高考全国卷-数学科概率与统计大题试题评析

高考全国卷-数学科概率与统计大题试题评析第1页第2页试题评析：本题以方程根为载体，以概率学中古典概型与几何概型知识为基础，立意新奇，构思精巧，考查平实．考查古典概型及几何概型应用，考查一元二次方程根简单应用，属于基础题．利用古典概型概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含基本事件数，然后利用古典概型概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把全部基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限，后者是无限，二者都是等可能性；在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形随机数产生原理方法，处理问题．主要考查学生函数与方程思想、有限与无限思想、转化与化归思想，考查学生运算能力、抽象能力、抽取利用数据处理能力．本题主要是直接利用数据处理给定实际问题，所以此题是一个水平1概率学问题．本题考查学生基于方程了解，提升处理现实问题能力．利用一元二次方程根条件、古典概型及几何概型思想进行解题，想法精妙而解答扼要．利用方程实根条件衬托古典概型及几何概型随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．该题主要考查学生数据分析（水平1）、数学抽象（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．第3页第4页第5页试题评析：本题是以概率与统计中用样本预计总体知识为基础，考查离散型随机变量分布列和期望；是以统计知识为衬托考查二次函数最值应用，立意新奇，构思精巧，属于中等题，考查平实．利用数学期望及方差公式，求出对应数据，再经过求二次函数最值方法，解出对应投资数值，处理问题．即使包括分段函数，但主要考查随机变量分布列、期望与方差计算以及其实际意义应用，考查学生函数与方程思想、转化与化归思想，考查学生运算能力、逻辑推理能力、抽取应用数据处理能力．本题主要是从搜集众多数据中利用一定方式查找相关数据，再利用数据处理给定实际问题，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，提升处理现实问题能力．利用函数思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合统计中数学期望与方差公式，可求得对应数值，处理问题；利用二次函数最值衬托统计随机现象和处理问题过程，体会其中函数思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出统计问题，在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．该题主要考查学生数据分析（水平1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．第6页第7页第8页试题评析：本题是以统计学中随机变量分布知识为基础，背景朴实，构思精巧，考查平实．考查函数模型选择与应用、函数最值及几何意义、频率分布直方图，利用柱形图数据求出各组频率，结合条件要求，处理问题．考查考生分析问题、处理问题能力，属于中等题．主要考查学生函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想，考查学生运算能力、抽象能力、直观想象能力、抽取利用数据能力．本题主要是利用文字、图表、公式等对数据进行转化、解释，并对数据进行组织、分类、比较和加工，再经过直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，提升处理现实问题能力．利用数形结合思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合函数性质及其应用，可求得对应数值，处理问题；利用图形及函数性质关系衬托统计概率随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出统计问题，在交流过程中，用统计概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1-2）、数学抽象（水平1）、数学运算（水平1）、直观想象（水平1）关键素养．

类似题型：

年理科第18题与文科第18题，依据函数关系式可列出分段函数解析式，充分表达了函数与方程思想，再依据统计100天玫瑰花需求量表格进行求解；年理科第19题与文科第19题第一问，利用已知条件列出分段函数解析式，处理问题，表达出函数与方程思想主要性．第9页3.2.2数据分析中整体思想

数学中整体思想是把问题中某一部分看成一个整体进行处理，能够取得简练解法．从问题整体性质出发，突出对问题整体结构分析和改造，发觉问题整体结构特征，善于用“集成”眼光，把一些式子或图形看成一个整体，把握它们之间关联，进行有目标、有意识整体处理．整体思想方法在代数式化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中补形、捆绑法等都是整体思想方法在解数学问题中详细利用．统计与概率专题普通在求值过程中表达整体思想．第10页第11页第12页试题评析：本题以物理中元件串、并联为载体，以统计学中正态分布知识为基础，表征新奇而内蕴丰富，考查平实．考查正态分布求解等基础知识，蕴含着对正态分布公式使用，主要考查学生整体思想、转化与化归思想，考查学生运算能力、逻辑推理能力、直观能力、抽取利用数据处理能力．本题直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于物理应用了解，提升处理现实问题能力．结合统计中服从正态分布计算公式，处理问题；依靠于图式连接方式，表示数学学科与物理学科知识之间相互交叉，让学生体悟各学科之间知识点交汇形式及其在现实生活中应用．利用统计简单表示随机现象和处理问题过程，体会其中内在思想．在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）、直观想象（水平1）关键素养．第13页第14页第15页第16页第17页第18页3.2.3数据分析中分类思想

