《创新设计·高考一轮总复习》数学-北师大版(理)第五篇-第1讲-平面向量的概念及其线性运算

第1讲平面向量概念及其线性运算【年高考会这么考】1．在平面几何图形中考查向量运算平行四边形法则及三

角形法则．2．考查平面向量几何意义及共线向量定理应用．第1页考点梳理(1)向量：现有大小，又有_____量叫向量；向量大小叫做向量___．(2)零向量：长度为___向量，其方向是任意．(3)单位向量：长度等于__________向量．(4)平行向量：方向相同或_____非零向量，又叫共线向量，要求：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且_____相同向量．(6)相反向量：长度相等且_____相反向量．1．向量相关概念方向模01个单位相反方向方向第2页2．向量加法与减法向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和运算_______法则___________法则(1)交换律：a＋b＝______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝_____________b＋aa＋(b＋c)三角形平行四边形第3页减法向量a加上向量b_________，叫做a与b差，即a＋(－b)＝a－b_______法则a－b＝a＋(－b)三角形相反向量第4页(1)定义：实数λ与向量a积是一个向量，这种运算叫向量数乘，记作____，它长度与方向要求以下：①|λa|＝______；②当λ＞0时，λa与a方向_______；当λ＜0时，λa与a方向______________；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得_________，则向量b与非零向量a共线．3.向量数乘运算及其几何意义λa|λ||a|相同相反4．共线向量定理b＝λa第5页一条规律普通地，首尾顺次相接多个向量和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点向量．一个结论一个区分向量平行与直线平行不一样，向量平行包含两向量所在直线平行和重合两种情形．【助学·微博】第6页A．有不相等模

B．不共线C．不可能都是零向量

D．不可能都是单位向量解析因为全部零向量都是相等向量，故只有C正确．答案

C考点自测1．若向量a与b不相等，则a与b一定 (

)．A．共线

B．不共线C．共线且同向

D．不一定共线解析当n＝0时，k与m不共线，故选D.答案

D2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k (

)．第7页答案

D第8页答案

A第9页5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.第10页【例1】►给出以下命题：

[审题视点]以概念为判断依据，或经过举反例．考向一平面向量相关概念第11页③正确．∵a＝b，∴a，b长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c长度相等且方向相同，∴a，c长度相等且方向相同，故a＝c.第12页④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b充要条件，而是必要不充分条件．总而言之，正确命题序号是②③.答案②③

准确了解向量基本概念是处理该类问题关键，尤其是对相等向量、零向量等概念了解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效方法．第13页①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等非零向量始点与终点是一个平行四边形四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点两个非零向量不平行．其中全部正确命题序号是________．

【训练1】给出以下四个命题：第14页解析因为零向量与任一向量都共线，命题①中b可能为零向量，从而不正确；因为数学中研究向量是自由向量，所以两个相等非零向量能够在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形四个顶点，所以命题②不正确；向量平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．总而言之，正确命题序号是③.答案③第15页[审题视点]结合图形，灵活利用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算．考向二平面向量线性运算第16页

用几个基本向量表示某个向量问题基本技巧：①观察各向量位置；②寻找对应三角形或平行四边形；③运使用方法则找关系；④化简结果．第17页第18页第19页【例3】►设两个非零向量a与b不共线．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．考向三共线向量定理应用第20页(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.

共线向量定理条件和结论是充要条件关系，既能够证实向量共线，也能够由向量共线求参数．利用两向量共线证实三点共线要强调有一个公共点．第21页第22页第23页【命题研究】经过近三年高考试题分析，平面向量概念和运算时常以选择题、填空题形式出现，有时解答题题设条件也以向量形式给出，命题出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线充要条件，或以向量为载体求参数值．方法优化6——准确把握平面向量概念和运算第24页A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[教你审题]思绪1

依据选项逐一进行排除．思绪2

将模运算转化为数量积形式进行分析．【真题探究】►(·浙江)设a，b是两个非零向量．

(

)．第25页[普通解法](排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.第26页[优美解法](数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b