沪科版九年级数学上册教案全册教案

23.1二次函数

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的

取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习

习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取

值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为Rm,先取R的一些值，算出矩

形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积Rm2.试将计算结果填写在下表的空

格中，

AB长R(m)123456789

BC长(m)12

面积R(m2)348

2.R的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(R)确定后,矩形的面积(R)也随之确定，R是R

的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,

然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能

发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发

表意见，达成共识：当AB的长为5cm,BC的长为10m时，围成的矩形面积

最大；最大面积为50m2。

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，

R的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0<R<10o

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=Rm时，BC长等于多少m?(2)面积R

等于多少?并指出R=R(20-2R)(0<R<10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100

件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现

这种商品单价每降低0。元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多

少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(售价-进价)x销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？

[10-8=2(元),(10-8)x100=200(元)]

3.若每件商品降价R元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少

件商品？

[(10-8-R);(100+100R)]

4.R的值是否可以任意取?如果不能任意取,请求出它的范围,

[R的值不能任意取,其范围是04R42]

5.若设该商品每天的利润为R元，求R与R的函数关系式。

[R=(10-8-R)(100+100R)(0<R<2)]

将函数关系式R=R(20-2R)(0<R<10=化为：

R=-2R2+20R(0<R<10)..................................⑴

将函数关系式R=(10-8-R)(100+100R)(04R42)化为：

R=-100R2+100R+20D(0<R<2).........................(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式Q)和(2)的自变量各有几个？

(各有1个)

(2)多项式-2R2+20和-100R2+100R+200分别是几次多项式？

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量R为何值时，函数R取得最大

值。

2.二次函数定义：形如R=aR2+bR+c(a、b、、c是常数，awO)的函数

叫做R的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数

项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？

⑴R=5R+1(2)R=4R2-1

(3)R=2R3-3R2(4)R=5R4-3R+1

2.P3练习第1,2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道

二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业布置

教材P4习题23.12,3,4,5,6

23.2二次函数1^=21^的图象和性质

教学目标：

L使学生会用描点法画出R=aR2的图象,理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数口=@口2图象性质的过程，培养学生观察、思考、

归纳的良好思维习惯

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数R=aR2的

图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数R=aR2的图象以及探索二次

函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

（先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质）

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可

以，应先研究什么？

（可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函

数的图象）

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例\AI

I>JT

例L画二次函数R=aR2的图象。\6，/

-4-3-2-i10234

解：(1)列表：在R的取值范围内列出函数对应值表:

R...-3-2-10123

R9410149

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐

标系中描点

(3)连线:用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数R=R2的图象,如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图

象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

三、做一做

1.在同一直角坐标系中，画出函数R=R2与R=-R2的图象，观察并比较两

个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

2.在同一直角坐标系中，画出函数R=2R2与R=-2R2的图象,观察并比较

这两个函数的图象，你能发现什么？

3.将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

对于1,在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要

引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们

的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图

象都是抛物线,都关于R轴对称，顶点坐标都是(0,0),区别在于函数R=R2的

图象开口向上，函数R=-R2的图象开口向下。

对于2,教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；

教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的

图象都是抛物线，都关于R轴对称，它的顶点坐标都是(0,0).

四、归纳、概括

函数R=R2、R=-R2、R=2R2、R=-2R2是函数R=aR2的特例，由函数R=R2、

R=-R2、R=2R2、R=-2R2的图象的共同特点，可猜想：

函数R=aR2的图象是一条,它关于对称,它的顶点坐标是

如果要更细致地研究函数R=aR2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

让学生观察R=R2、R=2R2的图象，填空;

当a>0时，抛物线R=aR2开口在对称轴的左边，曲线自左向右

；在对称轴的右边，曲线自左向右是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质？

先让学生观察下图，回答以下问题；

(1)RA、RB大小关系如何?是否都小于0?

(2)RA、RB大小关系如何?

(3)Rc、RD大小关系如何?是否都大于0?

(4)Rc、RD大小关系如何?

