高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（教案）

第六章平面向量及其应用

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

一、教学目标

1.掌握向量数乘运算的坐标表示；

2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；；

3.通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1.向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；

2.向量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的问

题。

三、教学过程：

1、复习回顾

（1）若，则。

a(x1,y1),b(x2,y2)ab(x1x2，y1y2)ab(x1x2，y1y2)

（2）已知向量AB，且点A(x1,y1)，B(x2,y2)，(x2x1,y2y1)．

ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)

2.探索新知

问题1.已知a(x,y)，你能推导出a的坐标吗？

生答：因为a(x,y)，所以a(xiyj)xiyj即a(x,y)。

重要结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.

例1.已知a(2,1)，b(3，4)，求3a4b的坐标。

变式训练1：已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为

()

A．－2,1B.1，－2

C．2，－1D.－1,2

λ1＋2λ2＝3，

解：由题意得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)．由

2λ1＋3λ2＝4，

λ1＝－1，

解得故选：D

λ2＝2.

r

变式训练2：若向量a(1,1)，b(1,1)，c(1,2)，则c等于()

1331

A．abB．ab

2222

3113

C．abD．ab

2222

【答案】D

rrr

【解析】因为a(1,1),b(1,1),c(1,2)，设cab，则有

1

12

(1,2)(,)，即，解得，

23

2

13

所以cab，故选：D.

22

问题2.设，若向量共线（其中），你能推导出这两个向量

a(x1,y1),b(x2,y2)a,bb0

的坐标应满足什么关系？

生答：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为

a,bab(x1,y1)(x2,y2)

x1x2

即，

y1y2

问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？

生答：，

x1y2x2y10

重要结论：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：

①a//b(b0)ab(R,b0)；

②且设，（）

a//b(b0)a(x1,y1)b(x2,y2)x1y2x2y10x1,x2,y1,y2R

r

例2.已知向量a2,1,bx,1，若ab与ab共线,则求实数x的值

rr

解：由a2,1，bx,1，则ab(2x,2),ab(2x,0)，

因为ab与ab共线，所以(2x)02(2x)，解得x2

变式训练：已知a(1,2)，b(3,2)．

（1）求证：a，b不共线；

（2）若3a4b(m1)a(2n)b，求实数m，n的值：

（3）若kab与a2b共线，求实数k的值．

解：（1）证明：根据题意，a(1,2)，b(3,2)，

有122(3)，故a，b不共线；

（2）根据题意，若3a4b(m1)a(2n)b，且a，b不共线；

m13m4

则有，解可得；

2n4n2

（3）根据题意，若kab与a2b共线，设(kab)t(a2b)，

kt11

即kabta2tb，则有，则k；故答案为:k．

12t22

问题4：设点P是线段PP上的一点，点P，P的坐标分别为，当P是线

1212(x1,y1),(x2,y2)

段P1P2的中点时，你能推导点P的坐标吗？

xxyy

生答：P(12,12)

22

重要结论：中点坐标公式

若点P，P的坐标分别为，线段PP的中点P的坐标为，则

12(x1,y1),(x2,y2)12(x,y)

x1x2

x

2。

yy

y12

2

例3.已知点A(1,1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平

行与直线CD吗？

解：∵AB(1(1),3(1))(2,4)，CD(21,75)=(1,2)，

又22140，∴AB//CD；