沪科版数学七年级上册教案

第1章有理数

1.1正数和负数

教学目标

【知识及技能】

1.会判断一个数是正数还是负数.

2.会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量.

【过程及方法】

1.了解负数产生的背景是从实际需要产生的.

2.培养学生的数学应用意识,渗透对立统一的辩证思想.

【情感、态度及价值观】

编佥薮学发展的一个重要原因是生活实际的需要,激发学生学习数学的

兴趣.

教学重难点

【重点】了解正数及负数是由实际需要产生的并会用正负数表示生活中常用

的具有相反意义的量.

【4点】明白学习负数的必要性,能结合生活情境举出具有相反意义的量的

典型例子.

教学过程

一、新课引入

L师：同学们，你们看过电视或听过广播中的天气预报吗？中国地形图上

的温度阅读.（可让学生模拟预报）请大家来当小小气象员，记录温度计所示的

气温:25℃,10℃,零下10℃,零下30℃.

为书写方便,将测量气温写成25℃,10℃,-10℃,-30℃.

2.师：同学们,我们已经学了哪些数,它们是怎样产生和发展起来的？

教师引导学生说出：在生活中为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了

数1,2,3,…；为了表示“没有”，引入了数0;有时分配和测量的结果不是整

数,需要用分数（小数）表示.总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生和

逐步发展起来的.

二、讲授新课

1相反意义的量，

而：同孽帝,在我们的日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：

例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米.

例2:温度是零上10℃和零下5℃.

例3:收入500元和支出237元.

例4:水位升高1.2米和下降0.7米.

例5:买进100辆自行车和卖出20辆自行车.

（1）试着让学生考虑这些例子中出现的每一对量有什么共同特点.

（都具有相反意义，向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、

买进和卖出都具有相反意义.）

（2）你能举出几对日常生活中具有相反意义的量吗？

2.正数和负数：

(1)能用我们已学过的数表示这些具有相反意义的量吗?例如，零上5℃

用5来表示,零下5c呢?也用5来表示,行吗？

说明：在天气预报图中，零下5℃是用-5c来表示的.一般地,对于具有相

反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正,用过去学过的数来表示；

把及它意义相反的量规定为负,用过去学过的数(零除外)前面放一个“一”

(读作“负”)号来表示.

以温度为例,通常规定零上为正,零下为负；零上10℃就用10℃表示,零

下5c则用-5C来表示.

(2)怎样表示具有相反意义的量呢?你们能否从天气预报出现的标记中得

到一些启发呢？

在例1中，我们如果规定向东为正，那么向西则为负.汽车向东行驶3千

米记作3千米，向西2千米应记作-2千米.

后面的例子让学生来说(注意词的表达).

在以上的讨论中，出现了哪些新数？

为了表示具有相反意义的量,上面我们引进了-5,-2,-237,-0.7等数.像

这样的一些新数,口4做负数(negativenumber).过去学过的那些数(零除外),

如10,3,500,1.2等，叫做正数(positivenumber).正数前面有时也可放一个

“+”(读作“正”)，如5可以写成+5.

注意:零既不是正数,也不是负数.

三、例题讲解

【例1】(1)及去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大了10hm1公

顷)，小麦的种植面积减少了5hm2,油菜的种植面积不变,写出这三种农作物今

年种植面积的增加量；

(2)某市12315中心2019年国庆期间受理消费申诉件数：日用百货类比

上年同期增长了10%,家用电子电器类比上年下降了20%,写出这两类消费商

品申诉件数的增长率.

【答案】(1)及去年相比,该乡今年的水稻种植面积增加了10hm；小麦

种植面积增加了-5hm；油菜种植面积增加了Ohm2.

(2)及上年同期相比,消费商品申诉件数：日用百货类增长了10%,家用电

子电器类增长了一20%

[例2](1)一个月内，小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体

重无变化,写出他们这个月的体重增长值；

(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：

美国减少6.4%,德国增长1.3%,

法国减少2.4览英国减少3.5%,

意大利增长0.2%,中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

【答案】(1)这个月小明体重增加2kg,小华体重增加Tkg,小强体重

增加0kg.

(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：

美国-6.4%,德国1.3%,

法国-2.4%,英国-3.5%,

意大利0.2%,中国7.5%.

四、巩固练习

1.-10表示支出10元,那么+50表示_______;如果零上5度记作5℃,

那么零下2度记作;如果上升10m记作10m,那么-3m表示;

太平洋中的马里亚纳海沟低于海平面达11034米,可记作海拔米

（即低于海平面11034米）.比海平面高50m的地方,它的高度I已作海一

拔；比海平面低30m的地方,它的高度记作海拔.

2.一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位:mm）,表示这种零件

的标准尺寸是10mm,加工要求最大不超过标准尺寸,最小不超过标

准尺寸________.

【答案】1.收入50元,-2℃,下降3m,-11034,+50m,-30m;

2.0.05mm,-0.05mm.

五、课堂小结

正数和负数表示的是一对具有相反意义的量,哪种意义的量为正是可以

任意规定的.如果把一种意义的量规定为正，则相反意义的量规定为负.常将

“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、

零下温度”等规定为负.

1.2数轴、相反数和绝对值

第1课时数轴

教学目标

【知识及技能】

使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度,能将已知数在数轴上表

示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数,知道有理数都可以用数轴上的点

表示.