(RA<RB,且RA<0,RB<0;RA>RB；RC<RD,且Rc>0,RD>0,RC<RD)

其次，让学生填空。

当R<0时,函数值R随着R的增大而,当R>0时,函数值R随R

的增大而；当R=时，函数值R=aR2(a>0)取得最小值，最小值

以上结论就是当a>0时，函数R=aR2的性质。

思考以下问题：

观察函数R=-R2、R=-2R2的图象，试作出类似的概括,当a<0时,抛物

线R=aR2有些什么特点?它反映了当a<0时，函数R=aR2具有哪些性质？

让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线R=aR2开口向上，在对

称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛

物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<0时，函数R=aR2的性质;

当R<0时，函数值R随R的增大而增大；与R>。时，函数值R随R的增大而

减小，当R=0时,函数值R=aR2取得最大值，最大值是R=0。

五、课堂练习：P6练习1、2、3、40

六、小结：

1.如何画出函数R=aR2的图象？

2.函数R=aR2具有哪些性质？

六、作业布置

教材P9习题23.21,3,4,5

23.3二次函数R=aR2+bR+c的图象和性质

第一课时

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数R=a(R—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数R=a(R-h)2性质探究的过程，理解函数R=a(R

-h)2的性质，理解二次函数R=a(R-h)2的图象与二次函数R=aR2的

图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数R=a(R-h)2的图象,理解二次函数R=

a(R-h)2的性质，理解二次函数R=a(R-h)2的图象与二次函数R

=aR2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数R=a(R-h)2的性质,理解二次函数R=a(R-h)2的

图象与二次函数R=aR2的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

11

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数R=--R2,R=-jR2-l的图象，并

回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数R=2(R-1)2的图象与二次函数R=2R2的图象的开口方向、对

称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数R=2(R-1)2和二次函数R=2R2的图象，并加以观察)

问题2:你能在同一直角坐标系中，画出二次函数R=2R2与R=2(R-的

图象吗?

教学要点

1.让学生完成下表填空。

...-3-2-10123•.・

R=2R2

R=2(R-I)2

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3:现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完成以下填空:

开口方向对称轴顶点坐标

R=2R2

R=2(R-I)2

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数

口=2柒-1)2与口=2口2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数

R=2(R-1)2的图象可以看作是函数R=2R2的图象向右平移1个单位得到的，它

的对称轴是直线R=1，顶点坐标是Q,0)。

问题4:你可以由函数R=2R2的性质，得到函数R=2(R-邛的性质吗？

教学要点

L教师引导学生回顾二次函数R=2R2的性质，并观察二次函数R=2(R-1产

的图象；

2.让学生完成以下填空：

当R_____时,函数值R随R的增大而减小；当R_____时,函数值R随R

的增大而增大；当R=时,函数取得最值R=o

三、做一做

问题5:你能在同一直角坐标系中画出函数R=2(R+1)2与函数R=2R2的图象,

并比较它们的联系和区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评；

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数R=2(R+1)2与函数R=2R2的

图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数R=2(R+1)2的图象可以看

作是将函数R=2R2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线R=-

1，顶点坐标是（-1,0）。

问题6"尔能由函数R=2R2的性质，得到函数R=2（R+邛的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当R<-1时，函数值R随R的

增大而减小；当R>-1时，函数值R随R的增大而增大；当R=-1时，函数

取得最小值，最小值R=0。

11

问题7:在同一直角坐标系中，函数R=-JR+2）2图象与函数R=--R2

的图象有何关系？

11

（函数R=-£口+2）2的图象可以看作是将函数口=-§R2的图象向左平移2

个单位得到的。）

1

问题8:你能说出函数R=-JR+2/图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

吗？

1

（函数R=-§（R十2）2的图象开口向下，对称轴是直线R=-2,顶点坐标

是（-2,0））„

1

问题9:你能得到函数R=-（R+2产的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当R<-2时，函数值R随R的增

大而增大；

当R>-2时，函数值R随工的增大而减小；当R=-2时，函数取得最大值，

最大值R=0。

四、课堂练习：P11练习L2、3

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数R=a（R-h）2的图象与函数R=aR2的图象有什

么联系和区别？

2.你能说出函数R=a(R-h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

六、作业布置

教材P23习题23.31,2

23.3二次函数R=aR2+bR+c的图象和性质

第二课时

教学目标：

L使学生能利用描点法正确作出函数R=aR2+b的图象。

2、让学生经历二次函数R=aR2+bR+c性质探究的过程理解二次函数R=aR2

+b的性质及它与函数R=aR2的关系。

重点难点：

L会用描点法画出二次函数R=aR2+b的图象，理解二次函数R=aR2

+b的性质，理解函数R=aR2+b与函数R=aR2的相互关系。

2、正确理解二次函数R=aR2+b的性质，理解抛物线R=aR2+b与抛物

线口=2口2的关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.二次函数R=2R2的图象是它的开口向顶点坐标是；对称

轴是______在对称轴的左侧，R随R的增大而在对称轴的右侧，R随

R的增大而函数R=aR2与R=时,取最_____值，其最值

是_____0

2.二次函数R=2R2+1的图象与二次函数R=2R2的图象开口方向、对称

轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

(画出函数R=2R2和函数R=2R2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数R=2R2与R=2R2+1的图象吗?

