高一数学新人教版(A版) 必修第1册：函数的零点与方程的解-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA036学科数学年级高一学期第一学期

课题函数的零点与方程的解

书名：高中数学必修一

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师田会永北京汇文中学

指导教师李颖东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.了解函数零点与方程解的关系，了解函数零点存在定理，会判断函数零点个数.

2.通过利用函数的性质来研究方程的解，来培养学生的数形结合思想，数学转化思想.

3.在利用函数的性质来研究方程的解的过程中，发展学生的直观想象，数学运算等核心素养.

教学重点：对函数零点概念的理解.

教学难点：零点存在定理.

教学过程

时间教学环节主要师生活动

方程的根与函数的零点

提问：求方程x22x30的根，并画出函数f(x)x22x3的图象，并

一、引入

思考这二者之间什么关系？

学生活动：二次函数与横轴的交点横坐标为方程的根；

设计意图：用函数的观点看待方程,把方程的解理解为"使函数值为0的自变量",建

立了二者之间的内在联系.进一步引出函数零点的概念.

函数零点的概念：对于函数yf(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数

yf(x)的零点.

例1：求下列方程的解并进一步说明相应函数的零点

1

（1）x2x1=0（2）x=0

x

（3）lnx2x60（4）x2x2x6=0

解：（1）由于方程x2x10的判别式小于零，从而此方程没有解，也说明函数

f(x)x2x1没有零点.

二、零点定义

与例题1

（2）为求方程x0的根，可以通过适当地变形转化为二次方程求根，可得

x

1

方程的解为x1，从而也可以说明函数f(x)x有零点，且零点为1.

x

（3）和（4）没有求根公式可以应用，引导学生思考如何借助函数来研究相应方程

的解。

设计意图：通过上面具体的例子让学生体会方程的解与函数的零点，前两个例子可

以通过代数运算求得方程的解，但对于较复杂的方程，我们又要怎样研究它的解

呢？

提问：判断函数f(x)lnx2x6有没有零点.

设计意图：通过上面的例子，已经知道方程lnx2x60的解目前没有好的

办法进行处理，对于比较复杂的方程，引导学生思考如何借助函数来研究它的

解.

这里主要应用两个办法，第一是借助函数图象，进行直观的观察函数的零

三、零点存在

点；

定理

第二是借助函数的零点存在定理.为了得到零点存在定理，先让学生完成下

面的问题.

请同学们再画出一些有零点的函数图象和一些没有零点的函数图象.并思

考函数yf(x)在什么条件下有零点，什么条件下无零点.

学生活动：无零点：图象在x轴上方或下方，函数值恒正或恒负.有零点穿

过x轴.

简化为只研究图象连续不间断的情况

进一步提问：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条

曲线，你认为函数yf(x)在什么条件下有零点？

学生活动：图象在x轴上方、下方都存在，函数值有正或有负.

设计意图：引出零点存在定理

零点存在定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲

线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数yf(x)在区间（a,b）内有零点.

例2：函数f(x)lnx2x6在以下那个区间一定存在零点？为什么？

A(0,1)B(1,e)C(e,3)D(3,4)

解：由于f(1)0,f(e)0，且函数f(x)lnx2x6在定义域内连续，利

用零点存在定理可得：函数f(x)lnx2x6在(1,e)内有零点.

上面问题利用零点存在定理解决了函数零点存在的问题，当然也就解决了相应

方程解的问题，那么要如何解决函数零点个数问题？

对例2继续追问：

函数f(x)lnx2x6有几个零点？为什么？

学生活动：加入单调性的条件.至此，我们解决了函数零点的存在性与唯一性

的问题.

分析：判断函数f(x)lnx2x6单调性，易见这个函数在其定义域内为递

四、零点个数增函数，从而此函数在定义域内有唯一零点.

推论：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间

[a,b]上具有单调性，且f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间[a,b]上

有唯一零点.

提问：如何解决一般函数yf(x)的零点个数问题.

学生活动：讨论得出结果.（分段单调）

总结：以上过程对零点的定义，零点的存在性，零点的个数，寻找零点的位置