恩格斯说：“无数杂乱认识资料得到清理，它们有了头绪，有了分类，彼此之间有了因果联络……知识变成了科学．”任何处理大量经验材料科学研究，都离不开科学分类，不然就如堕烟海，无从下手.在高中统计与概率中，分类思想方法对统计与概率研究有着基础主要性，深入领会分类思想方法是灵活利用其它各种思想方法前提．统计与概率中所包括许多问题（随机现象）最终往往都要经过分类思想方法转化为确定性问题；比如高中概率古典概率问题计算需要应用排列与组合，而排列与组合方法又离不开分类方法数学中分类讨论思想是指假如要研究问题不止一个情况时，则需要分类加以讨论，使得问题得到全方面解答．分类讨论时要选取明确分类标准，分类应该做到不重复、不遗漏．第19页第20页第21页第22页第23页第24页试题评析：本题以计数原理知识为基础，情景简单易懂，利用分步计数原理方法，处理问题．主要考查学生分类思想、转化与化归思想、或然与必定思想；考查学生运算能力、抽取利用数据处理能力．本题直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于排列组合思索习惯，提升处理现实问题能力，结合对两地参加社会实践活动分析，得出不一样选法，再依据分步计数原理，处理问题；利用统计中排列组合语言表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中分类思想．在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年理科填空题第15题，利用乘法分步计数原理方法，将其分为两步情况进行分类讨论，处理问题．在求解过程中充分表示了分类思想，以分类讨论思想将繁琐问题分步讨论，进而处理详细问题．第25页第26页试题评析：本题以古典概型知识为基础，利用列举法计算基本事件及事件发生概率，处理问题，是一个基础题．主要考查学生分类思想、转化与化归思想、或然与必定思想；考查学生运算能力、查找数据处理能力．本题从给定数据中查找相关数据，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计思索习惯，提升处理现实问题能力，结合古典概型概率公式计算，得出试验结果，处理问题；利用概率中古典概型语言表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中转化思想.在交流过程中，用概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年课标Ⅱ卷文科填空题第14题，依据已知条件，将其一一分情况列举进行分类，处理问题．在求解过程中充分表示了分类思想，以分类讨论思想将繁琐问题一一列举讨论，进而处理详细问题．第27页第28页第29页试题评析：本题以随机变量分布知识为基础，背景朴实，构思精巧，考查离散型随机变量分布列和期望，属于中等题．利用样本容量和两种配方优质频数，得到两种配方优质品率估算值，再依据变量对应数，结合变量对应数据和第一问结果写出变量对应频率，写出分布列和数据期望值．主要考查学生分类思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、抽取利用数据能力．本题利用文字、图表、公式等对数据进行转化、解释，并对数据进行组织、分类、比较和加工，再经过直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，提升处理现实问题能力．结合表中数据及公式，可求得对应数值，处理问题；利用频数、频率和样本容量之间关系衬托统计随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出统计问题；在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．第30页3.2.4数据分析中特殊与普通思想