【过程及方法】

在探索数轴画法的过程中，鼓励学生类比、猜想,初步理解数及形的结合.

【情感、态度及价值观】

向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想.

教学重难点

【重点】初步理解数形结合的思想方法,正确掌握数轴画法和用数轴上的点

表示有理数.

【难点】正确理解有理数及数轴上点的对应关系.

教学过程

―\复习导入

'师:在上课之前老师先提几个问题，看大家学得怎样.

1.有理数包括哪些数?0是正数还是负数？

2.温度计的用途是什么?类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还

有哪些（直尺、弹簧秤等）？

教学中，在一条直线上画出刻度,标上读数,用直线上的点表示正数、负

数和零.

演示从温度计抽象成数轴,激发学生学习的兴趣，使学生受到把实际问题

抽象成数学问题的训练，同时把类比的思想方法贯穿于概念的形成过程.

二、讲授新课

L师:请同学们阅读课本第7页，思考并讨论：

（1）25℃用正数表示;0℃用数表示;零下10℃用负数

表示.

（2）数轴要具备哪三个要素？

（3）原点表示什么薮?原点者方表示什么数?原点左方表示什么数？

（4）表示+2的点在什么位置?表示-3的点在什么位置？

（5）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数?原点向左个单位长

度的B点表示什么数？

2.数轴的画法.

师生共同总结数轴的画法步骤：

第一步:画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点0,叫

做原点,用这点表示数0（相当于温度计上的0℃）;

第二步:规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用

箭头表示出来）.相反的方向就是负方向（相当于温度计0℃以上为正,0℃以

木为负）；

第三步:适当地选取一条线段的长度作为单位长度,也就是在0的右面取

一点表示1,0及1之间的长就是单位长度（相当于温度计上占1小格的

单位长度）.

在数轴上从原点向右,每隔一个单位长度取一点,这些点依次表示

1,2,3,……,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,它们依次表示-1,-2,-

3,…….

3数轴的定义

就定了原点、加方向和单位长度的直线叫做数轴.

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的

选择、单位长度大小的确定,都是根据需要人为规定的,此外,直线也不一定

是水平的.

动态演示各种类型的数轴，认识并掌握判断一条直线是不是数轴的依据.

三、例题讲解

师：同学们，下面我们一起来做几个例题.

【例1】判断下图中所画的数轴是否正确；如不正确，指出错在哪里.

分析原点、正方向、单位长度,数轴的这三要素缺一不可.

【答案】都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原

点；（4）单位长度不一致.

【例2】说出下图所示的数轴上A、B、C、D各点表示的数.

【答案】点C在原点表示0,点A在原点左边及原点距离2个单位长

度,故表示-2.同理，点B表示-3.5.点D在原点右边及原点距离2个单位长度,

故表示2.

【例3]把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：

⑴2,-1,0,混,+3.5;

(2)-5,0,+5,15,20;

(3)-1500,-500,0,500,1000.

【答案】略.

四、课堂小结

教师引导学生小结：

1.数轴是非常重要的数学工具,它使数和直线上的点建立了一一对应的

关系，它揭示了数及形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表

示,但并不是数轴上的所有点都表示有理数.

2.画数轴时,原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，

注意不要漏画正方向、不要漏画原点,单位长度一定要统一,数轴上数的排列

顺序(尤其是负数)要正确.

第2课时相反数

教学目标

【知识及技能】

1.使学生了解互为相反数的几何意义.

2.会求一个已知数的相反数;会对含有多重符号的数进行化简.

【过程及方法】

培养学生的观察、归纳及概括的能力,渗透数形结合思想.

【情感、态度及价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考及合作学习的过程，培养学生积极

参及、善于及他人合作交流的学习习惯.

教学重难点

【重点】理解相反数的代数定义及几何定义,熟练地求出一个已知数的相反

数.

【难点】多重符号的数的化简问题的理解.

教学过程

'扁;同学们，在上课之前，老师先出几个题目考考大家.

1.在数轴上分别找出表示下列各数的点：

6及-6,-3；及3；,-1.5及1.5.

想一想:在数轴上,表示每对数的点有什么相同？有什么不同？

2.观察数6及-6,-3：及3i-1.5及1.5有何特点.观察每组数所对应的

两个点的位置关系有什么规律.

学生归纳:每组中的每个数只有符号不同，它们所对应的两点分别在原点

的两侧，到原点的距离相等.

二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课.

1.发现并总结相反数的定义.

只有符号不同的两个数称互为相反数.

理解.

代数信义：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0.

几何定义:在数轴上原点两旁,及原点的距离相等的两个点所表示的两个

数互为相反数.0的相反数是0.

说明：“互为相反数”的含义是相反数是成对出现的，因而不能说“-6

是相反数”.“0的相反数是0”是相反数定义的一部分.这是因为0既不是

正数,也不是负数,它到原点的距离就是0,0是唯一的相反数仍等于它本身的

数.

三、例题讲解

教师出示例题.

【例1】判断下列说法是否正确：

(1)-5是5的相反数.()

(2)5是-5的相反数.()

(3)5及-5互为相反数.()

(4)-5是相反数.()

【答案】⑴J(2)V(3)V(4)X

【例2】(1)分别写出5、-7、-3；、+1L2的相反数；(2)指出-2.4是

什么数的相反数.

