高等数学一阶微分方程教学

第六章常微分方程第一节微分方程基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶高阶微分方程第四节二阶线性微分方程解结构第五节二阶常系数线性齐次微分方程第1页第二节一阶微分方程本节主要内容:一、可分离变量一阶微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程第2页

一、可分离变量一阶微分方程下面介绍几个惯用一阶微分方程基本类型及其解法．一阶微分方程普通形式为

(1)

形式，称(1)式为可分离变量微分方程．其中f(x)只是x函数,g(y)只是y函数.(2)假如一阶微分方程(1)式能够化为形如或第3页这类方程特点是：经过适当整理，可使方程一边只含有一个变量和其微分.第4页第5页这个通解是以隐函数形式给出，也能够显化为得方程通解两边积分解

将方程分离变量，得例1求微分方程

y′-eysinx=0通解．

第6页例2求微分方程通解解

将方程分离变量，有两边积分得故通解为第7页例3求微分方程解

将方程分离变量，有两边积分得通解第8页(3)因为是不为零任意常数，把它记作C，便得到方程通解能够验证C=0时，,它们也是原方程解，所以（3）式中C可设为任意常数．

第9页

解方程中，假如积分后出现对数，理应都需作类似上述讨论．为方便起见，例2可作以下简化处理：两边积分得分离变量后得故通解为其中C为任意常数．第10页两边积分得方程通解解

方程变形后分离变量得，得由初始条件故所求特解为求微分方程例4满足初始条件特解．第11页1.定义微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换,令代入原式可分离变量方程

二、齐次方程分离变量，得第12页解

将方程变形为齐次方程形式例5

求微分方程通解．令,则方程化为第13页分离变量后，得两边积分，得即以代回，得通解第14页例6求解微分方程解第15页微分方程通解为即第16页例7求解微分方程解微分方程通解为第17页解令则代入化简并分离变量两边积分换回原变量或例8第18页利用变量代换求微分方程解解代入原方程原方程通解为第19页三、一阶线性微分方程(5)方程（其中称为一阶线性微分方程，是x已知函数），称为自由项．Q(x)1.Q(x)≡0，方程(5)变为(6)形如方程(6)称为一阶线性齐次微分方程；第20页2.Q(x)≡0，方程(5)变为(7)方程(7)称为一阶线性非齐次微分方程；比如线性;非线性.第21页1.一阶线性齐次微分方程解法齐次方程通解为是可分离变量方程，一阶线性齐次微分方程：分离变量得两边积分得(8)第22页为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数一个原函数，如符号是P(x)一个原函数.说明：第23页常数变易法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法实质:未知函数变量代换.作变换2.一阶线性非齐次微分方程解法形式，其中C(x)是待定函数．第24页积分得一阶线性非齐次微分方程通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第25页非齐次线性方程通解对应齐方程通解=非齐次方程一个特解即非齐通解=齐通解+非齐特解——线性微分方程解结构，是很优良性质。+第26页

原方程即解两边积分，得解法一

用常数变易法：通解．分离变量得先求故例10求微分方程通解。第27页变换常数C1，令，则整理得把y,y′代入原方程，得于是第28页代入得到该非齐次方程通解.把解法二利用通解公式求解，这时必须把方程化成(5)形式．有第29页故第30页例11解求解微分方程第31页例12求微分方程满足初始条件特解.将原方程变形为解第32页所以原方程通解为把初始条件代入上式，得故所求方程特解为第33页例13求解微分方程解将方程变形为这是一个一阶线性微分方程，其中第34页第35页36

内容小结可分离变量