数学中特殊与普通法是利用题设条件和一些已知恒等式，经过适当变形，从而变成更简单问题，使得问题得以处理，在处理过程中表达出特殊与普通思想交换有效性．然而，在概率统计专题中往往利用特殊与普通思想将复杂实际问题简单化，进而求解．第31页第32页第33页试题评析：本题以随机变量分布知识为基础，背景朴实，构思精巧，考查平实．考查函数模型选择与应用、函数最值及几何意义、频率分布直方图，利用柱形图数据求出各组频率，结合条件要求，处理问题．考查考生分析问题、处理问题能力，属于中等题．考查学生特殊与普通思想、数形结合思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、直观想象能力、整理分析数据能力．本题从大量数据中比较、选择所需数据，再确定选择数据是否正确、完整，处理实际问题，是一道水平2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，提升处理现实问题能力．利用分类讨论思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合分布列性质及其应用，可求得对应数值，处理问题；利用图形关系衬托统计概率随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出统计问题，在交流过程中，用统计概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）、直观想象（水平1）关键素养．类似题型：年课标Ⅱ卷理科第18题，结合茎叶图应用及事件之间关系，求得对应数值，在求解时要利用特殊方法将多个复杂事件一一进行求解，处理问题；利用茎叶图关系衬托统计随机现象和处理问题过程，体会其中特殊与普通思想．第34页3.2.5数据分析中数形结合思想

笛卡尔经过创建坐标法，把代数研究方法和几何研究方法相融合，形成了数形结合思想．数学中数形结合是“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究问题化难为易，化繁为简．数形结合思想能够把数问题转化为形问题，也能够把形问题转化成数问题，把代数和几何相结合，比如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在概率与统计中经常结合相关图形将问题简单化，这种方法也是数学中惯用方法之一．第35页第36页试题评析：本题以两个变量线性相关知识为基础，经过观察散点图趋势，可直接得出两个变量之间线性关系．这是一个十分经典例子，掌握它解题方法将很有裨益，经过图形物化表征．考查学生数形结合思想、转化与化归思想；考查学生逻辑推理能力、查找数据处理能力．本题从给定数据中查找相关数据，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于图形分析思索习惯，提升处理数形结合问题能力，结合图1与图2散点图中观察数据展现实状况态，可直接判断出两个变量之间正负相关性．主要考查学生数据分析（水平1）、数学运算（水平1）、逻辑推理（水平1）关键素养．第37页第38页试题解析：从柱形图可知，从年以来我国二氧化碳年排放量基本成递减趋势，所以，二氧化碳年排放量与年份呈负相关．故选D．试题评析：本题以两个变量线性相关知识为基础，背景较新奇，经过观察图形趋势，而且从图中读出信息，处理问题，是一个基础题．主要考查学生数形结合思想、转化与化归思想；考查学生直观能力、抽取利用数据处理能力．本题直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生对柱形图了解，要求学生能从图中读出有用信息，提升处理现实问题能力．结合统计学中两个变量之间相关性关系，得出试验结果，处理问题；利用统计中图表表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中直观想象思想.在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、直观想象（水平1）关键素养．第39页第40页试题评析：本题以几何概型知识为基础，背景新奇．利用几何概型计算公式，经过画出班车时间轴，从图中读出详细信息，处理问题，是一个基础题．主要考查学生数形结合思想、转化与化归思想；考查学生直观能力、抽取利用数据处理能力．本题直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生对随机事件了解，要求学生能从图中读出有用信息，提升处理现实问题能力．结合几何概型计算公式，得出所求概率结果，处理问题；利用图形表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想.在交流过程中，用概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、直观想象（水平1）关键素养．第41页第42页第43页3.2.6数据分析中样本预计总体思想

数学中样本预计总体是统计学基本思想．利用这种思想解题要注意两点：第一，抽取样本要有普遍性，它特征要能够代表总体特征；第二，要善于利用统计学知识分析出样本特征，并利用这个特征合理地预计总体．所以，在概率统计中利用样本预计总体思想，可将大数据问题缩小化，进而调查得出结果．第44页第45页第46页试题评析：本题以独立事件知识为基础，背景新奇，考查平实．利用频率分布直方图性质及应用，经过两地用户满意度评分频率分布直方图看出，B地域用户满意度评分平均值高于A地域用户满意度评分平均值，而B地域用户满意度评分比较集中，A地域用户满意度评分比较分散．再利用互斥事件和独立事件概率来求解．考查考生分析问题、处理问题能力，属于中等题．主要考查学生样本预计总体思想、数形结合思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、抽取利用数据能力．本题是利用文字、图表、公式等对数据进行转化、解释，并对数据进行组织、分类、比较和加工，再经过直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