【答案】(1)5的相反数是-5.-7的相反数是7.-3；的相反数是

+11.2的相反数是-11.2.

我们通常在一个数的前面添上”号,表示这个数的相反数.例如-(-

4)=4,-(+5.5)=-5.5;同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.例如

+(-4)=-4,+(+12)=12.

(2)-2.4是2.4的相反数.

【例3】化简下列各数：

⑴一(+10);(2)+(-0,15);

(3)+(+3);(4)一(一20).

【答案】(1)-(+10)=-10;(2)+(-0,15)=-0.15;(3)+(+3)=+3=3;(4)-(-

20)=20.

四、巩固练习

课本Pi。练习的第广3题.

【答案】1.5,-1,3,2.6,9,-；.

2.(1)2.8-3.2(2)4-7(3)-893.C

五、课堂小结

1.只有符号不同的两个数互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的

相反数是0,从数轴上看,求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点.

2.相反数是表示具有特定关系(只有符号不同)的两个数,单独一个数不

能被称为相反数,相反数是成对出现的.

3.正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认;而负号“-”的功能是

对一个数的符号予以改变.

第3课时绝对值

教学目标

【知识及技能】

1.使学生初步理解绝对值的概念.

2.明确绝对值的代数定义和几何意义,会求一个已知数的绝对值,会在已

知一个数的绝对值的条件下求这个数.

【过程及方法】

培养学生用数形结合思想解决问题的能力，渗透分类讨论的数学思想.

【情感、态度及价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考和合作学习的过程，培养学生积极

主动的学习习惯.

教学重难点

【重点】让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法及正确理解绝对值的概念.

【难点】对绝对值的几何意义和代数定义的导出及对“负数的绝对值是它的

相反数”的理解.

教学过程

一、复习导入

师：同学们,我们先来做几个题目来复习一下上节课所学的知识.

1.在数轴上分别标出-5,3.5,0及它们的相反数所对应的点.

2.在数轴上找出及原点距离等于6的点.

3.相反数是怎样定义的？

引导学生从代数及几何两方面的特点出发回答相反数的定义.从几何方

面可以说在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互

为相反数;从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数.那么互为相反数

的两个数有什么相同的特征呢？由此引入新课，归纳出绝对值的定义.

二、讲授新课

师:下面我们一起来学习新课.

1.发现、总结绝对值的定义.

我们把在数轴上表示数a的点及原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

例如,在数轴上表示数-6及表示数6的点及原点的距离都是6,所以-6

和6的绝对值都是6,记作|-61=161=6.同样可知|-4|=4,|+1.7|=1.7.

2.试一试:你能从中发现什么规律？由绝对值的意义我们可以知道：

(1)1+2=，胪：

(2)|0|=;

(3)|-31=,|-0.2|=.

师引导学生概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边

的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点,在原点左边的点表示的数(负数)

的绝对值又有什么特点.由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律：

(1)一个正数的绝对值是它本身；(2)0的绝对值是0;(3)一个负数的绝对

值是它的相反数.

即①若a>0,则a|=a;

②若a<0,则a=-a;

③若a=0,则a=0.

3.绝对值的非负性.

由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或

0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性,即Ia|20.

三、例题讲解

【例1】求下列各数的绝对值:-7$+存,-4.75,10.5.

【答案】卜7*7；;I+A卜得；|-4.751=4.75-|10.51=10.5

【例2】计算：⑴|0.32|+|0.3|;

(2)|-4.2|-|4.2|;

(3)|-||-(~|).

分析求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数,然后由绝

对值的性质得到.在(3)中要注意区分绝对值符号及括号的不同含义.

【答案】(1)0.62;(2)0;(3)1

四、巩固练习

课本Pu~P“练习的第广5题.

【答案】1.略2.3,1.5,0,5,0.02,1,1003.(1)17(2)1(3)0

(4)64.D5.8,8,11

五、课堂小结

教师引导学生小结：

1.对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑,从几

何方面看,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点及原点的距离,它具有

非负性;从代数方面看,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它

的相反数,0的绝对值是0.

2.求一个数的绝对值时注意先判断这个数是正数还是负数.

1.3有理数的大小

教学目标

【知识及技能】

会借助数轴直观比较两个有理数的大小.

【过程及方法】

培养学生的逻辑思维能力,渗透数形结合思想,注意培养学生的推理论证

能力.

【情感、态度及价值观】

通过两个负数大小比较的推理分析，培养学生良好的思维能力.

教学重难点

【重点】有理数比较大小的法则.

【难点】比较两个负数的大小.

教学过程

一、复习引入

师：同学们，上节课我们学习了什么知识?一起来回顾一下吧！

1.任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们的点,较大的数及较小的数

的对应点的位置有什么关系？

2.1C及-2℃哪个温度高?-1℃及0℃哪个温度高?这个关系在温度计上

表现为怎样的情况？

二、讲授新课

1.发现、总结：

(1)师：同学们,请仔细观察温度计的刻度,发现上面的温度总比下面的高,

及之类似,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.

(2)在数轴上,所有的负数都在0的左边,所有的正数都在0的右边,这说

明了什么？

(3)由学生归纳出：正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数；

(4)在数轴上,画出表示-2和-5的点,这两个数中哪个较大?再找几对类

似的数试一下，从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗？

(5)我们发现:两个负数，绝对值大的反而小.