教学要点

1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数R=2R2

的图象。

2.教师说明为什么两个函数自变量R可以取同一数值，为什么不必单独列

出函数R=2R2+1的对应值表，并让学生画出函数R=2R2+1的图象.

3.教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

解：⑴列表：

R...-3-2-10123

R=R2188202818

R=R2+1…199313919…

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数R=2R2和R=2R2+1的图

象。

(图象略)

问题3:当自变量R取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?

反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当R依次取-3,-2,-1,0,1,2,3时，两

个函数的函数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量R取同一数值时，函数R=

2R2+1的函数值都比函数R=2R2的函数值大lo

教师引导学生观察函数R=2R2+1和R=2R2的图象，先研究点(-1,2)

和点(-1,3)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归

纳得到：反映在图象上，函数R=2R2+1的图象上的点都是由函数R=2R2的

图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4:函数R=2R2+1和R=2R2的图象有什么联系？

由问题3的探索,可以得到结论：函数R=2R2+1的图象可以看成是将函

数R=2R2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数R=2R2+1与R=2R2的图象开口方

向、对称轴相同，但顶点坐标不同,函数R=2R2的图象的顶点坐标是(0,0),

而函数R=2R2+1的图象的顶点坐标是(0,1)0

问题6:你能由函数R=2R2的性质，得到函数R=2R2+1的一些性质吗？

完成填空：

当R时,函数值R随R的增大而减小；当R时,函数值R随R

的增大而增大，当R时，函数取得最值，最值R=.

以上就是函数R=2R2+1的性质。

三、做一做

问题7:先在同一直角坐标系中画出函数R=2R2-2与函数R=2R2的图象，再

作比较，说说它们有什么联系和区别？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2.让学生发表意见，归纳为：函数R=2R2-2与函数R=2R2的图象的开

口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数R=2R2-2的图象可以看成是将

函数R=2R2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8:你能说出函数R=2R2-2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标,

以及这个函数的性质吗？

教学要点

1.让学生口答，函数R=2R2-2的图象的开口向上,对称轴为R轴，顶

点坐标是(0,-2);

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当R<0

时，函数

值R随R的增大而减小；当R>0时，函数值R随R的增大而增大，当R=0

时，函数取得

1

最小值，最小值R=-2。问题9:在同一直角坐标系中。函数R=-3R2+2

图象与函数R=--R2的图象有什么关系？

511

要求学生能够画出函数R=-3R2与函数R=--R2+2的草图，由草图观察

得出结论：函数R=--1/3R2+2的图象与函数R=--R2的图象的开口方向、

对称轴相同，但顶点坐标不同，函数R=-1R2+2的图象可以看成将函数R=

13

--R2的图象向上平移两个单位得到的。

§1

问题10:你能说出函数R=-§R2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐

标吗？

1

[函数R=-§R2+2的图象的开口向下，对称轴为R轴，顶点坐标是(0,2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质？

1

让学生观察函数R=-1R2+2的图象得出性质：当R<0时，函数值R随R

的增大而增大；当R>0时，函数值R随R的增大而减小；当R=0时，函数取

得最大值，最大值R=2。

四、练习：P9练习1、2、30

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数R=aR2+A的图象与函数R=aR2的图象具

有什么关系？

2.你能说出函数R=aR2+A具有哪些性质？

六、作业布置

教材P23习题23.33,4,5

23.3二次函数R=aR2+bR+c的图象和性质

第三课时

教学目标：

1.使学生理解函数R=a(R-h)2+A的图象与函数R=aR2的图象之间的关系。

2.会确定函数R=a(R-h)2+A的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数R=a(R-h)2+A性质的探索过程，理解函数R=a(R-h)2+

A的性质。

重点难点：

重点：确定函数R=a(R-h)2+A的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,

理解函数R=a(R-呼+A的图象与函数R=aR2的图象之间的关系,

理解函数R=a(R-h)2+A的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数R=a(R-h)2+A的图象与函数R=aR2的图象之间的

关系以及函数R=a(R-h)2+A的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1,函数R=2R2+1的图象与函数R=2R2的图象有什么关系？

(函数R=2R2+1的图象可以看成是将函数R=2R2的图象向上平移一个单位得

到的)

2.函数R=2(R-1产的图象与函数R=2R2的.图象有什么关系？

(函数R=2(R-1产的图象可以看成是将函数R=2R2的图象向右平移1个单

位得到的，见P10图26.2.3)

3.函数R=2(R-1)2+1图象与函数R=2(R-1)2图象有什么关系?函数R=2(R

-1)2+1有明陛性质?