主要考查学生数据分析（水平1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年课标Ⅰ卷文科第18题，利用频数分布表及频率分布直方图求出数字特征，用样本数字特征预计总体情况，进而处理问题，在求解过程中充分表达样本预计总体思想；年理科/文科解答题第19题，利用简单随机抽样方法得出结果，再经过样本预计总体得以解答详细问题．在求解过程中充分表达了样本预计总体思想主要性；年理科/文科第19题，利用样本式子特征预计总体情况，处理问题，在解答过程中表达了样本预计总体思想．第47页第48页试题解析：由茎叶图可知，以下四个答案任选其二即可：（1）乙品种棉花纤维平均长度大于甲品种棉花纤维平均长度；（2）甲品种棉花纤维长度较乙品种棉花纤维长度更分散（或乙品种棉花纤维长度较甲品种棉花纤维长度更集中）；（3）甲品种棉花纤维长度中位数为307mm，乙品种棉花纤维长度中位数为318mm；（4）乙品种棉花纤维长度基本上是对称，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．第49页试题评析：本题以用样本预计总体知识为基础，属于开放题，答案不唯一，本题极具生活气息，又深含文化内蕴．实则以统计学知识为载体，依靠茎叶图中数据能够计算乙品种棉花纤维平均长度大于甲品种棉花纤维平均长度；经过观察茎叶图中数据分布可知甲品种棉花纤维长度分散程度比乙品种棉花纤维长度分散程度更大，处理问题．主要考查利用茎叶图预计总体特征，属于基础题．答案有各种截然不一样回答，这一表示了现实中决议多样性及其理由多方面性，更含有实际意义，这是数学试题中极少见．主要考查学生样本预计总体思想、数形结合思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、整理分析数据处理能力．本题从大量数据中比较、选择所需数据，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生对茎叶图了解，经过观察茎叶图中数据分布读出有用信息，提升处理现实问题能力．结合统计学中平均值计算公式，处理问题；利用统计中图表表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中直观想象思想．在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1-2）、直观想象（水平1）关键素养．类似题型：年理科第11题/文科第12题，利用测试表数据，求出均值与方程，用样本数字特征预计总体情况，进而处理问题，在求解过程中充分表示样本预计总体思想．第50页第51页第52页试题评析：本题以用样本预计总体知识为基础，背景朴实，考查平实．利用平均数公式，依据A和B两种药观察数据求出其对应平均数，经过比较，得出A药疗效更加好；再依据数据绘制茎叶图，结合图形分布，可知A药疗效更加好．考查考生分析数据、整理数据能力，属于基础题．主要考查学生样本预计总体思想、数形结合思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、整理分析数据能力．本题从大量数据中比较、选择所需数据，再确定选择数据是否正确、完整，处理实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，提升处理现实问题能力．利用数形结合思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合相关公式，可求得对应数值，处理问题；利用茎叶图关系衬托统计随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出概率问题，在交流过程中，用统计大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年文科解答题第19题，利用样本平均数预计总体平均数进行解答，处理问题．在求解过程中充分表达了样本预计总体思想主要性．年课标Ⅱ卷文科第19题，利用茎叶图中数据，求出样本数字特征，以样本频率值预计总体概率；样本平均数、众数、中位数、方差都是样本数字特征，经过对这些样本数字特征分析能够从各个方面对总体作出评价，充分表达出样本预计总体思想．第53页第54页第55页第56页第57页试题评析：本题考查回归分析基础知识，同时为具备一定模型思想学生而设计，检测学生应用意识．利用对数据处理及散点图直观，让学生体验经过建立模型，处理实际问题及预测预计值．考查考生分析问题、处理问题能力，属于中等题．主要考查学生数形结合思想、分类整合思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、抽取利用数据能力．本题利用文字、图表、公式等对数据进行转化、解释，并对数据进行组织、分类、比较和加工，再经过直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1-2数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计知识了解，积累用数学语言表示实际问题经验，提升处理现实问题能力以及应用能力和创新意识．结合已知相关公式，可求得对应数值，处理问题；利用最小二乘法关系衬托统计概率随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想．在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间关联，发觉并提出概率问题，在交流过程中，用统计概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年课标Ⅱ卷理科第19题，依据已经有线性回归方程模型进行解答，进而经过模型特点预测该地域人均纯收入，处理问题．在求解过程中利用已经有模型充分表示了建模思想，以建模思想将实际问题数学化，进而处理详细问题．第58页3.2.8数据分析中或然与必定思想

