2025年广东省深圳市罗湖区部分学校中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年广东省深圳市罗湖区部分学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求．）1．（3分）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和2．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是（）A． B． C． D．3．（3分）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为（）A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×1084．（3分）一元二次方程x2＝x的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣15．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.16．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，会多二钱；每人出六钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱（）A． B． C． D．7．（3分）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝80°，当BC＝70cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适（）（结果精确到1cm，参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm8．（3分）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，连接CE，若CE⊥DF（）A．2 B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝．10．（3分）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝．11．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）（竖直放置）上成像A′B′．设AB＝36cm，A′B′＝24cm．小孔O到AB的距离为30cmcm．12．（3分）如图，已知∠AOB＝150°．现按如下步骤作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，OB于C，D；②分别以C，以大于长为半径画弧，连接EO交于F，OD长为半径画弧，交OE于点G，DF长为半径画弧，交前弧于点H，则点E到OB的距离为．13．（3分）如图，A，C是反比例函数图象上的点，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E时，k的值是．三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题7分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题12分，共61分）14．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．15．（7分）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息（1）此次被调查的学生共有人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为；（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法16．（7分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）17．（8分）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，销售利润最大？18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF；（3）在（1）的条件下，CF＝2，求⊙O的半径．19．（10分）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l2，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离．当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A＝90°，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝12，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+8与双曲线C1：交于A（2，m）与B两点，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4），路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，此时高架路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？20．（12分）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，AB上，DQ⊥AE于点O，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；②推断：＝（填数值）；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD＝5，AM⊥DN，N分别在边BC、AB上，求的值．（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，

2025年广东省深圳市罗湖区部分学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADC．CCAAC一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求．）1．（3分）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和【解答】解：A、∵3×，∴3和互为倒数；B、∵（﹣2）×2＝﹣4，∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意；C、∵4×（﹣，∴7和﹣不互为倒数；D、∵（﹣2）×，∴﹣6和不互为倒数．故选：A．2．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．选项图形的主视图和左视图不相同；B．选项图形的主视图和左视图不相同；C．选项图形的主视图和左视图不相同；D．选项图形的主视图和左视图相同．故选：D．3．（3分）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为（）A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108【解答】解：5300万＝53000000＝5.3×106．故选：C．4．（3分）一元二次方程x2＝x的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1【解答】解：原方程整理得x（x﹣1）＝0，解得：x2＝0，x2＝3，故选：C．5．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1【解答】解：把表格中的数据从小到大的排序为36.2，36.2，36.4，36.4，一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现4次，处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，故选：C．6．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，会多二钱；每人出六钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可列方程组．故选：A．7．（3分）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝80°，当BC＝70cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适（）（结果精确到1cm，参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm【解答】解：已知∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，如图，AP⊥地面于P，∴AP＝30cm，在Rt△BHC中，BC＝70cm，∴CH＝BC•sin80°＝70×0.98＝68.6（cm），∴坐垫C离地面高度约为68.2+30＝98.6≈99（cm），故选：A．8．（3分）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，连接CE，若CE⊥DF（）A．2 B． C． D．【解答】解：边长为4正方形ABCD中，CE⊥DF，设射线DF交⊙B于点G，∴GC是⊙B的直径，∴GC＝2BC＝2，∴CD＝BC＝4，∠DCG＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠GDC＝∠G，在直角三角形CDG中，由勾股定理得：，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：4x2﹣16＝4（x+2）（x﹣2）．