二、试一试

你能填写下表吗？

R=2R2向右向上平移

平移R=2(R1个单位R=2(R-I)2+1

的图象1个单-I)2的图象

位

开口方向上

向

对称轴R轴

顶点(0,0)

问题2:从上表中，你能分别找到函数R=2(R-邛+1与函数R=2(R-1R

R=2R2图象的关系吗？

问题3:你能发现函数R=2(R-1)2+1有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发

言，达成共识；

函数R=2(R-1)2+1的图象可以看成是将函数R=2(R-1)2的图象向上平

称1个单位得到的,也可以看成是将函数R=2R2的图象向右平移1个单位再向

上平移1个单位得到的。

当R<1时，函数值R随R的增大而减小，当R>1时，函数值R随R的增

大而增大；当R=1时，函数取得最小值，最小值R=L

三、做一做

问题4:在图26.2.3中，你能再画出函数R=2(R-I)2-2的图象，并将它与

函数R=2(R-1产的图象作比较吗？

教学要点

1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2.对"比较"两字做出解释，然后让学生进行比较。

11

问题5:你能说出函数R=--(R-邛+2的图象与函数R=--R2的图象的

关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

11

(函数R=--(R-1)2+2的图象可以看成是将函数R=--R2的图象向右平

移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线R=1,顶

点坐标是(1,2)

四、课堂练习：P13练习1、2、3、40

对于练习第4题，教师必须提示：将-3R2-6R+8配方，化为练习第3题

中的形式，即

R=-3R2-6R+8=-3(R2+2R)+8=-3(R2+2R+1-1)+8=-3(R+

l)2+11

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

六、作业布置

教材P23习题23.36,7,8,

23.3二次函数R=aR2+bR+c的图象和性质

第四课时

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数R=aR2+bR+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数R=aR2+bR+c的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标以及性质的过程,理解二次函数R=aR2+bR+c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数R=aR2+bR+c的图象和通过配方确定抛物

线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数R=aR2+bR+c(awO)的性质以及它的对称轴(顶点坐

bb4ac-b2

标分别是R=-不、一)是教学的难点。

2a2a4a

教学过程：

一、提出问题

1.你能说出函数R=-4(R-2尸+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

吗？

(函数R=-4(R-2/+1图象的开口向下,对称轴为直线R=2,顶点坐标

是(2,1)0

2.函数R=-4(R-2尸+1图象与函数R=-4R2的图象有什么关系？

(函数R=-4(R-2)2+1的图象可以看成是将函数R=-4R2的图象向右平

移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3.函数R=-4(R-2尸+1具有哪些性质？

(当R<2时，函数值R随R的增大而增大，当R>2时，函数值R随R的

增大而减小；当R=2时，函数取得最大值，最大值R=1)

15

4.不画出图象，你能直接说出函数R=-/2+R-5的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标吗？

151

[因为R=-]R2+R-5=-](R-1)2-2,所以这个函数的图象开口向下，

对称轴为直线R=1，顶点坐标为Q，-2)]

15

5.你能画出函数R=--R2+R-5的图象，并说明这个函数具有哪些性质

吗？

二、解决问题

15

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数R=--R2+R-5的图象的开

口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函

15

数R=-5R2+R-5的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在R的取值范围内列出函数对应值表；

R...-2-101234...

1111

R...-6--4-2--2-2--4-6~...

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

15

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数R=--R2+R-5的图象。

说明：(1)列表时,应根据对称轴是R=1,以1为中心,对称地选取自变量

的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中R轴、R轴的长度单位可以任意定，且允许R轴、R轴选

取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象

美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当R<1时，函数值R随R的增大而增大；当R>1时，函数值R随R的增

大而减小；

当R=1时，函数取得最大值，最大值R=-2

三、做一做

1

1.请你按照上面的方法，画出函数R=]R2-4R+10的图象，由图象你能

发现这个函数具有哪些性质吗?