必定性是指一个必定发生、无法防止趋势，或然性即偶然性则是一个不确定、可能发生也可能不发生趋势．《考试纲领》指出“概率研究是随机现象，研究过程是在“偶然”中寻求“必定”，然后再利用“必定”规律处理“偶然问题，这其中表达数学思想就是或然与必定思想”，所以，高中数学课程体系中，往往经过概率方面知识途释或然与必定思想方法．第59页第60页试题评析：本题以古典概型知识为基础，利用古典概型计算公式，得出所求概率，属于基础题．主要考查学生或然与必定思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、抽取利用数据处理能力．本题直接利用数据处理给定实际问题，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于概率知识了解，提升处理现实问题能力．结合概率中古典概型计算公式，处理问题．利用概率简单表示随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想.在交流过程中，用概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．第61页第62页试题评析：本题以随机变量分布知识为基础，利用二项分布公式，可直接算出不发芽种子数数学期望，再利用数学期望基本公式，即可得出补种种子数数学期望．主要考查学生或然与必定思想、转化与化归思想；考查学生运算能力、搜集查找数据处理能力．本题从给定数据中查找相关数据，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于随机现象思索习惯，提升处理现实问题能力，结合对种子发芽率分析，得出不发芽种子数服从二项分布；利用概率语言表示简单随机现象和处理问题过程，体会其中随机思想.在交流过程中，用概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．第63页第64页试题评析：本题以古典概型知识为基础，表征朴实而内蕴丰富，考查平实．实际上考查古典概型求解等基础知识，利用古典概型公式，处理问题．主要考查学生转化与化归思想、或然与必定思想；考查学生运算能力、逻辑推理能力、搜集查找数据能力．本题给定数据中查找相关数据，是一道水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于概率知识了解，提升处理现实问题能力．结合古典概型计算公式，处理问题．利用概率简单表示随机现象和处理问题过程，体会其中或然与必定思想．在交流过程中，用概率大小来描述日常生活中随机现象．主要考查学生数据分析（水平1）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）关键素养．类似题型：年课标Ⅰ卷文科第3题，利用列举法计算基本事件及事件发生概率，从而求出其概率值，处理问题．在求解过程中利用偶然中存在必定规律解答问题，充分表示了或然与必定思想；年理科/文科第6题，利用古典概型概率公式，经过这两位同学参加同一个兴趣小组存在必定性，从而处理问题，在解答过程中充分表示了或然与必定思想．第65页第66页试题评析：本题以条件概率知识为基础，背景通俗易懂，题目精巧而友好，考查充分而适宜．利用条件概型公式计算事件发生概率，处理问题，是一个基础题．主要考查学生转化与化归思想、或然与必定思想；考查学生运算能力、查找数据处理能力．本题从给定数据中查找相关数据，是一个水平1数据分析关键素养考查试题．

本题考查学生基于统计思索习惯，提升