)终边相同的角的集合是S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))，全部与eq\f(4,3)π终边相同的角的集合是T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))。所以，终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为S∪T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k