【解答】解：先提取公因数4，然后利用平方差公式分解因式可得：4x5﹣16＝4（x2﹣8）＝4（x2﹣22）＝4（x+7）（x﹣2）．故答案为：4（x+8）（x﹣2）．10．（3分）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝20．【解答】解：由条件可得，，∴α6+β2＝（α+β）2﹣5αβ＝22﹣5×（﹣8）＝20，故答案为：20．11．（3分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）（竖直放置）上成像A′B′．设AB＝36cm，A′B′＝24cm．小孔O到AB的距离为30cm20cm．【解答】解：由题意得：AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，AB＝36cm，A′B′＝24cm，如图，CO交A′B′于点C′，∴OC′⊥A′B′，OC＝30cm，∴，∴，解得OC′＝20（cm），∴小孔O到A′B′的距离为20cm，故答案为：20．12．（3分）如图，已知∠AOB＝150°．现按如下步骤作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，OB于C，D；②分别以C，以大于长为半径画弧，连接EO交于F，OD长为半径画弧，交OE于点G，DF长为半径画弧，交前弧于点H，则点E到OB的距离为3．【解答】解：已知∠AOB＝150°．如图，∴∠IOM＝30°，∵OI＝6，∴，由作图可知OE为∠AOB的角平分线，∠IEO＝∠EOB，∴IE∥OB，∴点E到OB的距离为3，故答案为：3．13．（3分）如图，A，C是反比例函数图象上的点，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E时，k的值是﹣4．【解答】解：设点C的坐标为，则D（m，由条件可得点，则，∴，∵，∴k＝﹣4．故答案为：﹣5．三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题7分，第17题8分，第18题9分，第19题10分，第20题12分，共61分）14．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣3；（2）原式＝＝＝，当时，原式＝．15．（7分）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息（1）此次被调查的学生共有100人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为72°；（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法【解答】解：（1）此次被调查的学生共有15÷15%＝100（人）；研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．故答案为：100；72°；（2）（40÷100）×100%×800＝320（人），答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．（3）A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人﹣男1男4女1女2男2﹣男1男2男6女1男1女2男2男2男7﹣男2女1男2女2女1女5男1女1男5﹣女1女2女5女2男1女6男2女2女2﹣由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，∴刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女）＝．答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．16．（7分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【解答】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝7：6，故可设AB＝5x米，BC＝5x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，∴tan30.96°＝＝7.60，解得：x＝60，经检验，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：该岛礁的高AB为300米．17．（8分）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，销售利润最大？【解答】解：（1）设该商场购进每台A型护眼灯的成本价为x元，则购进每台B型护眼灯的成本价为（x+9）元，由题意得：，解得x＝26，经检验，x＝26是分式方程的解，∴26+5＝35（元），答：该商场购进每台A型护眼灯的成本价为26元，购进每台B型护眼灯的成本价为35元．（2）设每台A型护眼灯升价a元时，销售利润为w元，由题意得：w＝（36+a﹣26）（100﹣2a）＝﹣2（a﹣20）3+1800，∵，∴0≤a＜50，由二次函数的性质可知，在0≤a＜50内，w取得最大值，答：每台A型护眼灯升价20元时，销售利润最大．18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF；（3）在（1）的条件下，CF＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）解：如图，BF即为圆O的切线；．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB．∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°．又∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．∵CE∥AB，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC．在△BCD和△BCF中，，∴△BCD≌△BCF（AAS）．∴BD＝BF；（3）解：CF＝2，BF＝6，∵Rt△BDC≌Rt△BFC，∴CD＝CF＝4，设AB＝AC＝2r，∴AD＝2r﹣7，∵∠ADB＝90°，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：（2r﹣2）5+62＝（2r）2，解得：r＝5，∴⊙O的半径为8．19．（10分）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l2，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离．当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A＝90°，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝12，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+8与双曲线C1：交于A（2，m）与B两点，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4），路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，此时高架路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？【解答】解：（1）在等腰直角三角形BAC中，∠A＝90°，如图1，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴，∵AB＝12，AD＝8，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∴；故答案为：；（2）已知直线l3：y＝﹣x+3与双曲线C1：交于A（5，将点A的坐标代入y＝﹣x+8得：m＝﹣2+3＝6，∴A（2，4），把点A的坐标代入，得：，解得：k＝12，∴双曲线C5的解析式为，联立，得：，即x2﹣2x+12＝0，解得：x1＝7，x2＝6，∴B（8，2），∴；如图3，作FG∥AB只有一个交点，则，整理得：x2﹣bx+12＝2，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×3×12＝b2﹣48＝0，∴或（不符合题意，∴直线FG的解析式为，由，解得：，∴，∴；故答案为：，；（3）如图5，作直线AB∥l4，设AB的解析式为y＝﹣x+b，与双曲线、B，过点O作OP⊥AB于点P，过点A、BF、F，则OP＝80m，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOH＝45°，∴∠POH＝90°﹣45°＝45°，∴△POH是等腰直角三角形，∴，∴，代入y＝﹣x+b，得，解得：，∴，联立得：，解得：或，∴，，∴，∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AE⊥EF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝40m，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．20．（12分）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，AB上，DQ⊥AE于点O，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ＝AE；②推断：＝1（填数值）；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，得到四边形FEPG，EP