高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：两条平行直线间的距离公式-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA025学科数学年级高二学期一学期

课题两条平行直线间的距离公式

书名：普通高中教科书数学A版选择性必修1

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：年月

教学人员

姓名单位

授课教师佘岩北京汇文中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教育研修中心

教学目标

教学目标：利用点到直线的距离公式推导并掌握两条平行直线间的距离公式；

两条平行直线间距离公式的应用.

教学重点：两条平行直线间的距离公式.

教学难点：两条平行直线间的距离公式的应用.

教学过程

教

学

时间主要师生活动

环

节

通过前面的学习，我们已经得到了两点间距离公式，点到直线的距离公式。

回忆点到直线距离公式是什么？我们如何证明的？

点到直线的距离：

P(x0,y0)l:AxByC0

引|AxByC|

2’d00

言A2B2

为计算点到直线距离，我们采用两类方法。坐标法：利用两点间距离公式，

求点P到直线的垂线段长。向量法：利用直线的方向向量和投影向量的概念

求出点到直线的距离。

对于距离问题，我们还可以研究两条平行直线间的距离.

问题1：如何求解两条平行直线间的距离？

追问1：两条平行直线间的距离的定义是什么？

夹在两条平行直线间的公垂线段的长。

10’追问2：如何确定公垂线段的长？

由于两条平行直线间的垂线段长度相等。所以，两条平行线中，一条直线

上任意一点到另一条直线的距离就是两条平行直线间的距离.

两

条追问3：将两条平行直线放入平面直角坐标系中，已知它们的直线方程，如何

平求它们之间的距离？

行

任取一条直线上的一点P(x,y)，

直o0

线利用点到直线距离公式求该点到另一

间条直线的距离.即，将两条平行直线间

的的距离转化为点到直线的距离。

距

离

问题2：已知两条平行直线AxByC0，AxByC0，求两条直

公12

式线间的距离d？

的

解：在直线AxByC0上任取一点P(x,y)，点P(x,y)到直线

推10000

导

的距离就是两条平行直线间的距离.

AxByC20

|AxByC|

故d002○1

A2B2

因为，在直线上，因此代

P(x0,y0)AxByC10Ax0By0C10

|CC||CC|

入○1，则d1212

A2B2A2B2

这个等式我们也称为两条平行直线间的距离公式.

问题3：公式有什么结构特征？

观察发现公式的分子是两条直线方程常数项差的绝对值，分母与点到直线

距离类似，是直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方.

实际上，公式与纵截距有关。平行直线间距离就是两条直线纵截距对应

向量在直线垂直方向上投影向量的模长.

两例1求下列两条平行直线间的距离.

条

（1）l:3x4y0，l:3x4y10；

平12

行

（2）l:2x7y80，l:6x21y10.

10’直12

线（逐题讲解）

间解：（1）使用两条平行直线间的距离公式需将直线方程化为一般式.

距

将直线3x4y10化为一般式3x4y100

离

的

|010|

应由两条平行直线间的距离公式知d2.

22

用34

所以与间的距离为.

l1l22

（2）与平行，但是未知数系数不等，无法直接用两条平行直线间的距离

l1l2

公式。可将的系数扩大3倍.即：

l1l1:6x21y240

由两条平行直线间的距离公式知

|241|232353

d.

62212353159

23

所以l与l间的距离为53.

12159

在做本题时，我们发现有时需要先判断直线是否平行才能进行后续运算。

问题4：能否由直线一般式方程系数的特征直接判断两条直线的位置关系？

利用斜率判断两直线位置关系，关注的是两条直线系数间的关系。当直线表示

为一般式时，我们同样关注两直线系数间的关系。

已知两条直线，.

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

ACAC

由斜率判断法，若斜率存在，则11，22

l1:yxl1:yx

B1B1B2B2

AACCABCB

此时，若两直线平行，则有12，12.或(11，11)

B1B2B1B2A2B2C2B2

或.

A1B2A2B10,B1C2B2C10

CC

若斜率不存在，两直线平行12或.

B1B20,(C1A2C2A10)

A1A2

故将两种情况统一为：

A1B2A2B10,A1B2A2B10,

两直线平行或.

B1C2B2C10.A1C2A2C10.

例2□的四条边所在直线的方程分别是，

ABCDl1:x4y50

，，，求□的面

l2:2xy80l3:x4y140l4:2xy10ABCD

积.

分析：平行四边形面积等于底乘高.故可以求的长及间的距离.

CDl1,l3

追问1：如何求CD的长？

联立，求坐标.

l1,l2l1,l4C,D

x4y50x4y50

解得C(3,2)；解得D(1,1)

2xy802xy10

|CD|(31)2(21)217

追问2：如何求间的距离？

l1,l3

|514|9