这样，比较两个负数的大小，只要比较它们的绝对值的大小就可以了.

2.例如：(1)比较-3,0,2的大小；⑵比较两个负数弓和4的大小.

(1)解法一先在数轴上分别找出表示-3,0,2的点，由右边的数总比左

边的数大,得到-3〈0<2.

解法二直接由“正数大于0,负数小于0,正数大于负数”的规律得出一

3<0<2.

⑵①先分别求出它们的绝对值:卜耨=喘卜相端

②比较绝对值的大小：•.金〉白工浴

③得出结论:-示《

3.归纳：

有理数大小比较的一般法则：

(1)负数小于0,0小于正数,负数小于正数；

(2)两个正数，应用已有的方法比较；

(3)两个负数,绝对值大的反而小.

三、例题讲解

师：下面一起来做几个例题巩固一下吧！

【例1】比较下列各对数的大小：

⑴-1及-0.01;

(2)-[-2|及0;

(3)-(-0.3)及一1；

⑷弋)及十福.

【答案】(1)这是两个负数比较大小.

:|一1|二1,1-0.011=0.01,且1>0,01,

A-K-O.01.

(2)化简：-|-2|=-2,因为负数小于0,所以-卜21<0.

(3)这是一个正数、一个负数比较大小，

V-(-0.3)=0.3,正数大于负数,

_(_0.3)>-3.

(4)分别化简两数，得：

-(-学得'-1-相=/

•••正数大于负数，.>-卜田.

说明:①要求学生严格按此格式书写,训练学生逻辑推理的能力；

②注意符号的写法、读法和用法；

③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；

④异分母分数比较大小时要通分,将分母化为相同.

【例2】用“>”连接下列各数：

2.6,-4.5,e,0,-21.

分析多个有理数比较大小时,应根据“正数大于一切负数和0,负数小

于一切正数和0,0大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较，即只需正

数和正数比、负数和负数比.

【答案】2.6>^>0>-21>-4.5.

四、巩固练习

课本PM练习第广3题.

【答案】略

五、课堂小结

教师引导学生小结：

1.先由学生叙述比较有理数大小的两种方法一一利用数轴比较大小;利

用绝对值比较大小,然后教师引导学生得出：比较两个有理数的大小,实际上

是由符号及绝对值两方面来确定.学习了绝对值以后，就可以不必利用数轴来

比较两个有理数的大小了.

2.要求学生严格按格式书写,训练学生逻辑推理的能力,提醒学生注意符

号的写法、读法和用法.

1.4有理数的加减

第1课时有理数的加法(1)

教学目标

【知识及技能】

使学生了解有理数加法的意义,理解有理数加法的法则，能熟练地进行有

理数加法运算.

【过程及方法】

在有理数加法法则的导出和运用过程中，注意培养学生独立分析问题和

口头表达以及运用数形结合的方法解决问题的能力.

【情感、态度及价值观】

通过观察、归纳、比较，体验数学学习交流的探索性和创造性，在运用知

识解决问题时体验成功的喜悦.

教学重难点

【重点】有理数加法法则.

【难点】异号两数相加的法则.

教学过程

一、复习导入

L师：同学们，在小学里我们已经学过了正整数、正分数(包括正小数)及

数0的四则运算.现在引入了负数,数的范围扩大到了有理数,那么如何进行

有理数的运算呢？

2.问题：

一位同学沿着一条东西向的跑道,先走了20米,又走了30米,能否确定

他现在位于原来位置的哪个方向,相距多少米？

我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.可是上述问题得不

到确定的答案,因为问题中并未指出行走方向.

二、讲授新课

1.发现、总结：

师：同学们,我们必须把问题说得详细些,并规定向东为正，向西为负.

(1)若两次都是向东走,很明显,一共向东走了50米,写成算术就

是：(+20)+(+30)=+50,即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在

数轴上表示如图：

(2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西方50米处,写成算式

就是：(-20)+(-30)=-50.

思考:还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗？

(3)若第一次向东走20米,第二次向西走30米.我们先在数轴上表示如

图:

写成算式是(+20)+(-30)=-10,即这位同学位于原来位置的西方10米处.

(4)若第一次向西走20米,第二次向东走30米,写成算式是：(-

20)+(+30)=()，即这位同学位于原来位置的()方()米处.

后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不

能确定，让我们再试几次：

你能发现和及两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗？

(+4)+(-3)=();(+3)+(-10)=();

(-5)+(+7)=();(-6)+2=().

再看两种特殊情形：

(5)第一次向西走了30米,第二次向东走了30米.写成算式是：(-

30)+(+30)=().

(6)第一次向西走了30米,第二次没走.写成算式是：(-30)+0-().我

们不难得出它们的结果.

2.概括.

师:综合以上情形,我们得到有理数的加法法则：

(1)同号两数箱加,取相同的符号,异把绝对值相加;

(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的

绝对值减去较小的绝对值；

(3)互为相反数的两个数相加得0;

(4)一个数同0相加,仍得这个数.

注意,

二不有理数由符号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,必须分别

确定和的符号和绝对值.这及小学阶段学习加法运算不同.

三、例题讲解

教师出示例题.

【例1】计算：

(1)(+2)+(-11);(2)(+20)+(+12);

(3)(—£)+([);(4)(-3.4)+4.3.

