2025年春北师版数学八年级下册 1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定 教案

1.2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定教学内容第1课时直角三角形的性质与判定课时1核心素养目标1.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力，2.证明直角三角形的性质定理及判定定理.3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.4.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.知识目标1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．教学重点学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.教学难点学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知当堂练习，巩固所学创设情境，导入新知问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？1.直角三角形的两个锐角互余.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.师生活动：学生举手回答问题.师：这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.小组合作，探究概念和性质知识点一：直角三角形的性质与判定问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？证明：△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.师生活动：小组内交流讨论后写出证明过程小组长检查.问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？∵∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°.∴△ABC是直角三角形.师生活动：小组内交流讨论后写出证明过程小组长检查.师生总结：定理1直角三角形的两个锐角互余.定理2有两个角互余的三角形是直角三角形.上面两个定理的条件和结论有什么关系？知识点二：勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.（提前给小组长安排任务：在网上查阅赵爽弦图，毕达哥拉斯证法，课堂上让小组长给大家分享讲解证明方法.）证明欣赏证法1毕达哥拉斯证法证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab，S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×eq\f(1,2)ab+c2=c2+2ab，∴a2+b2+2ab=c2+2ab.∴a2+b2=c2.证法2赵爽弦图大正方形的面积可以表示为；也可以表示为．∵c2=4×eq\f(1,2)ab+(b-a)2c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，∴a2+b2=c2.勾股定理反过来，怎么叙述呢？如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个命题是真命题吗？为什么？师生活动：引导学生写出已知和求证的条件，然后一起探究求证.例1证明此命题：已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB2.求证：△ABC是直角三角形．分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？证明：作Rt△DEF，使∠E=90°，DE=AC，FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知)，DE=AC，FE=BC(作图)，∴AB2=DF2.∴AB=DF.∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠C=∠E=90°.∴△ABC是直角三角形．归纳总结：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)知识点三：互逆命题与互逆定理合作探究：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.说出下列命题的条件和结论：如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.观察上面三组命题，你发现了什么？师生活动：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系.让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果...那么....”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题.活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.归纳总结：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.想一想：你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.举特例：原命题：2=2，22=22；逆命题：(2)2=(-2)2，2≠-2.此原命题是真命题；逆命题是假命题.师生活动：学生先独立思考，然后小组交流想法，保证学生的参与度，最终派代表对问题进行讲解.练一练：1.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.师生活动：学生先独立思考，然后学生代表回答问题并进行讲解，得答案：内错角相等，两条直线平行.成立如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.不成立教师引导学生总结.归纳总结：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.如：“定理1与定理2”“定理3与定理4”都为互逆定理.注意：(1)命题有真有假，而定理都是真命题；(2)每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；(3)原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.当堂练习，巩固所学1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为()A.4cm B.5cmC.6cmD.10cm2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.(1)同旁内角互补，两直线平行.(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.设计意图：从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲.设计意图：从角的角度研究直角三角形的性质和判定方法，得到下面的性质定理和判定定理.这两个定理的证明比较简单，应鼓励学生独立证明，下面的证明过程供参考，设计意图：设置这个提问，为后面学习互逆命题与互逆定理做铺垫.设计意图：利用图形割补的方法验证了勾股定理，而此处对勾股定理的证明，应以我们认定的几条基本事实和由此推出的定理为依据进行，证明方法有多种，有兴趣的同学可以阅读学习.设计意图：勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，《标准》也只要求“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”，并没有要求证明，因此教学时只要学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求.设计意图：教科书通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念.将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题，相对于逆命题，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的.值得注意的是，原命题正确，其逆命题不一定正确.设计意图：这个命题的条件和结论都比较明显、简单，学生容易写出其逆命题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定致.设计意图：加强学生对命题的逆命题的认识和判断.设计意图：考查运用勾股定理的逆定理概念的掌握.设计意图：考查逆命题的认识与判断.板书设计1.2.1直角三角形的性质与判定勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．课后小结教学反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述