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数R=-2R2+8R-8的图象的开口方向、对称

轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法;(3)让学生

思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图

象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么,

对于任意一个二次函数R=aR2+bR+c(a/O),如何确定它的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

bbbb

R=aR2+bR+c=a(R2+-R)+c=a[R2+-R+(-)2-(^)2]+c=a[R2+

bbb2

-R+(-)2]+c--

aaba4ac-b2

=a(R+M+F^

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

b4ac-b2

对称轴是R=-b/2a，顶点坐标是(--,---)

2a4a

四、课堂练习：P15练习第1、2、3题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：

1.填空：

Q)抛物线R=R2-2R+2的顶点坐标是______;

5

(2)抛物线R=2R2-2R-5的开口对称轴是______；

⑶抛物线R=-2R2-4R+8的开口顶点坐标是______；

1

(4)抛物线R=--R2+2R+4的对称轴是______;

⑸二次函数R=aR2+4R+a的最大值是3,则a=.

2.画出函数R=2R2-3R的图象,说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)R=3R2+2R;(2)R=-R2-2R

1

(3)R=-2R2+8R-8(4)R=-R2-4R+3

4.求二次函数R=mR2+2mR+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有

哪些性质

23.4二次函数与一元二次方程

第一课时

教学目标

L经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联

系。

2、理解二次函数与R轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,

理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与R=h(h是实数)交点的横坐标。

教学重点

L体会方程与函数之间的联系.

2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与R=h(h是实数)交点的横坐标.

教学难点

L探索方程与函数之间的联系的过程.

2、理解二次函数与R轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教具准备

多媒体课件

教学过程

一、复习

1、一元二次方程-5R2+40R=0的根为：。

2、一元二次方程aR2+bR+c=0(aH0)的根的判别式△=。当△>0

方程根的情况是：；当△=()时，方程；当△<0时，方

二、创设问题情境，引入新课

师：上学期我们学习了一元一次方程AR+b=O(AwO)和一次函数

R=AR+b(AwO)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值R=0时，一次

函数R=AR+b就转化成了一元一次方程AR+b=O,且一次函数R=AR+b(AwO)

的图象与R轴交点的横坐标即为一元一次方程AR+b=O的解.

现在我们学习了一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)和二次函数

R=aR2+bR+c(awO),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有

关问题.

三、活动探究

二次函数①R=R2+2R,②R=R2-2R+1,®R=R2-2R+2的图象如下图所示.

(2)一元二次方程R2+2R=0,R2-2R+l=0有几个根?解方程验证一下:一元二次

方程R2-2R+2=0有根吗？

(3)二次函数R=aR2+bR+c的图象和R轴交点的坐标与一元二次方程

aR2+bR+c=0的根有什么关系？

师：还请大家先讨论后解答.

答：(1)二次函数R=R2+2R,R=R2-2R+l,R=R2-2R+2的图象与R轴分另(］有两

个交点，一个交点，没有交点.

(2)一元二次方程R2+2R=0有两个根0,-2;方程R2-2R+l=0有两个相等的根

1或一个根L方程R2-2R+2=0没有实数根.

(3)从观察图象和讨论中可知，二次函数R=R2+2R的图象与R轴有两个交点,

交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程R2+2R=0有两个根0,-2;

二次函数R=R2-2R+1的图象与R轴有一个交点，交点坐标为(L0),方程

二次函数尸or斗大"的一元二次方程依2十人.什c=0一元二次方程处c=0

W2阉象祀南西余相等|1勺实数根(瞰根N艮)1;二次函兼的判册过R十2的图方与

R轴;^^^^R2-2F软能小需数根b2-4ac>0

都园御交族函数奔福小糖箱的^^楣F1轴向副包横坐标即为一元二

+c=0日勺;艮没有实数根b2-4ac<0

总结：二次函数R=aR2+bR+c的图象与R轴的交点有三种情况:有两个交点、

有一个交点、没有交点.当二次函数R=aR2+bR+c的图象与R轴有交点时，交点

的横坐标就是当R=0时自变量R的值，即一元二次方程aR2+bR+c=0的根。

四、课堂练习

1、若方程aR2+bR+c=0的根为Ri=-2和R2=3,贝(］二次函数R=aR2+bR+c

的图象与R轴交点坐标是0

2、抛物线R=0.5R2-R+3与R轴的交点情况是()

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能说明

3、抛物线R=R2-4R+4与轴有个交点，坐标是、,

4、不画图象，求抛物线R=R2-3R-4与R轴的交点坐标。

5、（P28练习3）证明：抛物用R=R2-（2p-l）R+p2-p与R轴必有两个不同的

y=x2-4x+4

交占\/

6、（拓展练习）一元二次方程R2-R+笋1的根与二次函数R=R2-4R+4的图

象有什么关系?试把方程的根在圈嘉嘉示‘出莱。.