【答案】(1)原式=-(11-2)=-9;

(2)原式=+(20+12)=+32=32;

⑶原式=_(1娉)=-21

(4)原式=+(4.3-3.4)=0.9.

【例21足球循环赛中，红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队1：0,蓝队胜红

队1：0,计算各队的净胜球数.

分析(1)每队进球总数记为正,失球总数记为负,这两个数的和为该队

的净胜球数.

(2)比赛双方中一方的进球数也是对方的失球数.三场比赛中，红队共进

球,失球,净胜数为+=；黄队共进

球,失球,净胜球数为+二;蓝队共进

球,失球,净胜球数为+=.

四、巩固练习

课本巳9练习的第1、2题.

【答案】略

五、课堂小结

L要节源我们从实例出发,经过比较、归纳,得出了有理数加法的法则.

今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题.

2.应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号及计

算“和”的绝对值这两个问题.

第2课时有理数的加法(2)

教学目标

【知识及技能】

理解加法运算律在加法运算中的作用，能运用加法运算律简化加法运算.

【过程及方法】

通过灵活运用加法运算律优化运算过程，培养学生观察、比较、归纳及

运算的能力.

【情感、态度及价值观】

在优化运算的过程中体验成功的喜悦,培养仔细观察的学习习惯.

教学重难点

【重点】有理数加法运算律.

【难点】灵活运用运算律使运算简便.

教学过程

一、复习导入

1师:上节课我们学习了什么，一起来复习一下吧！

1.指名学生叙述有理数加法法则.

2.计算：(1)6.18+(-9.18);

(2)(+5)+(-12);

(3)3.75+2.5+(-2.5);

⑷9(—,)+(—；)+(一,

说明：通过练习巩固加法法则，突出计算简化问题，引出新课.

二、讲授新课

1.发现、总结.

(1)提出问题：

师：同学们,在小学里,我们曾经学过加法的交换律、结合律,这两个运算

律在有理数加法运算中也是成立的吗？

(2)探索：

任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口和。内，并比

较两个算式的运算结果.

□+O和o+□

任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口、。和◊内，

并比较两个算式的运算结果.

(口+。)+◊和口+(0+0)

⑶总结:

让学生总结出加法的交换律、结合律.

加法交换律:两个数相加，交换加数的位置,和不变，即a+b=b+a.

加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加，和

不变,即(a+b)+c=a+(b+c).

这样，多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可先把其中的几个

数相加,使计算简化.

三、例题讲解

教师板书例题并和学生共同完成.

【例1】计算：

(1)(+26)+(-18)+5+(-16);

(2)(-11)+11+(+71)+(-21)+(-8^).

【答案】(1)原式=(26+5)+[(-18)+(-16)]=31+(-34)=-(34-31)=-3.

(2)原式:+(-2；)[+[申(-81)]+7；=(-4)+(-7)+7卜(-4)+[(-

7)+7*-4)+宁-(4耻嚼

从几个例题中你能发现应用运算律时,通常将哪些加数结合在一起,能使

运算简便吗？

[例2]运用加法运算律计算下列各题：

(1)(+66)+(—12)+(+11.3)+(—7.4)+(+8.1)+(—2.5);

(2)(+31)+(-2Z)+(-3^)+(-11)+(+51)+(+5给;

⑶(+畤)+(+；)+(-6.25)+(+1)+(-；)+(..

分析利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便;

有分数相加时,利用运算律把分母相同的分数结合起来,将带分数拆开,计算

比较简便.一定要注意不要遗漏括号.相加的若干个数中出现了相反数时，先

将相反数结合起来抵消掉,或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉,这样计

算比较简便.

【答案】(1)原式=(66+11.3+8.1)+[(-12)+(-7.4)+(-2.5)]=85.4+(-

21.9)=63.5.

(2)原式=(3+1)+(5+1)+[-(2+P]+[-(1+扪+(5+&+[-(3+4)1

=3+5+|+|+(-2)+(-1)+(4)+(4)+5+(-3)+毋(-&=7.

⑶原式=(+6；)+(-6.25)+(河)+(-1)+(北W

【例3】10袋小麦的质量(单位:kg)分别如

下:91,91,91.5,89,91.2,91.3,88.7,88.8,91.8,91.1,这10袋小麦一共多少

kg?如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg?

【解】91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4(kg).

90X10=900(kg),905.4-900=5.4(kg).

答:这10袋小麦一共905.4kg.如果每袋小麦以90kg为标准,10袋小麦

总计超过5.4kg.

四、巩固练习

课本P2。练习的第4、5题.

【答案】略

五、课堂小结

师引导学生小结：

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位

置,简化运算.常见技巧有：

1.凑零凑整:互为相反数的两个数结合先加;和为整数的加数结合先加.

2.同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和.

3.同分每结合:电务每相同或容易通分的结合起柒.

4.带分数拆开:计算含带分数的加法时,可将带分数的整数部分和分数部

分拆开,分别结合相加.注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.

第3课时有理数的减法

教学目标

【知识及技能】

理解并掌握有理数减法法则,会进行有理数的减法计算.

【过程及方法】

1.经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达

能力.

2.通过减法到加法的转化,让学生初步体会化归的数学思想.

【情感、态度及价值观】

使学生感受事物之间的相互联系,培养他们的辩证唯物主义的思想.

