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文档简介

第六章平面向量及其应用

6.2.3向量的数乘运算

一、教学目标

1.让学生理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；

2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表

示结果；

3.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

二、教学重点

1.实数与向量积的定义及几何意义.

2．向量共线的充要条件及其应用。

三、教学过程：

1、情景引入

质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用a表示，那么在同方

向上经过2s的位移所对应的向量可用2a来表示。

问题1：这里，2a如何表示？-2a如何表示？

已知非零向量a，求作aa和(a)(a)．

aaaaa

OABEDC

如图：OBaa2a，CE(a)(a)2a．

问题2：这里，2a是何种运算的结果？

2、探索新知

引出实数与向量的积的定义：

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：

（1）|a||||a|；

（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；

当0时，a0．（让学生自己解释其几何意义）

实数与向量a相乘，叫做向量的数乘

问题：通过几何意义，让学生尝试验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律

2．实数与向量的积的运算律：

（1）(a)()a（结合律）；①

（2）()aaa（第一分配律）；②

（3）（a+b）=ab（第二分配律）．③

例1.已知向量a和向量b，求作向量2.5a和向量2a-3b。

ab

解：如下图【作法】

（1）如图所示，向量2.5a的长度是a的长度的2.5倍，方向与a相反，即AB2.5a．

（2）以Ｏ为起点，分别作OC＝2a，OD＝３b，连结DC，则DC2a3b．

例2计算：（1）4(a-b)-3(a+2b)；（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)

分析：根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题．

解：（1）a10b；（2）13a.

问题：向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？

生答：（1）向量的数乘与实数的乘法的区别：

相同点：这两种运算都满足结合律和分配律．

不同点：实数的乘法的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量．

（2）向量线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似．

例3.判断下列各题中的向量是否共线：

21

（1）a4ee2，be1e2；

1510

（2）ae1e2，b2e12e2，且e1，e2共线．

解：（1）当a0时，则b0，显然b与a共线．

1121

当a0时，be1e2(4ee)a，∴b与a共线．

1041524

（3）当e1，e2中至少有一个为零向量时，显然b与a共线．

当e1，e2均不为零向量时，设e1e2

∴a(1)e2，b(22)e2

若1时，，a0，显然b与a共线．

22

若1时，ba，

1

∴b与a共线．

例4.设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，

若A，B，D三点共线，求k的值。

解：BDCDCB2e1e2)e13e2e14e2

∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，即存在实数，使得ABBD，

即是2e1ke

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