X

五、课堂小结

二次函数R=aR2+bR+c的图象与R轴的交点有三种情况:有两个交点、有

一个交点、没有交点.当二次函数R=aR2+bR+c的图象与R轴有交点时,交点的

横坐标就是当R=0时自变量R的值，即一元二次方程aR2+bR+c=0的根。

六、作业布置

教材P291,2,3

其他：

23.4二次函数与一元二次方程

第二课时

教学目标

L能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能

力。

2、通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图

象与R轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系提高估算能力。

3、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程

的思路，体验数形结合思想。

教学重点

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联

系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教具准备

一藕二次看瞰婚泄密改虫

空直盘＜躯酬^嬲屣樵鲍阅蒯盛A啜-勘®

乂#0土

_•个交点有两个相异的实数根blac>0

搪寸个交施数R=aR2倚两个翻图的窝数橘交点的坐标后L元（E次方程

a鬟褪苫:=0的根有彳卜么翻实数根

bTac<0

2

1、若方程aR2+bR+c=0的根为Ri=-2和R2=3，则二次函数R=aR+bR+c

的图象与R轴交点坐标是o

2、抛物线R=0.5R2-R+3与R轴的交点情况是（）

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能说明

3、不画图象,求抛物线R=R2-R-6与R轴交点坐标。

二、创设问题情境，引入新课

师：上节课我们学习了二次函数R=aR2+bR+c（awO）的图象与R轴的交点

坐

标和一元二次方程aR2+bR+c=0（a。。）的根的关系，懂得了二次函数图象与R轴

交点的横坐标，就是R=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下,

只要知道二次函数与R轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出

y

师:从图象上来看，二次函数R=R2+2R-1的图象与R轴交点的横坐标一个在-3

与-2之间，另一个在0与1之间，所以方程R2+2R-l=0的两个根一个在-3与-2

之间，另一个在0与1之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨

论解决。

有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根

在-2与-3之间，那这个根一定是负2点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十

分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把R=-2.1,-2.2,...,-2.9代入方程进

行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方

程的根（或近似根）.

由于计算比较烦琐，所以要求学生可以用计算器进行计算。

从图象上看，可以估计R的取值是-2.4或-2.5，利用计算器进行探索,如下表：

...-2.4-2.5...

R...-0.040.25・・(

从上表可知，当R取-2.4或-2.5时对应R的值由负变正，可见在-2.4和-2.5

之间一定有一个R得值使R=0,即有方程R2+2R-l=0的一个根。由于题目只

要求精确到0。,所以这是去R=-2.4或R=-2.5作为根都符合要求。但是当

时,比更接近所以选

R=-2.4R=-0.04R=0.25（R=-2.5）0.R=-2.4O

因此，方程2在和之间精确到的根为

R+2R-l=0-3-20.1R=-2.4O

有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了，请大家继续.（学生自行

研究）

另一根为R=0.4

探究二：还有没有其他的f好学生）

引导学生将方程变形为R：匕为求函数R=R2和

R=-2R+1的交点横坐标，培5的思想。

如图所示

函数R=R2和R=-2R+1交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根。

探究三：你能否结合二次函数的图像，求出使R=R2+2R-l>0和

R=R2+2R-l<0

时，R的取值范围？

由图像可知，R=R2+2R-l>0的图像位于R轴上方，图像位于R轴上方的自

变量

R取值范围是R<-2.4或R>0.4;R=R2+2R-l<0的图像位于R轴下方，图像位

于轴

下方的自变量R取值范围是-2.4<R<0.4。

三、课堂练习

P28练习4

四、课堂小结

本节课学习的内容:

1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间

的联系；

2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近

似根的体验；

五、作业布置

教材P296,7,8

23.5二次函数的应用

第一课时(最值问题)

教学目标：

L经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点

二次函数在最优化问题中的应用

教学难点