教学重难点

【重点】有理数减法法则.

【难点】法则本身的推导和理解.

教学过程

一、复习导入

师：同学们,上课之前老师先问你们几个问题,看大家对上节课的知识掌

握得怎么样.

1.指名学生叙述有理数的加法法则.

2.计算：(1)(-2)+(-6);(2)(-8)+(+6).

3.问题：

在月球表面，“白天”的温度可达127℃,太阳落下后的“月夜”气温竟

下降到-183℃,请问在月球上温差是多少度？(310C.)

通过分析启发学生应该用减法计算上题,从而引出新课.

二、讲授新课

1.发现、总结.

⑴回忆：

师：同学们,我们知道，已知两个数的和及其中一个加数,求另一个加数的

运算叫做减法.

例如计算(-8)-(-3)也就是求一个数，使这个数及-3相加等于-8.根据有

理数加法运算法则，有(-5)+(-3)=-8,所以(-8)-(-3)=-5.①

减法运算的结果得到了.

试一试:再做一个填空：(-8)+()=-5,容易得到(-8)+(+3)=-5.②

比较①、②两式，我们发现：-8“减去-3”及“加上+3”结果是相等的.

(2)再试一次：10-6=(4),10+(-6)=(4),得10-6=10+(-6).

(3)概括:上述两例启发我们可以将减法转化为加法来进行计算.

有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数.

如果用字母a、b表示有理数,那么有理数减法法则可表示为:a-b=a+(-

b).

三、例题讲解

【例1】计算：

(1)(-32)-(+5);(2)7.3-(-6.8);

(3)(-2)-(-25);(4)12-21.

【答案】(1)(-32)-(+5)=-32-5=-37.

(2)7.3-(-6.8)=7.3+6.8=14.1.

(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23.

(4)12-21=12+(-21)=-9

[例2]某次法律竞*中规定:抢答题答对一题得20分,答错一题扣

10分,答对一题及答错一题得分相差多少分？

【答案】20-(-10)=20+10=30(分)，

即答对一题及答错一题相差30分.

四、巩固练习

课本P/P22练习的第04题.

【答案】略

五、课堂小结

1.教师指导学生阅读教材后强调指出：

由于把减数变为它的相反数,从而减法转化为加法.有理数的加法和减法,

把引进负数后就可以统一用加法来解决.

2.不论减数是正数、负数或是零,都符合有理数减法法则.在使用法则时,

注意被减数不变.

第4课时有理数的加减混合运算

教学目标

【知识及技能】

理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.

【过程及方法】

让学生进一步体会到有理数减法可以转化为加法进行计算,能熟练地进

行有理数的加减混合运算,并体会在实际中的应用.

【情感、态度及价值观】

通过由具体实例抽象、概括的独立思考及合作学习的过程，培养学生积

极主动参及的学习习惯.

教学重难点

【重点】能准确迅速地进行有理数的加减混合运算.

(难点】将减法直接转化为加法及混合运算的准确性.

教学过程

一、复习导入

‘师：同学们,我们先一起来回顾一下前面所学的知识.

教师指名学生说出：

1.叙述有理数加法法则.

2.叙述有理数减法法则.

3.叙述加法的运算律.

4.符号“+”和“-”各表达什么意义？

5.指名化简：+(+3);+(-3);-(+3);-(-3).

6.学生口算：

(1)2-7;(2)(-2)-7;

(3)(-2)-(-7);(4)2+(-7);

(5)(-2)+(-7);(6)7-2;

(7)(-2)+7;(8)2-(-7).

二、讲授新课

'师:下面莪们一起来学习新课.

1.加减法统一成加法算式.

以上口算题中(1),(2),(3),(6),(8)都是减法,按减法法则可写成加上它

们的相反数.同样，(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-

9)+(+6),这样便把加减法统一成加法算式.几个正数或负数的和称为代数和.

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7).既然都可

以写成代数和，正号可以省略,每个括号都可以省略,如：(-11)+(-7)+(-9)-(-

6)=-11-7-9+6,读作“负11、负7、负9、正6的和”，运算上可读作“负11

减7减9加6”;16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7,读作“正16、正2、负4、

正6、负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”.

2.加法运算律的运用：

既然是代数和，当然可以运用有理数加法运算

律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).

三、例题讲解

【例1】把(+Q+v)-(+!)-(T)-(+D写成省略正号的和的形式，并把

它读出来.

【答案】原式=(+触+©)+«)+(+9+(-1)=界-拐T=T.

读作:.g.；、-1的和”.

【例2】计算：

(1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2;

⑵尹(-9-卜(-趴

【答案】(1)(+7)-(+8)+(-3)-(-6)+2

=(+7)+(-8)+(-3)+(+6)+2(减法法则)

=(7+6+2)+(-8-3)(加法交换律、结合律)

=15-11=4.

⑵尹

弓+(—9+(—»+(+$(减法法则)

=(用)+(-昌)(加法交换律、结合律)

_7_1_3

~82-8,

[例3]一批大米,标准质量为每袋25kg.质检部门抽取10袋样品进

行检测,把超过标准质量的千克数用正数表示,不足的用负数表示,结果如下

表：

12345678910

1+1-0.5-1.5+0.75-0.25+1.51+0.50+0.5

差IIIII.IIIII

这10袋大米总计质量是多少千克？

【答案】1+(-0.5)+(-1.5)+0.75+(-0.25)+1.5+(-1)+0.5+0+0.5

=[1+(-1)]+[(-0.5)+0.5]+[(-1.5)+1.5]+[0.75+(-0.25)]+0.5=1(kg)

25X10+1=251(kg).

答:这10袋大米的总计质量是251kg.

四、巩固练习

(1)课本P25练习题.

(2)-3,+5,-7的代数和比它们的绝对值的和小多少？

【答案】⑴略(2)(|-31+1+5|+1-71)-(-3+5-7)=20

五、课堂小结

教师引导学生小结：

1.有理数的加减法可统一成加法.

2.因为有理数加减法可统一成加法,所以在加减运算时,适当运用加法运

算律,把正数及负数分别相加,可使运算简便.但要注意交换加数的位置时,要

连同前面的符号一起交换.

1.5有理数的乘除

第1课时有理数的乘法(1)

教学目标

【知识及技能】

了解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则，并熟练进行两个有理数乘

法的运算.

【过程及方法】

经历对有理数乘法法则的探索过程，加深对法则的理解并能熟练使用.

【情感、态度及价值观】

通过师生交流合作,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认

知水平.

教学重难点

【重点】有理数乘法的运算.

【难点】有理数乘法中的符号法则.

教学过程

一、复习导入

师:我们先来复习一下前面所学的知识.

1.指名计算：(-2)+(-2)+(-2).

2.师:你们知道有理数包括哪些数吗？小学学习四则运算是在有理数的什

么范围中进行的？(非负数)

生讨论并发言.

3.师:那么在有理数的加减运算中，关键问题是什么？和小学所学的运算

最主要的不同点是什么？(符号问题)

学生讨论并发言.

4.根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减,运算的关键是

确定符号问题，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的

新内容以及关键问题是什么？(负数问题,符号的确定)

二、讲授新课

1.师生共同探究有理数乘法法则.

(1)研究实际问题.

教师出示问题1：一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向

东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的哪个方向，相距多少米？

我们知道,这个问题可用乘法来解答：3X2=6①

即小虫位于原来位置的东方6米处.

注意:这里我们规定向东为正，向西为负.如果上述问题变为：

问题2:小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟,那么结果有何变化？

这也不难，写成算式就是：(-3)义2=-6②

即小虫位于原来位置的西方6米处.

(2)引导学生比较上面两个算式.

当我们把“3义2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时，所得

的积是原来的积“6”的相反数“-6”，一般地我们有:

把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.

(3)这是一条很重要的结论,应用此结论,3X(-2)=?(-3)X(-2)=?

(学生答)把3X(-2)和①式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数

“-2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”，即3X(-2)=-6.把(-

3)X(-2)和②式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”，所得

的积应是原来的积“-6”的相反数“6”，即(-3)X(-2)=6.此外,把(-

3)X0=0同3X0=0作比较.

(4)综合上面的各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数同0相乘,都得0.

(5)继而教师强调指出：

“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学时期学习的乘法,有理数

中特别注意“负负得正”和“异号得负”.

用有理数乘法法则及小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法变得

较复杂了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正,异号得负”，

符号一旦确定,就归结为小学的乘法了.

因为,在进行有理数乘法运算时更需时时强调:先定符号后定值.

三、例题讲解

【例1】计算：

(1)(-5)X(-6);⑵(-劭X.

(3)(-|)X(-1);(4)8X(725).

【答案】(1)(-5)X(-6)=+(5X6)=30.

(2)(-；)

(3)(-|)X(-1)=+(|X1)=1.

(4)8X(—1.25)=—(8XL25)=—10.

【例21用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,登山队攀

登一座山峰,每向上攀登1km气温的变化量为-6C,向上攀登3km后气温有什

么变化?学生口述,教师板书.

四、巩固练习

课本P”练习第r3题.

【答案】略

五、课堂小结

今天主要学习了有理数的乘法法则，要牢记两个负数相乘得正数,简单地

说就是“负负得正”.

第2课时有理数的乘法(2)

教学目标

【知识及技能】

1.掌握有理数乘法的运算律,并利用运算律简化乘法运算.

2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则.

3.培养学生观察、归纳、概括及运算能力.

【过程及方法】

经历探索多个有理数乘法法则的过程，培养学生观察、归纳、概括及运

算的能力.

【情感、态度及价值观】

通过由具体实例抽象概括的独立思考及合作学习的过程，培养学生实事

求是、善于质疑和独立思考的良好学习习惯.

教学重难点

【重点】乘法的符号法则和乘法的运算律.

【难点】积的符号的确定.

教学过程

一、复习导入

1.师：同学们,你们谁能叙述一下有理数的乘法法则？

2.指名口算：

(D5X(-6);(2)(-6)X5;

⑶[3X(-4)]X(-5);(4)3X[(-4)X(-5)].

二、讲授新课

L师生共同研究有理数乘法运算律：

(1)问题：

在小学里，我们曾经学过乘法的交换律、结合律、分配律.这三个运算律

在有理数乘法运算中也是成立的吗？

(2)探索:

任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口和。内，并比

较两个算式的运算结果.

□XO和OX□

任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口、。和◊内，

并比较两个算式的运算结果.

(口xo)X◊和口*(OXO)

任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列口、O和◊内，

并比较两个算式的运算结果.

□X((□+◊)和口XO+nX◊

(3)总结:让学生总结出乘法的交换律、结合律.

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即ab=ba.

乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积

不变.即(ab)c=a(be).

乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相

乘,再把积粕加，即a(b+c)=ab+ac.

(4)根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意

交换乘数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.

(5)师:多个有理数相乘,有一个因数为零时,积是多少？因数都不为零时,

积的符号怎样确定？

生:①几个有理数相乘,有一个因数为零,积为零.②几个不为零的有理数

相乘,积的符号由负数的个数决定，当负因数有奇数个时,积为负；当负因数有

偶数个时,积为正.

2.问题：

(1)计算：(-2)X5X(-3),有多少种不同的算法?你认为哪种算法比较好?

(2)计算：G+卜》X12,有几种不同的算法?你认为哪种算法比较好？

三、例题讲解

【例1】计算：

(1)(-10)X；X0.1X6=;

(2)(-10)X1X0.IX(-6)=;

(3)(-10)X(-1)X(-0.1)X6=;

(4)(-10)X(-1)X(-0.1)X(-6)=.

【答案】(1)-2(2)2(3)-2(4)2

我们可以发现:一般地,几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个

数决定，当负因数有奇数个时,积为负；当负因数有偶数个时,积为正.

【例2】计算：

(1)8+(-0.5)X(-8)X1;

⑵(-3)*X(Y)X(-0.25);

(3)1X(8-11-11);

(4)4X(-12)+(-8)X(-5)+16.

【答案】⑴原式=8+；X38=8+3=11.(先乘后加)

⑵原式=-3*/泌1(先定符号)

=-1§.(后定值)

⑶原式弓义83X9必*=6-1-存46

(4)原式=8X(-6)+8X5+8X2=8X(-6+5+2)=8X1=8.

从上面的例子可以看出，应用运算律,可使运算简便.有时需要先把算式

变形,才能用分配律.如(3),还有时需反向运用分配律.

四、巩固练习

课本P32练习第广3题.

【答案】略

五、课堂小结

破布指写学生看书,精读多个有理数乘法的法则及乘法运算律,并强调运

算过程中应该注意的问题.

第3课时有理数的除法

教学目标

【知识及技能】

1.理解有理数倒数的意义.

2.掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算.

【过程及方法】

经历探索有理数除法法则及运算的过程，培养学生观察、归纳、概括及

运算的能力.

【情感、态度及价值观】

通过师生合作交流,让学生体会从特殊到一般的归纳方法,提高学生的认

知水平.

教学重难点

【重点】有理数除法法则.

【难点】商的符号的确定以及对零不能作除数的理解.

教学过程

—、复习导入

'师:在新课开始之前,我们先来回顾一下前面的知识.

1.教师指名学生叙述有理数乘法法则.

2.叙述有理数乘法的运算律.

3.计算：

⑴(-6)X；;

(2)(-0.5)X(-1)xAx(-8)X11;

(3)(-3)X(+7)-9X(-6);

⑷#4)♦

二、讲授新课

1.师生共同研究有理数除法法则：

(1)问题：

“一个数及2的乘积是-6,这个数是几？"你能否回答?这个问题写成算

式有两种：

2义(?)=-6,(乘法算式)也就是(-6)+2=(?)(除法算式)

由2X(-3)=-6,我们有(-6)+2=-3.另夕卜,我们还知道：(-6)X；=-3.所

以，(-6)+2=(-6)Xi.这表明除法可以转化为乘法来进行计算.

(2)探索：

填空：

84-(-2)-8X();

6-(-3)=6X();

-64-()=-6Xg;

-64-()=-6X1.

⑶总结:

让学生总结除法法则、倒数的概念,乘积是1的两个数互为倒数.

有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.

注意：0不能作除数.

2.探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则.

因为除法可化为乘法,所以有理数的除法有及乘法类似的法则：

两数相除，同号得正,异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何一个不为0的数,都得0.

三、例题讲解

【例1】计算：

(1)(-18)4-6;(2)(-1)4-(-1)；

64

3)5-

25

【答案】(1)(-18)+6=(-⑻X萨-3.

⑵G)(-§)=(-1)X(~|)=1.

⑶3.(-1埸x(喙=一.

【例2】化简下列分数：

⑴手；⑵瑞.

【答案】(1)原式=(-12)+3=-(12+3)=-4.

(2)原式=(-24)+(-16)=244-16=4

【例3】计算：

⑴(-,)+(节；(2)(-24®)4-(-6);

⑶-3.5制X(弓).

【答案】⑴原式楼+蚪*畀.[或原式=(-»(-§)=§]

(2)原式=(24+；)X1=4+1=4

(3)原式gxgx[3.

四、巩固练习

课本P34练习的第广3题.

【答案】略

五、课堂小结

1.指导学生看书,重点是除法法则.

2.引导学生归纳有理数除法的一般步骤：(1)确定商的符号；(2)把除数化

为它的倒数；(3)利用乘法计算结果.

第4课时有理数的乘除混合运算

教学目标

【知识及技能】

1.有理数的加减乘除混合运算.

2.合理使用运算律简化运算.

【过程及方法】

通过学生做题,提高学生的灵活解题能力和运算技能.

【情感、态度及价值观】

通过师生共同的活动，培养学生的应用意识,训练学